Chủ đề này có 5 trả lời

[Zaraki]

Đề thi Olympic Gặp gỡ Toán học 2015 - Khối 12
Thời gian làm bài: 210 phút.

 

Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thoả mãn $a^2+b|a^2b+a$ và $b^2-a|ab^2+b$.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ thoả mãn đồng thời các điều kiện:

• $f(f(n))=4n+3$ với mọi $n$ nguyên;
• $f(f(n)-n)=2n+3$ với mọi $n$ nguyên.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Điểm $D$ bất kì thuộc cạnh $BC$. Đường tròn $(ODC)$ cắt cạnh $AC$ tại $E$, $(ODB)$ cắt cạnh $AB$ tại $F$. Điểm $M$ bất kì thuộc tia đối tia $DO$. Đường tròn $(MDE)$ cắt cạnh $OE$ tại $N$, $(MDF)$ cắt cạnh $OF$ tại $P$. Gọi $XYZ$ là tam giác tạo bởi ba đường trung trực các đoạn $DM,EN,FP$.

• Chứng minh rằng $O$ là trực tâm tam giác $DEF$;
• Chứng minh rằng hai đường tròn $(MNP)$ và $(XYZ)$ đồng tâm.

Bài 4. Cho dãy số nguyên dương $(a_n)$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

• Các số hạng của dãy số đôi một khác nhau;
• $a_1=5,a_2=4,a_3=3$;
• $a_n \ge n$ với mọi $n=1,2,3, \cdots$;

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, tồn tại số nguyên dương $n>m$ thoả mãn $a_n \ne n+1$.

Nguồn: Facebook anh Cẩn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 25-07-2015 - 22:07

[hoangtubatu955]

Câu 1:

Ta có $a^2+b|a^2b+a=b(a^2+b)+a-b^2$. Suy ra $a^2+b|b^2-a$

Tương tự thì $b^2-a|a^2+b$.

Mặt khác chú ý rằng do $a,b$ nguyên dương nên $a^2+b>a-b^2$ nên ta có $a^2+b=b^2-a$ từ đây ta có $b=a+1$.

Thử lại thấy $(a,a+1)$ thỏa mãn với mọi $a$ nguyên dương.

[hoangtubatu955]

Đề câu hàm có gì sai chăng. Đầu tiên ta có $f$ đơn ánh.

Cho $n=0$ vào cả 2 phương trình thì ta thu được $f(f(0))=3=f(f(0)-2)$ suy ra $f(0)=f(0)-2$, mâu thuẫn. Vậy không tồn tại hàm thỏa mãn.

[Juliel]

Đề câu hàm đúng phải là :

 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ và thoả mãn :

1) $f(f(n))=4n+3,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

2) $f(f(n)-n)=2n+3,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

 

Đây là lời giải của mình :

 

Trong $(2)$ cho $n=-1$ thì có :

$$f(f(-1)+1)=1$$

Vậy ta có $f(a)=1$ với $a=f(-1)+1$.

Trong $(2)$ thay $n$ bởi $2n$ :

$$f(f(2n)-2n)=4n+3=f(f(n)),\;\forall n\in \mathbb{Z}$$

Tuy nhiên dễ thấy $f$ đơn ánh nên :

$$f(2n)=f(n)+2n,\;\forall n\in \mathbb{Z}\;\;\;\;(3)$$

Trong $(1)$ thay $n$ bởi $f(n)-n$ và sử dụng $(2)$ :

$$f(2n+3)=4f(n)-4n+3,\;\forall n\in \mathbb{Z}\;\;\;(4)$$

 

Trong $(4)$ cho $n=a$ :

$$f(2a+3)=4f(a)-4a+3=-4a+7$$

Trong $(2)$ cho $n=2a+3$ được :

$$f(f(2a+3)-2a-3)=2(2a+3)+3=4a+9\Leftrightarrow f(-2a+4)=4a+9$$

 

Mặt khác trong $(1)$ cho $n=a$ thì được $f(1)=4a+3$. Từ đó theo $(3)$ :

$$f(4)=f(2)+4=f(1)+6=4a+9$$

 

Như vậy ta được $f(4)=f(-2a+4)\Leftrightarrow 4=-2a+4\Leftrightarrow a=0$. Tức $f(0)=1$

 

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp $f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{N}$. Rõ ràng với $n=0$ thì điều này đúng.

Gỉa sử điều này đúng với $n$, xét với $n+1$ :

Từ $(2)$ ta có ngay :

$$f((2n+1)-n)=2n+3\Leftrightarrow f(n+1)=2(n+1)+1$$

Theo nguyên lí quy nạp ta được :

$$f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{N}$$

Tiếp theo ta sẽ chứng minh $f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}^-$.

Với $f(0)=1$ và các đẳng thức $(3),(4)$ ta dễ dàng tính được $f(-1)=-1,f(-2)=-3,f(-3)=-5$.

Gỉa sử rằng :

$$f(-n)=-2n+1,\;\forall n\in \mathbb{N}: 3\leq n\leq k$$

Ta cần chỉ ra rằng $f(-k-1)=-2k-1$.

Thật vậy, nếu $k$ lẻ thì theo $(3)$ :

$$f(-k-1)=f\left ( \dfrac{-k-1}{2} \right )-k-1$$

Tuy nhiên theo giả thiết quy nạp ta có $f\left ( \frac{-k-1}{2} \right )=-k$. Suy ra $f(-k-1)=-2k-1$.

Còn nếu $k$ chẵn thì theo $(4)$ :

$$f(-k-1)=4f\left ( \dfrac{-k-4}{2} \right )-4.\left ( \frac{-k-4}{2} \right )+3=4.\left ( -k-3 \right )+2(k+4)+3=-2k-1$$

Quy nạp hoàn tất, ta được :

$$f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}^-$$

 

Đáp số của bài toán là :

$$f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 25-07-2015 - 21:47

[hoangtubatu955]

Đề câu hàm đúng phải là :

 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ và thoả mãn :

1) $f(f(n))=4n+3,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

2) $f(f(n)-n)=2n+3,\;\forall n\in \mathbb{Z}$

 

Đây là lời giải của mình :

 

Trong $(2)$ cho $n=-1$ thì có :

$$f(f(-1)+1)=1$$

Vậy ta có $f(a)=1$ với $a=f(-1)+1$.

Trong $(2)$ thay $n$ bởi $2n$ :

$$f(f(2n)-2n)=4n+3=f(f(n)),\;\forall n\in \mathbb{Z}$$

Tuy nhiên dễ thấy $f$ đơn ánh nên :

$$f(2n)=f(n)+2n,\;\forall n\in \mathbb{Z}\;\;\;\;(3)$$

Trong $(1)$ thay $n$ bởi $f(n)-n$ và sử dụng $(2)$ :

$$f(2n+3)=4f(n)-4n+3,\;\forall n\in \mathbb{Z}\;\;\;(4)$$

 

Trong $(4)$ cho $n=a$ :

$$f(2a+3)=4f(a)-4a+3=-4a+7$$

Trong $(2)$ cho $n=2a+3$ được :

$$f(f(2a+3)-2a-3)=2(2a+3)+3=4a+9\Leftrightarrow f(-2a+4)=4a+9$$

 

Mặt khác trong $(1)$ cho $n=a$ thì được $f(1)=4a+3$. Từ đó theo $(3)$ :

$$f(4)=f(2)+4=f(1)+6=4a+9$$

 

Như vậy ta được $f(4)=f(-2a+4)\Leftrightarrow 4=-2a+4\Leftrightarrow a=0$. Tức $f(0)=1$

 

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp $f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{N}$. Rõ ràng với $n=0$ thì điều này đúng.

Gỉa sử điều này đúng với $n$, xét với $n+1$ :

Từ $(2)$ ta có ngay :

$$f((2n+1)-n)=2n+3\Leftrightarrow f(n+1)=2(n+1)+1$$

Theo nguyên lí quy nạp ta được :

$$f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{N}$$

Tiếp theo ta sẽ chứng minh $f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}^-$.

Với $f(0)=1$ và các đẳng thức $(3),(4)$ ta dễ dàng tính được $f(-1)=-1,f(-2)=-3,f(-3)=-5$.

Gỉa sử rằng :

$$f(-n)=-2n+1,\;\forall n\in \mathbb{N}: 3\leq n\leq k$$

Ta cần chỉ ra rằng $f(-k-1)=-2k-1$.

Thật vậy, nếu $k$ lẻ thì theo $(3)$ :

$$f(-k-1)=f\left ( \dfrac{-k-1}{2} \right )-k-1$$

Tuy nhiên theo giả thiết quy nạp ta có $f\left ( \frac{-k-1}{2} \right )=-k$. Suy ra $f(-k-1)=-2k-1$.

Còn nếu $k$ chẵn thì theo $(4)$ :

$$f(-k-1)=4f\left ( \dfrac{-k-4}{2} \right )-4.\left ( \frac{-k-4}{2} \right )+3=4.\left ( -k-3 \right )+2(k+4)+3=-2k-1$$

Quy nạp hoàn tất, ta được :

$$f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}^-$$

 

Đáp số của bài toán là :

$$f(n)=2n+1,\;\forall n\in \mathbb{Z}$$

Cách của đoạn quy nạp thì không khác gì mình. Nhưng mình có cách khác tính $f(0)$ có vẻ nhanh hơn.

Từ (1) ta thay $n=-1$ thì $f(f(-1))=-1$. Bây giờ cũng từ (1) thay $n=f(-1)$ ta có $f(-1)=-1$
Khi đó thay $n=-1$ vào 2 ta có ngay $f(0)=1$

[hoangtubatu955]

Câu 4. Phản chứng:

Giả sử tồn tại $m$ sao cho $\forall n>m: a_n=n+1$.

Khi đó ta có: 

  $a_i \le m+1; \forall i \le m$ ( do $a_i$ đôi một phân biệt và các số lớn hơn $m+1$ đều đã xuất hiện theo giả thiết phản chứng)

Mặt khác, $a_i \ge 6; \forall i=4,5,..$ ( Do giả thiết $ii)$ )

Như vậy trong $m-3$ số $a_4,...,a_{m}$ chỉ có $m-4$ giá trị, tức tồn tại 2 số có cùng 1 giá trị. Mâu thuẫn với giải thiết các số đôi một phân biệt.

Vậy ta có điều phải chứng minh!