Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $\frac{1}{c^{2}}=\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $\frac{1}{c^{2}}=\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $\frac{1}{c^{2}}=\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
Lời giải
Ta có $P=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}+1}+\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}+1}+\frac{1}{\sqrt{\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}+1}}$
Đặt $x=\frac{a}{c};y=\frac{b}{c}$ bài toán trở thành
Cho $x,y>0$ thỏa mãn $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}$. Tìm Min của $P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz có
$\frac{1}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{\begin{pmatrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \end{pmatrix}^2}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq 1\Leftrightarrow x+y\leq xy$
$\Rightarrow x^2+y^2+1\leq (x+y-1)^2$
Lại có $\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\geq \frac{(x+y)^2}{x+y+2xy}\geq \frac{(x+y)^2}{x+y+\frac{(x+y)^2}{2}}=\frac{2(x+y)}{x+y+2}$
$\Rightarrow P\geq \frac{2(x+y)}{x+y+2}+\frac{1}{x+y-1}$
Đặt $t=x+y$. Theo BĐT $AM-GM$ ta có $1\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{t}\Leftrightarrow t\geq 4$
$P\geq \frac{2t}{t+2}+\frac{1}{t-1}=f(t)$
Khảo sát hàm $f(t)$ trên $[4;+\infty ]$
Ta có $f'(t)=\frac{3t(t-4)}{(t+2)^2(t-1)^2}\geq 0$ trên $[4;+\infty ]$
$\Rightarrow$ $f(t)$ đồng biến trên $[4;+\infty ]$
$\Rightarrow f(t)\geq f(4)=\frac{5}{3}$
Vậy Min $P=\frac{5}{3}$ $\Leftrightarrow x=y=2\Leftrightarrow a=b=2c$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Lời giải
Ta có $P=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}+1}+\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}+1}+\frac{1}{\sqrt{\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}+1}}$
Đặt $x=\frac{a}{c};y=\frac{b}{c}$ bài toán trở thành
Cho $x,y>0$ thỏa mãn $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}$. Tìm Min của $P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz có
$\frac{1}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{\begin{pmatrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \end{pmatrix}^2}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq 1\Leftrightarrow x+y\leq xy$
$\Rightarrow x^2+y^2+1\leq (x+y-1)^2$
Lại có $\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\geq \frac{(x+y)^2}{x+y+2xy}\geq \frac{(x+y)^2}{x+y+\frac{(x+y)^2}{2}}=\frac{2(x+y)}{x+y+2}$
$\Rightarrow P\geq \frac{2(x+y)}{x+y+2}+\frac{1}{x+y-1}$
Đặt $t=x+y$. Theo BĐT $AM-GM$ ta có $1\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{t}\Leftrightarrow t\geq 4$
$P\geq \frac{2t}{t+2}+\frac{1}{t-1}=f(t)$
Khảo sát hàm $f(t)$ trên $[4;+\infty ]$
Ta có $f'(t)=\frac{3t(t-4)}{(t+2)^2(t-1)^2}\geq 0$ trên $[4;+\infty ]$
$\Rightarrow$ $f(t)$ đồng biến trên $[4;+\infty ]$
$\Rightarrow f(t)\geq f(4)=\frac{5}{3}$
Vậy Min $P=\frac{5}{3}$ $\Leftrightarrow x=y=2\Leftrightarrow a=b=2c$
Sơn ơi, biết dùng Đạo hàm rồi à?
Hãy sống hết mình với đam mê của bạn!!!!!!
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh