Một vài ứng dụng hay và đẹp của hàng điểm điều hoà và tứ giác điều hoà.
Nguyễn Duy Khương
Sau đây tôi xin giới thiệu với các bạn 2 trong những công cụ mạnh nhất của hình học phẳng: Hàng điểm điều hoà và tứ giác điều hoà. Mở đầu bài viết tôi sẽ giới thiệu lại kiến thức cơ bản:
Trước tiên chúng ta sẽ khái niệm lại với nhau về thuật ngữ "hàng điểm" và "tỉ số kép của hàng".
Bộ 4 điểm A,B,C,D có xác định thứ tự, thẳng hàng, đc gọi là hàng điểm.
Tỉ số kép của hàng điểm là 1 khái niệm quan trọng ko thể thiếu khi các bạn bắt đầu luyện sử 2 công cụ trên, cụ thể ta định nghĩa (ABCD)=$\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}:\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}$ được gọi là tỉ số kép của hàng điểm.
I)Định nghĩa về hàng điểm điều hoà: 4 điểm A,B,C,D đc gọi là hàng điểm điều hoà khi và chỉ khi $\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}=-\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}$. Kí hiệu là (ABCD)=-1
Lưu ý: 4 điểm được gọi là hàng điểm điều hoà khi và chỉ khi 1 trong các hệ thức sau được thoả mãn:
1)$\frac{2}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{CA}}+\frac{1}{\overline{DA}}$(hệ thức Descarter)
2)$\overline{IA}^2=\overline{IC}.\overline{ID}$(với I là trung điểm AB)(hệ thức Newton)
3) Gọi J là trung điểm CD, ta có $\overline{AC}.\overline{AD}=\overline{AB}.\overline{AJ}$(hệ thức Maclaurin)
II)Tính chất của hàng điểm điều hoà và chùm điều hoà: 1)Nếu O nằm ngoài hàng điểm điều hoà ABCD thì các đường thẳng OA,OB,OC,OD đc gọi là 1 chùm điều hoà. Kí hiệu là O(ABCD)=-1. Ở đây có 1 sự đáng lưu ý là từ 1 chùm điều hoà ta sẽ thu được vô số hàng điều hoà khác với mỗi đường thẳng cắt 4 đường thẳng của chùm điều hoà lại tạo ra một hàng điều hoà mới .
2)Qua 1 điểm bất kì thuộc hàng điều hoà kẻ đường thẳng song song với 1 đường thẳng bất kì của chùm điều hoà thì đường thẳng đó cắt 3 đường thẳng còn lại và chia đôi chúng.
3)Cho hàng chùm điều hoà O(ABCD). Khi đó OA vuông góc OC khi và chỉ khi OC là phân giác trong và ngoài góc BOD.
4)Nếu (ABCD)=(ABCD') thì D trùng D'.
5)Nếu O(ABCD)=O(ABCD') thì O,D,D' thẳng hàng.
6)Nếu các điểm A,B,C thuộc đường thẳng d_1 và A',B',C' thuộc đường thẳng d_2 sao cho d_1 cắt d_2 tại O. Thế thì AA', BB',CC' đồng quy hoặc đôi một song song khi và chỉ khi (OABC)=(OA'B'C').
5) Một số hàng điều hoà cơ bản:
Trước đây trong các sách chỉ giới thiệu chúng mà ko chịu đặt tên, để cho thuận tiện tôi sẽ thống kê lại chúng và cho chúng những cái tên nổi bật và dễ nhớ.
*)Hàng điều hoà trực giao: Cho tam giác ABC có M,N,P lần lượt thuộc BC,CA,AB: AM,BN,CP đồng quy. Khi đó gọi NP giao với BC tại S. Khi đó (SBDC)=-1.
Chứng minh:Áp dụng định lý Melaneus và định lý Ceva cho tam giác ABC với AM,BN,CP đồng quy; S,P,N thẳng hàng. Ta có 2 hệ thức sau:
$1)\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}.\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=-1$
$2)\frac{\overline{SB}}{\overline{SC}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}.\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=1$
Nhân 2 vế đẳng thức trên suy ra $\frac{\overline{SB}}{\overline{SC}}=-\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}$
Từ đó theo định nghĩa ta có đpcm.
Chứng minh trên thực sự hấp dẫn bởi sự ngắn gọn. Và đồng thời cho ta 1 khẳng định rằng với mỗi 3 đường đồng quy bất kỳ của 1 tam giác sẽ cho ta 1 hàng điều hoà trực giao.
**)Hàng điều hoà cát tuyến: Cho (O) và 1 điểm S nằm ngoài (O). Kẻ cát tuyến SDE tới (O). Vẽ các tiếp tuyến SB,SC đến (O). Gọi BC giao với DE tại I. Khi đó (SDIE)=-1.(Chứng minh xin dành cho bạn đọc)
***)Hàng điểm phân giác: Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Khi đó (EBDC)=-1.(Chứng minh cho hàng điểm này khá đơn giản xin dành cho bạn đọc)
Sở dĩ giới thiệu với các bạn các hàng điều hoà cơ bản này là muốn giúp các bạn ko phải tốn giấy mực viết lại chứng minh trong bài làm vì chúng đã cơ bản mà.
Chú ý:(trong tính chất 1) nhiều sách hiện nay gọi đó là phép chiếu xuyên tâm.
III)Định nghĩa và tính chất của tứ giác điều hoà:
1)Tứ giác nội tiếp ABCD mà thoả mãn tồn tại 1 điểm M trên đường tròn sao cho M(ABCD)=-1 thì đó là 1 tứ giác điều hoà.
2)Tứ giác ABCD điều hoà khi và chỉ khi 1 trong các điều kiện sau thoả mãn:
+)có tiếp tuyến tại A,C và BD đồng quy hoặc tiếp tuyến tại B,D và AC đồng quy.
+)tích các cạnh đối diện bằng nhau.
+)định nghĩa
+).....
3)Mối quan hệ giữa hàng điểm điều hoà và tứ giác điều hoà:(do chưa xuất hiện kiến thức này trong các sách hiện hành do đó tôi tạm gọi tắt mối liên hệ này là mối quan hệ "điều hoà")(sẽ có lúc mình quay về vấn đề này sâu hơn trong 1 bài viết sắp tới)
Cho hàng điểm điều hoà BDEC. Lấy 1 điểm A bất kỳ(A không thuộc BC) . Vẽ đường tròn (ABC). Gọi AD,AE lần lượt giao (ABC) tại P,Q. Khi đó BCPQ là 1 tứ giác điều hoà.
Chứng minh: Sau đây là chứng minh mới của tôi cho định lí hay này, sở dĩ chứng minh ban đầu là của bạn kimluan và chứng minh này phụ thuộc vào 1 bài VMO.
(bạn đọc tự vẽ hình)
Gợi ý:Trước tiên ta đi chứng minh 2 tứ giác ABCP và ABQC là các tứ giác điều hoà.
Ta đi chứng minh 1 tứ giác ABCP điều hoà, tứ giác còn lại tương tự.
Qua P kẻ tiếp tuyến (ABC) cắt BC tại S. Do (BDEC)=-1 suy ra ta có P(SBDE)=-1.
Qua A kẻ tiếp tuyến (ABC) Cắt BC tại S'. Tương tự suy ra P(S'BDE)=-1
Do đó S trùng S'. Do vậy tứ giác ABCP điều hoà
Từ việc 2 tứ giác trên điều hoà dẫn tới ta quy việc chứng minh tứ giác BPCQ điều hoà tương đương với chứng minh tam giác QBC và tam giác CPQ đồng dạng( hiển nhiên đúng do tứ giác BPCQ nội tiếp).
Đáng chú ý rằng mình nhận thấy có 1 cách cm khác sử dụng định nghĩa tứ giác điều hoà rất hay:
Do (BDEC)=-1 nên A(BDEC)=-1 suy ra A(BPQC)=-1 từ đó ta có đpcm. (thực sự ấn tượng vs độ ngắn của cm này)
IV) Một số ứng dụng quan trọng, đơn giản, hay mà sâu cay(sẽ hoàn thiện dần trong thời gian tới)
VD1: Cho (O) và 1 điểm A nằm ngoài (O). Kẻ các tiếp tuyến AB,AC đến (O). Kẻ cát tuyến ADE đến (O). Đường thẳng qua D song song AB cắt BC,BE tại M,N. CMR: M là trung điểm DN.
Nhận xét: Chứng minh đầu tiên mà tôi tìm được cho bài toán là của thầy Vũ Hữu Bình- 1 lời giải độc đáo với cách vẽ thêm hình phụ. Có điều lời giải này quá dài và khó đáp ứng nhu cầu nhanh gọn. Sau đây là lời giải bằng hàng điều hoà:
Gọi AE giao BC tại I. khi đó theo hàng điểm cát tuyến ta có (ADIE)=-1 suy ra B(ADIE)=-1 mà theo gt ta có DN//AB nên theo tính chất về chùm điều hoà ta có M là trung điểm DN.
Bình luận: Lời giải trên có tiết kiệm tối đa giấy mực cho các ghi chép quan trọng khác. 
VD2: Cho tam giác ABC có D,E,F lần lượt thuộc BC,CA,AB sao cho AD,BE,CF đồng quy. AD giao EF tại I. Đường thẳng qua I song song với BC cắt DF,DE tại X,Y. CMR: I là trung điểm XY.
Giải:(bạn đọc tự vẽ hình)
Theo hàng điều hoà trực giao nếu ta gọi EF giao với BC tại S thì (SBDC)=-1
Khi đó theo phép chiếu xuyên tâm A suy ra (SEIF)=-1 suy ra D(SEIF)=-1 mà XY// SE nên theo tính chất chùm điều hoà ta thu được đpcm.
Bình: Lời giải trên quá gọn nên nếu bạn nào thắc mắc và ko hiểu tại sao nên học hàng điều hoà thì đây chính là lí do.
VD3: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B,C cắt nhau tại P. Vẽ dây AM// BC. MN giao (O) tại P. CMR: PA chia đôi đoạn BC.
Bình:Có thể nói bài toán khá ngắn nhưng tư tưởng giải nó khá phong phú và đầy sức quyến rũ. Cơ bản thì ta chia làm 2 cách làm mà cách nào cũng HAY và sủ dụng đc những kiến thức ở trên.VD này thể hiện đc sức mạnh tuyệt đối của tứ giác điều hoà và chùm điều hoà.
C1: Phụ thuộc vào việc nhìn ra tứ giác MBCP điều hoà và việc AMBC là hình thang cân.
C2: Phụ thuộc vào việc tứ giác MBCP điều hoà và mối quan hệ giữa tứ giác điều hoà và hàng.
Giải: C1: Trước tiên để ý rằng tiếp tuyến tại B,C và MP đồng quy do đó theo sự nhận biết về tứ giác điều hoà thì tứ giác MBCP điều hoà.
Do đó nếu ta có BP.MC=CP.BM
kết hợp việc tứ giác ABMC là hình thang cân(hiển nhiên đúng)nên từ hệ thức trên ta thu được 1 hệ thức khác: BP.AB=PC.CA
Do đó ta thu được: $\frac{BP}{CA}=\frac{PC}{AB}$
Đáng lưu ý là do tứ giác ABCP nội tiếp do đó tam giác SPB đồng dạng tam giác SCA nên từ tỷ số trên ta thu được 1 hệ thức quan trọng sau:
$\frac{SB}{SA}=\frac{SC}{SA}$
Từ đây hiển nhiên ta thu được đpcm.
C2: Cách 1 thật sự là 1 kết nối đẹp giữa gt và kết luận bấy nhiêu thì C2 lại càng thể hiện được mối liên kết chặt chẽ thêm bấy nhiêu. Nhưng quan trọng hơn cả là nó rút gọn tối đa lời giải ở cách 1. C2 cho ta hiểu sức mạnh tuyệt nhiên ko thể bàn cãi của hàng điều hoà và tứ giác điều hoà .
Vẫn với lập luận trên ta có đc rằng MBCP là 1 tứ giác điều hoà.
Gọi AP lần lượt giao BM,BC tại Q,S.
Theo mối liên hệ hàng điều hoà-tứ giác điều hoà ta có ngay (BQIM)=-1 suy ra A(BQIM)=-1
lại có AM//BC(gt) do đó theo định lý về chùm điều hoà ta thu được đpcm.
VD4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. H là hình chiều D lên EF. CMR: HD là phân giác BHC.
Cách giải ban đầu hoàn toàn sử dụng kiến thức lớp 9 tuy thế khá dài. Sau đây là cách giải bằng hàng điều hoà và chùm điều hoà.
Trước tiên lưu ý DB=BF; DC=EC;AF=AE.
Từ đó ta có:$\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}.\frac{\overline{EC}}{\overline{EA}}.\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}=-1$
Do đó theo định lý Ceva đảo ta có AD,BE,CF đồng quy.Gọi EF giao BC tại S. Khi đó theo hàng điều hoà trực giao ta có (SBDC)=-1.
từ đó ta có H(SBDC)=-1. mà HD vuông góc HS nên theo định lý về chùm điều hoà ta có đpcm.
Nhận xét:Bài toán thật sự rất hay bởi độ ngắn và hay của nó.
VD5:( trích VMO 2002) Cho 2 đường tròn (O-1) và đường tròn (O-2) giao nhau tại A,B. Hai tiếp tuyến tại A,B của (O-1) cắt nhau tại M. Lấy M thuộc (O-1). MK giao (O-1) tại C. MA,MB giao (O-2) tại P,Q. CMR: MC chia đôi PQ.
Nhận xét:Bài toán trên là 1 trong những bài toán có ứng dụng kiến tứ giác điều hoà sâu sắc nhất.
Giải: Sau đây là lời giải cho nó.
Gọi MK giao PQ tại S. Ta đi chứng minh rằng S là trung điểm PQ. Dễ nhận thấy ACMB là tứ giác điều hoà. Lại có góc ACM= góc ABM(do tứ giác BMAC nội tiếp) mà góc ABM=góc APS(do tứ giác PABQ nội tiếp) do đó ta thu được APCS là tứ giác nội tiếp.
Do đó ta có tỉ số sau:
$\frac{SP}{AC}=\frac{SM}{AM}\Rightarrow SP=\frac{SM.AC}{AM}$(1)
Tương tự ta cũng thu được:$SQ=\frac{SM.BC}{BM}$(2)
Đến đây chú ý rằng tứ giác ACMB điều hoà do đó $\frac{AC}{AM}=\frac{SM}{BM}$
thay lại vào (1)(2) ta thu được đpcm.
VD6: Cho tam giác ABC có các đường cao BE,CF cắt nhau tại H. EF giao với BC tại S. AB giao với đường tròn ngoại tiếp tam giác ASC tại P, AH giao (ASC) tại Q. Gọi SQ giao CP tại M. CMR: AD,SP,BM đồng quy tại 1 điểm.
Bình: Có thể nói bài toán trên đây khá là khó và đồng thời việc vẽ hình chắc chắn làm bạn điên đầu. Có điều quan trọng là liệu bạn có đủ kiên nhẫn trước mỗi bài toán dù nó có rối rắm đến đâu.Sau đây là lời giải cho bài toán trên 1 lời giải ngắn gọn và khá hay,nó đã loại bỏ sự gồ ghề cho bài toán,
Giải: Dễ thấy rằng (SBDC)=-1 theo hàng điểm trực giao.
Do đó do mối liên hệ "điều hoà" thì ta thu được ngay rằng SPCQ là 1 tứ giác điều hoà. Gọi AB giao SQ tại N. Đáng chú ý là do tứ giác SPCQ điều hoà do đó tương đương là tứ giác PSCA điều hoà. Khi đó lại theo mối liên hệ "điều hoà" thì nếu gọi AH giao với PC tại I thì hiển nhiên ta thu được (PMIC)=-1 lưu ý rằng ở trên ta đã chứng minh rằng (SBDC)=-1 nên theo tính chất 6 về hàng điều hoà thì ta thu được điều phải chứng minh.
Nhận xét: Chứng minh này thực sự chứng minh sức mạnh của hàng điểm điều hoà và sức mạnh của nó.
Tuy rằng có thể nói rằng hàng điều hoà được sử dụng thì bài toán đôi khi có khó cũng sẽ (có thể) được giải quyết bởi thực sự thì đây là 1 công cụ có sức mạnh đáng sợ với sức huỷ diệt lớn, nhưng đôi khi nó là quá mạnh. Ta sẽ dạo qua 1 ví dụ để thể hiện điều này.
VD7: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có các đường cao AD,BF,CE. Gọi EF giao BC tại P. Đường thẳng qua D//EF giao lần lượt AB,AC tại Q,R. CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua 1 điểm cố định.
Bình: Lời giải bằng hàng điểm điều hoà là 1 lời giải đẹp nhưng là quá mạnh. Toán học là đơn giản hoá vấn đề, dựa trên tư tưởng trên tôi sẽ đưa ra 1 lời giải khác dùng kiến thức cấp THCS
Giải: Gọi H là trực tâm tam giác ABC,AH giao BC tại D. gọi M là trung điểm BC. Khi đó gọi AP giao (O) tại L, thì dễ thấy L,M,H thẳng hàng hay là ML vuông góc AP. Từ đó dẫn tới H là trực tâm tam giác APM. Chú ý rằng từ đây lại suy ra rằng $DH.DA=DM.DP$. Mà H cũng là trực tâm tam giác ABC nên ta thu được $DB.DC=DH.DA$ do đó ta có $MD.DP=DB.DC$.
Dễ dàng chứng minh được rằng QBCR là 1 tứ giác nội tiếp(chú ý EF//QR), do đó ta thu được $DQ.DR=DB.DC$. Vậy hay là ta có:$DM.DP=DQ.DR$ hay là PQRM là 1 tứ giác nội tiếp vậy ta có đpcm((PQR) đi qua M là trung điểm BC).
Nhận xét: chúng ta chỉ nên sử dụng vũ khí tối thượng hàng điểm điều hoà và tứ giác điều hoà ở những thời điểm quyết định.
Trước khi kết thúc các VD tôi xin nêu ra 1 bài toán mà tôi tâm đắc nhất khi nhờ mối quan hệ "điều hoà" mà tôi đã sáng tạo ra bài toán đẹp này.
VD8: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi CF giao(I) tại M. MK giao DE tại L. FL giao AC tại N. CMR D,M,N thẳng hàng.
Giải: Bài toán trên thực sự khó do các yếu tố khá rời rạc nhau và cầu nối duy nhất, thưa các bạn , chính là mối quan hệ "điều hoà". Sau đây là lời giải cho nó dễ nhận thấy từ gt thì DFEK là 1 tứ giác điều hoà. Gọi CF giao DE tại T. Từ mối quan hệ "điều hoà" thì ta thu được (ELDT)=-1.Chú ý theo hàng điểm cát tuyến thì (CMTF)=-1, chú ý rằng ED cắt CF tại T nên theo tính chất hàng điều hoà thì DM,FL,AC đồng quy hay là D,M,N thẳng hàng.
Thực sự tôi tin bài toán có lời giải sơ cấp hơn( nhưng thực sự thì bài toán này thể hiện 1 chiều sâu của công cụ hàng điều hoà và mối quan hệ điều hoà).
Cuối cùng,xin khép lại bài viết bằng 1 số bài tập.
V) Một số bài tập ứng dụng HAY VÀ ĐẸP
1) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc BC,AC,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi EF giao BC tại S. Gọi AB,AD lần lượt giao (ACS) tại P,Q. Gọi AC giao SQ tại L. Đường thẳng qua Q song song AC cắt CP,CB lần lượt tại M,N. CMR CP đi qua trung điểm QN
2)Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và M là trung điểm BC. Kẻ AD vuông góc với MH tại D(D thuộc MH). Phân giác góc DBH giao DC tại X, phân giác góc DCH giao DB tại Y. Kẻ các đường cao BE,CF của tam giác ABC. CMR AD,EF,XY đồng quy tại 1 điểm.
3)Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Lấy I bất kỳ thuộc AH, kéo dài BI và CI cắt AB và AC tại E,F. CMR AH là phân giác góc EHF.
4)Cho (O) và 1 điểm A nằm ngoài (O), Kẻ cát tuyến AMQ,ANP đến (O). Kẻ tiếp tuyến AB,AC đến (O). CMR: NQ,MP,BC đồng quy tại 1 điểm.
5)(tổng quát của bài 3)Cho tam giác ABC và các điểm D,E,F thuộc BC,CA,AB sao cho AD,BE,CF đồng quy.Gọi AD giao EF tại I.Kẻ IH vuông góc BC. CMR: IH là phân giác góc EHF.
6)Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc BC, CA, AB lần lượt tại D,E,F. EF giao BC tại S. DE giao SA tại M. AD giao (I) tại K. CMR: F,M,K thẳng hàng.
Mong rằng các bạn sẽ tiếp tục sáng tạo thêm vs 2 công cụ mạnh trên 
Trong bài viết mình có tham khảo 1 số bài toán trong sách tài liệu chuyên toán-hình học 10
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 11-07-2015 - 14:42
)
