Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTLN $A=\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{2}+x^{4}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
duyanh782014

duyanh782014

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 347 Bài viết

Cho x,y là hai số dương thỏa mãn xy=1.Tìm GTLN $A=\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{x^{2}+y^{4}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duyanh782014: 14-06-2015 - 15:27


#2
thuy99

thuy99

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết

Cho x,y là hai số dương thỏa mãn xy=1.Tìm GTLN $A=\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{2}+x^{4}}$

cái sau dấu cộng là $\frac{y}{x^2+y^4}$ chứ nhỉ


                                         toán học muôn màu 


#3
thuy99

thuy99

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết

nếu đề nv thì đặt $x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{a}$

khi đó A=$2\frac{a^3b^3}{a^6+b^6}\leq \frac{a^6+b^6}{a^6+b^6}=1(am-gm)$

Max A=1 khi x=y=1


                                         toán học muôn màu 


#4
duyanh782014

duyanh782014

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 347 Bài viết

cái sau dấu cộng là $\frac{y}{x^2+y^4}$ chứ nhỉ

uk nhỉ,tks



#5
congdaoduy9a

congdaoduy9a

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết

$A=\frac{x}{x^{4}+y^2}+\frac{y}{y^{4}+x^2}=\frac{2}{x^{3}+y^3}\leq1$

$x^{3}+y^3\geq xy(x+y)\geq 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdaoduy9a: 16-06-2015 - 15:23


#6
duyanh782014

duyanh782014

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 347 Bài viết

$A=\frac{x}{x^{4}+y^2}+\frac{y}{y^{4}+x^2}=\frac{2}{x^{3}+y^3}=1$

$x^{3}+y^3\geq xy(x+y)\geq 2$

$A=\frac{x}{x^{4}+y^2}+\frac{y}{y^{4}+x^2}=\frac{2}{x^{3}+y^3}=1$ là sao bạn



#7
duyanh782014

duyanh782014

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 347 Bài viết

nếu đề nv thì đặt $x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{a}$

khi đó A=$2\frac{a^3b^3}{a^6+b^6}\leq \frac{a^6+b^6}{a^6+b^6}=1(am-gm)$

Max A=1 khi x=y=1

giải thích rõ hộ mn cái



#8
vda2000

vda2000

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết

$A=\frac{x}{x^{4}+y^2}+\frac{y}{y^{4}+x^2}=\frac{2}{x^{3}+y^3}\leq 1$ là sao bạn

Ta có: $\frac{x}{x^4+y^2}=\frac{xy}{x^4y+y^3}=\frac{xy}{xy.x^3+y^3}$

Vì $xy=1$ nên thay vào, ta được:

$\frac{x}{x^4+y^2}=\frac{1}{1.x^3+y^3}=\frac{1}{x^3+y^3}$

$2$ phân thức bình đẳng nên tương tự phân thức thứ $2$, cộng lại được: $\frac{2}{x^3+y^3}$

Áp dụng bất đăng thức $Cauchy$ với $2$ số dương, ta có:

$x^3+y^3\geq 2.\sqrt{x^3y^3}=2.\sqrt{(xy)^3}=2$ (do $xy=1$)

Phần trình bày của @congdaoduy9a là dấu $\leq$ nên chắc bạn hiểu lầm

Hoặc


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 16-06-2015 - 11:10

$\boxed{\textrm{Silence is the peak of contempt!}}$

If you see this, you will visit my facebook.....!


#9
thuy99

thuy99

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết

giải thích rõ hộ mn cái

$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{x}{x^4+y^2}=\frac{\frac{a}{b}}{(\frac{a}{b})^4+(\frac{b}{a})^2}=\frac{a^3b^3}{a^3+b^3}$

cái kia tương tự xong áp dụng AM-GM ta có $2a^3b^3\leq a^6+b^6$ xong :lol:


                                         toán học muôn màu 


#10
Hoangtheson2611

Hoangtheson2611

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

$A=\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}\leqslant \frac{x}{2x^{2}y}+\frac{y}{2y^{2}x}=\frac{2}{2xy}=1$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y^{2};y=x^{2}=>x=y=1$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh