7 replies to this topic

[Namthemaster1234]

Tìm số nguyên tố p thỏa mãn phương trình $x^4+4=py^4$ có nghiệm nguyên

 

p/s: Bài dạng này mới quá !

[nangcuong8e]

Tìm số nguyên tố p thỏa mãn phương trình $x^4+4=py^4$ có nghiệm nguyên

 

p/s: Bài dạng này mới quá !

Lời giải không biết có đúng không 

 Đặt $x^2 =a \geq 0$ và $y^2 =b \geq 0$ ($a,b \in N$), thay vào thì phương trình trở thành:

$a^2 +4 =pb^2$

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên $(a_0;b_0)$ thỏa mãn phương trình sao cho $a_0 +b_0$ nhỏ nhất.

 Xét phương trình bậc 2 ẩn $a_0$

 

$a_0^2+4-pb_0^2=0$

Dễ thấy phương trình có nghiệm là $a_0$, gọi nghiệm còn lại là $a_1$ thì do $a_0 +b_0$ nhỏ nhất nên $a_1 \geq a_0$

Theo định lí Viet, ta cũng có: $a_1a_0 =4-pb_0^2$

$\Rightarrow a_0^2 \leq a_1a_0 =4-pb_0^2 \Leftrightarrow a_0^2 +pb_0^2 \leq 4 \Rightarrow p \leq 4$

Mà $p$ nguyên tố nên $p \in$ {$2;3$}

 +, Xét $p =3$, thay vào phương trình ta có: $x^4 +4 =3y^4$

Nhận thấy VP $\vdots 3$ nên $x^4 +4 \equiv x^4 +1 \equiv 0$ (mod $3$) $\Rightarrow x^4 \equiv 2$ (mod $3$) (vô lí)
 Do đó phương trình vô nghiệm với $p=3$

 +, Xét $p=2$ thay vào ta được: $x^4 +4 =2y^4 \Rightarrow x^4 \vdots 2$

Đặt $x =2x_1 (x_1 \in Z)$, thay vào ta có: $8x_1^4 +2 =y^4 \Rightarrow y \vdots 2$

Đặt $y=2y_1 (y_1 \in Z)$, thay vào ta có: $4x_1^4 +1 =8y_1^4$

 Do VP $\vdots 2$ còn VT thì không nên phương trình này cũng ko có nghiệm nguyên.

Vậy: Không có $p$ nguyên tố để phương trình trên có nghiệm nguyên.

Edited by nangcuong8e, 10-05-2015 - 09:04.

[hoctrocuaZel]

Lời giải không biết có đúng không 

 Đặt $x^2 =a \geq 0$ và $y^2 =b \geq 0$ ($a,b \in N$), thay vào thì phương trình trở thành:

$a^2 +4 =pb^2$

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên $(a_0;b_0)$ thỏa mãn phương trình sao cho $a_0 +b_0$ nhỏ nhất.

 Xét phương trình bậc 2 ẩn $a_0$

 

$a_0^2+4-pb_0^2=0$

Dễ thấy phương trình có nghiệm là $a_0$, gọi nghiệm còn lại là $a_1$ thì do $a_0 +b_0$ nhỏ nhất nên $a_1 \geq a_0$

Theo định lí Viet, ta cũng có: $a_1a_0 =4-pb_0^2$

$\Rightarrow a_0^2 \leq a_1a_0 =4-pb_0^2 \Leftrightarrow a_0^2 +pb_0^2 \leq 4 \Rightarrow p \leq 4$

Mà $p$ nguyên tố nên $p \in$ {$2;3$}

 +, Xét $p =3$, thay vào phương trình ta có: $x^4 +4 =3y^4$

Nhận thấy VP $\vdots 3$ nên $x^4 +4 \equiv x^4 +1 \equiv 0$ (mod $3$) $\Rightarrow x^4 \equiv 2$ (mod $3$) (vô lí)
 Do đó phương trình vô nghiệm với $p=3$

 +, Xét $p=2$ thay vào ta được: $x^4 +4 =2y^4 \Rightarrow x^4 \vdots 2$

Đặt $x =2x_1 (x_1 \in Z)$, thay vào ta có: $8x_1^4 +2 =y^4 \Rightarrow y \vdots 2$

Đặt $y=2y_1 (y_1 \in Z)$, thay vào ta có: $4x_1^4 +1 =8y_1^4$

 Do VP $\vdots 2$ còn VT thì không nên phương trình này cũng ko có nghiệm nguyên.

Vậy: Không có $p$ nguyên tố để phương trình trên có nghiệm nguyên.

sai nếu $x=1;y=1$ thì $p=5$.

[dogsteven]

Lời giải không biết có đúng không 

 Đặt $x^2 =a \geq 0$ và $y^2 =b \geq 0$ ($a,b \in N$), thay vào thì phương trình trở thành:

$a^2 +4 =pb^2$

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên $(a_0;b_0)$ thỏa mãn phương trình sao cho $a_0 +b_0$ nhỏ nhất.

 Xét phương trình bậc 2 ẩn $a_0$

 

$a_0^2+4-pb_0^2=0$

Dễ thấy phương trình có nghiệm là $a_0$, gọi nghiệm còn lại là $a_1$ thì do $a_0 +b_0$ nhỏ nhất nên $a_1 \geq a_0$

Theo định lí Viet, ta cũng có: $a_1a_0 =4-pb_0^2$

$\Rightarrow a_0^2 \leq a_1a_0 =4-pb_0^2 \Leftrightarrow a_0^2 +pb_0^2 \leq 4 \Rightarrow p \leq 4$

Mà $p$ nguyên tố nên $p \in$ {$2;3$}

 +, Xét $p =3$, thay vào phương trình ta có: $x^4 +4 =3y^4$

Nhận thấy VP $\vdots 3$ nên $x^4 +4 \equiv x^4 +1 \equiv 0$ (mod $3$) $\Rightarrow x^4 \equiv 2$ (mod $3$) (vô lí)
 Do đó phương trình vô nghiệm với $p=3$

 +, Xét $p=2$ thay vào ta được: $x^4 +4 =2y^4 \Rightarrow x^4 \vdots 2$

Đặt $x =2x_1 (x_1 \in Z)$, thay vào ta có: $8x_1^4 +2 =y^4 \Rightarrow y \vdots 2$

Đặt $y=2y_1 (y_1 \in Z)$, thay vào ta có: $4x_1^4 +1 =8y_1^4$

 Do VP $\vdots 2$ còn VT thì không nên phương trình này cũng ko có nghiệm nguyên.

Vậy: Không có $p$ nguyên tố để phương trình trên có nghiệm nguyên.

Bài giải sai ở điểm này, $(a_1, b_0)$ không phải là bộ số thỏa đề nên $a_1$ chưa chắc đã không bé hơn $a_0$. Thực tế $a_1<a_0$

[dogsteven]

Nếu $5\nmid x$ thì $5\mid x^4+4$, khi đó $5\mid py^4$ thì $p=5$ hoặc $5\mid y$

Nếu $p=5$ thì $x=y=1$ thỏa mãn.

Nếu $5\mid y$ thì $5^4\mid x^4+4$ vô lý vì $x^4\equiv \{0,1,16,81,256\}\pmod{5^4}$

Nếu $5\mid x$ thì $5\mid py^4-4\Rightarrow 5\mid p-4$ do $y^4\equiv 1\pmod{5}$ ($5\mid y$ không thỏa mãn)

Do $p$ nguyên tố nên $p\equiv \{1,2,3,4\}\pmod{5}$, do đó $4\mid p$ vô lý.

Vậy $p=5$ thỏa mãn yêu cầu bài ra.

Edited by dogsteven, 10-05-2015 - 09:43.

[Namthemaster1234]

Lời giải:  $x^4+4=py^4\Leftrightarrow (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)=py^4$

 

Dễ chứng minh được $gcd(x^2-2x+2;x^2+2x+2)=1$

 

nên $x^2-2x+2=a^2$ và $x^2+2x+2=yb^2$ với $ab=y^2$

 

Phương trình đầu tìm được $a^2=1$ suy ra $x=1$ từ đó tìm ra
 

$p=5$ (thoả mãn)

Edited by Namthemaster1234, 10-05-2015 - 22:41.

[dogsteven]

Lời giải:  $x^4+4=py^4\Leftrightarrow (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)=py^4$

 

Dễ chứng minh được $gcd(x^2-2x+2;x^2+2x+2)=1$

 

nên $x^2-2x+2=a^2$ và $x^2+2x+2=yb^2$ với $ab=y^2$

 

Phương trình đầu tìm được $a^2=1$ suy ra $x=1$ từ đó tìm ra
 

$p=5$ (thoả mãn)

 

Xem lại dòng này. Thấy rằng $x$ chẵn thì ước chung bằng $2$

Edited by dogsteven, 11-05-2015 - 17:37.

[Namthemaster1234]

Xem lại dòng này. Thấy rằng $x$ chẵn thì ước chung bằng $2$

 

Vâng, em có thiếu sót

 

Tất nhiên ta đang xét $x$ lẻ vì nếu $x$ chẵn thì $LHS\equiv 4 (mod 16)$ trong khi $RHS\equiv 0,2 (mod 16)$ hiển nhiên sai.