TỈ LỆ VÀNG - DẤU VÂN TAY CỦA CHÚA?
Nói về cái tỉ lệ này chắc bạn không mấy xa lạ, chỉ là con số $\phi \approx 1.61803398875$. Ban đầu, tôi nghĩ “Chắc mấy người học toán rảnh quá hay sao mà lại “đặc biệt hóa” cái con số $\phi $ này lên” bởi vì cả cuộc đời học toán của tôi, tôi chưa bao giờ phải sử dụng đến cái “con số vàng” này, trừ khi tôi phải giải một bài tập toán đặc thù nào đó kiểu như tính số Fibonacci, hay tôi là một nhà kiến trúc sư chẳng hạn.
Vào mùa hè năm 2014, tôi có dịp khoác áo chiến sĩ Mùa hè xanh, tham gia mặt trận Ong nghiên cứu của trường tôi. Mặt trận này có chức năng giảng dạy, truyền cảm hứng khoa học đến các bạn học sinh cấp 3 và bài giảng đầu tiên của nhóm tôi đó là “Tỉ lệ vàng”. Tôi lại nghĩ: “Không biết “chém gió” gì về cái tỉ lệ vớ vẩn này, chắc lại nói là nó áp dụng nhiều trong kiến trúc, mĩ thuật, … “. Thế là tôi phải lên mạng tìm kiếm tài liệu về nó, thực sự nếu tôi không tham gia Ong nghiên cứu thì tôi cũng chẳng thèm quan tâm đến nó làm gì đâu. Tuy nhiên, sau khi tìm hiểu, tôi mới phát hiện ra nhiều vấn đề thú vị đằng sau con số này, từ đó tôi mới tự đặt câu hỏi giống như tiêu đề bài viết. Tôi không giỏi lắm về cách hành văn, cho nên tôi sẽ viết theo trình tự những gì tôi đọc được và những gì tôi tự hỏi, ở cuối bài viết này tôi có dẫn nguồn tài liệu, bạn đọc có thể xem thêm.
Trong quyển VI của bộ Cơ sở, tác phẩm đồ sộ của Euclide về hình học, ông ta đã định nghĩa về cách chia 1 đoạn thẳng bất kỳ thành 2 đoạn thẳng nhỏ có độ dài khác nhau. Cụ thể rằng nếu ta chia đoạn $AB$ thành 2 đoạn $AC$ và $CB$ ($C$ nằm trong $AB$) sao cho:
$$\frac{AC}{CB}=\frac{AB}{AC}$$
thì mỗi tỉ số này được gọi là “trung và ngoại tỉ”, từ thế kỷ 19, người ta gọi tỉ số này là “tỉ lệ vàng” (golden ratio), còn điểm $C$ được gọi là “điểm vàng”.
Nếu nói về Euclide, tôi biết ông ta là một nhà toán học thiên tài, nhất là về mảng hình học. Nhưng tôi lại chưa hiểu được tại sao Euclide lại bận tâm đến cách chia này, thậm chí còn đặt tên cho nó nữa vì xét cho cũng có vô số cách chọn điểm $C$ trên đoạn $AB$ sao cho $AC\ne CB$, tại sao ông ta chỉ quan tâm đến vị trí “điểm vàng” đó mà không quan tâm đến những vị trí khác? Trả lời câu hỏi này, tôi lại “quay ngược thời gian” về thời của Pythagoras.
Pythagoras, ông vốn là một nhà triết gia và nhà toán học lỗi lạc của Hy Lạp cổ đại. Thực ra ông và những người thuộc trường phái Pythagoras trong thời kỳ đầu không phải là nhà toán học hay khoa học đúng nghĩa. Những người này “tôn thờ” những con số vì theo họ, các con số vừa là thực thể sống, vừa là các nguyên lý phổ quát vạn vật từ thiên đường đến đạo đức con người. Họ coi các số lẻ tượng trưng cho sự nam tính và những đức tính tốt, còn số chẵn là nữ tính và xấu xa. Họ có tình yêu đặc biệt với số 5, là sự hợp nhất của 2 (là số chẵn đầu tiên, tượng trưng cho giống cái) và 3 (là số lẻ đầu tiên, tượng trưng cho giống đực). Cần lưu ý rằng họ không coi 1 là con số mà là cái sinh ra mọi số. Từ con số 5, họ dựng lên ngôi sao 5 cánh như biểu trưng của tình huynh đệ. Và đây chính là chỗ xuất hiện tỉ lệ vàng. Nếu bạn lấy một ngôi sao năm cánh đều thì tỉ số cạnh và đáy thuộc một tam giác bất kỳ, nó sẽ cho ra đúng bằng tỉ lệ vàng. Tương tự, tỉ số giữa đường chéo bất kỳ trong một ngũ giác đều với 1 cạnh của nó cũng ra đúng bằng tỉ lệ vàng và trên thực tế, để dựng một ngũ giác đều bằng thước và compa, ta cần phải chia một đoạn thẳng theo tỉ lệ vàng.
“À, thì ra ông Euclide chế cái tỉ lệ vàng chỉ để dựng hình chứ gì?” Tôi tự nhủ như thế cho đến khi tôi được đọc một tài liệu khác về Plato.
Ông đã bổ sung thêm một chiều nữa vào ý nghĩa thần thoại của tỉ lệ vàng. Người Hi Lạp cổ đại tin rằng mọi thứ trong vũ trụ đều được cấu tạo bởi 4 yếu tố: đất, lửa, không khí và nước. Trong cuốn Timaeus, Plato đã giải thích cấu trúc vật chất bằng cách sử dụng 5 hình khối đều mà ngày nay ta gọi chúng là các hình khối Plato (Platonic solid). 5 hình khối này là những khối duy nhất mà tất cả các mặt của mỗi khối là các đa giác đều, đồng thời các đỉnh mỗi khối nằm trên một mặt cầu. Chúng là khối tứ diện (tượng trưng cho lửa sắc sảo), khối lập phương (tượng trưng cho đất vững chãi), khối bát diện (tượng trưng cho không khí), khối 20 mặt đều (tượng trưng cho nước). Còn khối 12 mặt, Plato cho rằng hình khối này biểu diễn toàn bộ vũ trụ. Điều đặc biệt ở hình khối này đó là mỗi mặt của chúng là hình ngũ giác, nơi xuất hiện tỉ lệ vàng, mặt khác, tỉ số giữa thể tích và diện tích bề mặt của nó ra đúng tỉ lệ vàng.
Như vậy, cả Pythagoras và Plato, những nhà toán học và triết học lỗi lạc đều cho rằng tỉ lệ vàng xuất hiện rộng khắp trong toàn bộ vũ trụ. Điều này càng được củng cố khi vào năm 2003, các nhà khoa học tại NASA phát hiện ra rằng vũ trụ là hữu hạn và có hình dạng như khối 12 mặt đều, đúng như khối mà Plato đã chọn để đại diện cho vũ trụ. Thú vị chứ nhỉ? Nếu bạn thấy mơ hồ, tôi sẽ cho bạn thấy những hình ảnh có xuất hiện tỉ lệ vàng trong tự nhiên, vũ trụ, … những thứ mà con người không thể can thiệp được (chứ nếu không bạn lại nói: “Ôi cái này người ta cố tình làm cho đúng với tỉ lệ vàng”, mắc công lắm) nhưng ở cuối bài viết này chứ không phải bây giờ. Vì sao ư? Tôi nghĩ bạn không muốn phải đo đạc, tính toán chia tỉ lệ đâu, rất mất thời gian, toán học có cách thức kiểm chứng đơn giản rất nhiều.
Nhắc lại định nghĩa tỉ lệ vàng:
Cho đoạn $AB$, lấy điểm $C$ nằm giữa $A$ và $B$ sao cho
$$\frac{AC}{CB}=\frac{AB}{AC}$$
Khi đó, mỗi tỉ số này được gọi là “tỉ lệ vàng”.
Tỉ lệ này có một điều đặc biệt, đó là bất chấp đoạn $AB$ dài bao nhiêu thì giá trị tỉ lệ đó không đổi. Tôi sẽ chứng minh điều này.
Do $C$ nằm giữa $AC$ và $CB$ nên tỉ lệ trên tôi viết lại thành:
$$\frac{AC}{CB}=\frac{AB}{AC}$$
$$\Leftrightarrow \frac{AC}{CB}=\frac{AC+CB}{AC}$$
$$\Leftrightarrow \frac{AC}{CB}=1+\frac{CB}{AC}$$
Đặt $\frac{AC}{CB}=x$, với $x>0,$ khi đó $\frac{CB}{AC}=\frac{1}{x}$, ta được phương trình:
$$x=1+\frac{1}{x}$$
$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-1=0$$
$$\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
Vậy:
$$\frac{AC}{CB}=\frac{AB}{AC}=\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.61803398875$$
Từ đó, ta thấy rằng dù đoạn $AB$ dài bao nhiêu chăng nữa thì tỉ số trên không đổi và bằng hằng số $\phi $, thật là thú vị. Qua đó, để kiểm chứng 2 đại lượng có hợp với tỉ lệ vàng hay không, ta chỉ việc xem tỉ lệ của nó có bằng $\phi $ hay không là xong. Tuy nhiên, số $\phi $ lại là một con số lẻ, hơn nữa việc đo đạc không phải lúc nào cũng dễ dàng, nhất là kiểm chứng tỉ lệ vàng trong vũ trụ, việc đo khoảng cách giữa các ngôi sao, tính diện tích thiên hà, … khá phức tạp, do đó các nhà toán học đã sáng tạo ra những “cái khuôn” sao cho chỉ cần “ráp” hai đại lượng vào “cái khuôn” đó, ta sẽ biết được chúng có thỏa tỉ lệ vàng hay không. Cụ thể:
1. Tam giác vàng (Golden triangle)
Dựa vào định nghĩa tỉ lệ vàng, tôi có 3 điểm $A,~B,~C$, vì vậy tôi sẽ thử tạo dựng nên một tam giác cân tại $A$ thỏa
$$\frac{AC}{CB}=\frac{AB}{AC}=\phi $$
Tôi tự hỏi: “Nếu $\Delta ABC$ cân tại $A$ thì góc $\hat{A}$ bao nhiêu độ?”. Rất may, định lý hàm $cos$ giúp tôi giải quyết vấn đề này.
$${{\left( BC \right)}^{2}}={{\left( AB \right)}^{2}}+{{\left( AC \right)}^{2}}-2.AB.AC.\cos \left( {\hat{A}} \right)$$
$$\Leftrightarrow {{\left( BC \right)}^{2}}=2{{\left( AC \right)}^{2}}-2{{\left( AC \right)}^{2}}\cos \left( {\hat{A}} \right)$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.{{\left( \frac{BC}{AC} \right)}^{2}}=1-\cos \left( {\hat{A}} \right)$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.{{\left( \frac{1}{\phi } \right)}^{2}}=1-\cos \left( {\hat{A}} \right)$$
$$\Leftrightarrow \cos \left( {\hat{A}} \right)=1-\frac{1}{2{{\phi }^{2}}}$$
$$\Leftrightarrow \cos \left( {\hat{A}} \right)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$
$$\Rightarrow \hat{A}=\arccos \left( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)={{36}^{o}}$$
Như vậy, tôi chỉ cần dựng một tam giác cân tại góc ${{36}^{o}}$ là tôi sẽ được công cụ tam giác vàng, còn việc dựng tam giác như thế nào thì tôi để dành cho sự sáng tạo của độc giả. Ngạc nhiên chưa?
Sau khi có công cụ rồi, bây giờ ta sẽ sử dụng chúng. Tạm thời cho tôi sử dụng hình ảnh do con người can thiệp để ra tỉ lệ vàng cho bạn dễ hình dung.
Đây là bức họa tên là Crucifixion của danh họa Raffaello Sanzio da Urbino, hay còn gọi là Raphael. Vị họa sĩ này đã vận dụng tỉ lệ vàng trong bức họa này, cụ thể rằng ông ta muốn tỉ lệ giữa khoảng cách từ đỉnh đầu Chúa xuống phần đuôi tà áo của Mary Magdalene (người quỳ gối ở bên phía chân trái của Chúa) và khoảng cách từ đuôi tà áo của bà đến đuôi tà áo của Thánh truyền giáo John thỏa đúng tỉ lệ vàng nhằm đảm bảo tính cân đối của bức tranh. Thay vì phải đo lường chia tỉ lệ một cách phức tạp, vì họa sĩ này đã khéo léo sử dụng công cụ tam giác vàng để thực hiện bức họa.
Với công cụ tam giác vàng này, tôi thấy chúng không được dùng nhiều lắm trong quá trình kiểm chứng tỉ lệ vàng trong tự nhiên, vì vậy, ta cần một công cụ khác hữu dụng hơn.
2. Hình chữ nhật vàng (Golden rectangle)
Đầu tiên, bạn hãy vẽ một hình vuông bất kỳ, chọn trung điểm của một cạnh, vẽ góc phần tư cung tròn tâm là trung điểm, bán kính từ trung điểm đến một góc bất kỳ của hình vuông, bạn sẽ có được hình chữ nhật vàng. Bạn dễ dàng thấy được định nghĩa của Euclide trong hình chữ nhật này.
Cách vẽ hình chữ nhật vàng
Cuối cùng, bạn sẽ có hình chữ nhật vàng
Chắc nãy giờ bạn đang mong chờ tôi làm sáng tỏ luận điểm của Plato và Pythagoras rằng tỉ lệ vàng xuất hiện rộng khắp trong vũ trụ đúng không? Dưới đây là những hình ảnh thực tế, lưu ý rằng con người hoàn toàn không can thiệp, tự nhiên những vật thể này chuẩn theo tỉ lệ vàng.
Hình ảnh sao Thổ với tỉ lệ của độ rộng vành đai và khoảng cách từ bề mặt sao Thổ đến điểm trong vành đai bằng với tỉ lệ vàng. Ngoài ra, đường kính sao Thổ và khoảng cách từ bề mặt sao Thổ đến rìa ngoài vành đai cũng bằng đúng với tỉ lệ vàng.
Các bạn xem bức hình dưới đây, khoảng cách từ Mặt Trời đến sao Kim và khoảng cách từ sao Kim đến Trái Đất cũng thỏa tỉ lệ vàng.
Nhờ sử dụng công cụ hình chữ nhật vàng này, ta đỡ mất công phải tính toán phức tạp. Tuy nhiên, người ta nói lòng tham vô tận, ta sẽ tiếp tục tìm kiếm những công cụ khác.
3. Xoắn ốc vàng (Golden spiral)
Nghe đến xoắn ốc, chắc bạn nghĩ đến việc phải vẽ vời gì phức tạp lắm đúng không? Thực ra người ta chỉ tận dụng lại hình chữ nhật vàng để vẽ xoắn ốc vàng thôi.
Bạn nhìn hình chữ nhật nhỏ bên phải, bạn chọn 1 điểm trên chiều dài sao cho khi bạn kẻ song song với chiều rộng, bạn sẽ được 1 hình vuông và một hinh chữ nhật nhỏ giống như hình chữ nhật vàng này. Tiếp tục áp dụng quy trình trên cho tới khi nào bạn mệt thì thôi.
Sau đó, từ hình vuông bé nhất bạn vẽ được, bạn chọn 1 trong 4 điểm của hình vuông sao cho khi bạn vẽ cung phần tư hình tròn, tâm là điểm đó, bán kính là cạnh hình vuông, cung phần tư kết thúc tại điểm thuộc 2 hình vuông. Cụ thể, bạn xem hình sau
Một góc nhìn khác cho cách vẽ đường xoắn ốc vàng
Như vậy, từ hình chữ nhật vàng, bạn đã vẽ được đường xoắn ốc vàng có dạng sau:
Những con số trong hình được quy ước rằng lấy hình chữ nhật nhỏ nhất bạn vẽ được, chia đôi ra, bạn sẽ được hình vuông có diện tích là 1 rồi từ đó, bằng những kiến thức hình học cơ bản, bạn được các con số trên nếu sắp xếp tăng dần sẽ là 1, 1, 2, 3, 5, 8, , … Bạn thấy những con số này quen thuộc chứ? Đó chính là dãy số Fibonacci có công thức tổng quát để xác định chữ số thứ $n$ là
$$F\left( n \right)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( {{\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)}^{n}}-{{\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)}^{n}} \right)$$
$$F\left( n \right)=\frac{{{\phi }^{n}}-{{\left( 1-\phi \right)}^{n}}}{\sqrt{5}}$$
Mặt khác, nếu ta lấy một số Fibonacci rất lớn bất kỳ chia cho số liền trước nó, ta sẽ được giá trị xấp xỉ $\phi $. Nói theo cách toán học thì:
$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{F(n+1)}{F(n)}=\phi $$
Ta xét những hình ảnh sau
Ta có thể thấy hình ảnh của tỉ lệ vàng trong tự nhiên dưới dạng số Fibonacci.
Quay trở lại công cụ xoắn ốc vàng này, tôi nghĩ bạn có thể bắt đầu ngạc nhiên trước những hình ảnh dưới đây được rồi. Lưu ý một lần nữa là con người không hề tác động vào, tự nhiên nó vậy nhé!
Thật kỳ diệu, liệu sự xuất hiện của tỉ lệ vàng chỉ là sự ngẫu hiên hay là sự sắp đặt? Chưa hết, mời bạn cũng thưởng lãm những hình ảnh tỉ lệ vàng sau:
Trong cơ thể người
Trong tự nhiên
Trong vũ trụ
Ngoài ra, nhắc đến tỉ lệ vàng, ta không thể không nhắc đến những công trình kiến trúc đặc sắc hay những bức họa rất cân đối và hài hòa, ẩn chứa nhiều bí ẩn.
Sau khi tìm hiểu về tỉ lệ vàng, tôi thật sự ngạc nhiên trước khả năng tiên đoán của những người cổ đại mà điển hình là Platon và Pythagoras. Quả thật, ngày càng xuất hiện nhiều bằng chứng cho thấy tỉ lệ vàng xuất hiện rộng khắp trong vũ trụ, những nơi không hề có sự can thiệp của con người. Tôi tự hỏi liệu đây chỉ là sự ngẫu nhiên hay có sự sắp xếp của “thế lực” nào đó. Nếu như mỗi người đặc trưng bởi dấu vân tay, thì liệu tỉ lệ vàng có phải là dấu vân tay của Chúa, người mà theo quan điểm của Công giáo đã sáng tạo nên vạn vật trong vũ trụ? Còn bạn, bạn nhận định như thế nào?
Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm sự xuất hiện của tỉ lệ vàng trong cuộc sống, bạn có thể theo dõi đoạn clip sau.
Tài liệu tham khảo
1. Mario Livio, Chúa trời có phải là nhà toán học?, Phát minh và khám phá, trang 341, Phạm Văn Thiều, Phạm Thu Hằng dịch, Nhà xuất bản Trẻ, 2011.
2. John Casey and Euclid , The First Six Books of the Elements of Euclid, http://www.gutenberg...74e8ccb3c85fd83, page 61, Prop. XI. – Problem.
3. Chứng minh mối tương quan giữa tỉ lệ vàng và Fibonacci https://vi.wikipedia...BB.87_v.C3.A0ng
4. http://www.goldennumber.net/
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 11-03-2017 - 15:43
