2 replies to this topic

[congdan9aqxk]

Cho các số thực a;b;c thỏa:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Tìm max:

P=a+b+c-abc

[Thao Huyen]

Cho các số thực a;b;c thỏa:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Tìm max:

P=a+b+c-abc

$(a+b+c)^2-2\sum ab=3\Leftrightarrow p^2-2q=3;Find_{max}P=p-r$

Có: $p^3+9r\geqslant 4pq\Rightarrow r\geqslant \frac{4pq-p^3}{9}\Rightarrow P\leqslant p-\frac{4pq-p^3}{9}=p-\frac{4p(\frac{p^2-3}{2}-p^3)}{9}$

Xong :v

[Dinh Xuan Hung]

Cho các số thực a;b;c thỏa:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Tìm max:

P=a+b+c-abc

Đặt $f(x;y;z)=x+y+z-xyz$ và $2t^2=y^2+z^2$

Ta cần có:

$$f(x;y;z)\leqslant f(x;t;t)$$

Chú ý là $t$ có thể nhận 2 giá trị, nhưng ta chỉ cần xét khi $t\geqslant 0$

$$f(x;y;z)-f(x;t;t)=y+z-2t+x(t^2-yz)$$

Thấy rằng $t^2 \geqslant yz$ và $y+z-2t\leqslant 0$, vì vậy ta giả sử $x=\text{min{x;y;z}}$ xét khi $x\leqslant 0$

Lúc này. thay $t=\sqrt{\dfrac{3-x^2}{2}}$ ta được:

$$f(x;t;t)=g(x)=x+\sqrt{6-2x^2}+\dfrac{x^3-3x}{2}$$

$$g'(x)=0 \Rightarrow x=-\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{13}}{3}}$$

$$g(x)\leqslant g\left( -\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{13}}{3}}\right)$$

 

Trường hợp $x>0 \Rightarrow  x,y,z>0$:

Nếu $yz\geqslant 1$

$$f(x;y;z)=x(1-yz)+y+z\leqslant \sqrt{2(y^2+z^2)}<\sqrt{6}<\dfrac{5}{2}$$

Nếu $0<yz\leqslant 1$

$$f(x;y;z)=x(1-yz)+y+z\leqslant \sqrt{(3+2yz)(y^2z^2-2yz+2)}< \dfrac{5}{2}$$