Chủ đề này có 3 trả lời

[congdan9aqxk]

Cho x;y;z dương :x+y+z=1.Cm

$\sum \frac{1}{1-xy}\leq \frac{27}{8}$

[gianglqd]

Cho x;y;z dương :x+y+z=1.Cm

$\sum \frac{1}{1-xy}\leq \frac{27}{8}$

Dấu = xảy ra khi nào vậy nhỉ

[Hoang Nhat Tuan]

Cho x;y;z dương :x+y+z=1.Cm

$\sum \frac{1}{1-xy}\leq \frac{27}{8}$

Sử dụng Chebyshev để chứng minh

Đặt: $x=bc;y=ca;z=ab$ thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{1-9x}{1-x}\geq 0$

$\sum \frac{(1-9x)(2+3x)}{(1-x)(2+3x)}\geq 0$

Giả sử $a\geq b\geq c=>x\leq y\leq z$ Khi đó:

$(1-9x)(2+3x)-(1-9y)(2+3y)=(y-x)(15+27x+27y)\geq 0$

Và $(1-9y)(2+3y)-(1-9z)(2+3z)\geq 0$

Dẫn đến: $(1-9x)(2+3x)\geq (1-9y)(2+3y)\geq (1-9z)(2+3z)$

$z+y=a(b+c)\leq \frac{1}{4}$ (dễ chứng minh bằng AM-GM)

Tương tự thì: $z+x\leq \frac{1}{4};x+y\leq \frac{1}{4}$

Do đó: $(1-x)(2+3x)\leq (1-y)(2+3y)\leq (1-z)(2+3z)$

Sử dụng Chebyshev thì:

$\sum \frac{(1-9x)(2+3x)}{(1-x)(2+3x)}\geq (\sum (1-9x)(2+3x))\sum \frac{1}{(1-x)(2+3x)}$

Cần chứng minh: $\sum (1-9x)(2+3x)\geq 0<=>6-15(x+y+z)-27(x^2+y^2+z^2)\geq 0$

$<=>5(ab+bc+ca)+9(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leq 2<=>5\sum ab+9(\sum ab)^2\leq 18abc+2$

Đổi biến p,q,r

Sử dụng BĐT Schur thì:$r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}=>9r+1\geq 4q$

Kết hợp với: $q\leq \frac{p^2}{3}=\frac{1}{3}$

Từ đó suy ra: $5q+9q^2\leq 8q\leq 18r+2$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh 

[hoanglong2k]

Cho x;y;z dương :x+y+z=1.Cm

$\sum \frac{1}{1-xy}\leq \frac{27}{8}$

 Ta có : BĐT $\Leftrightarrow 3+19xyz\geq 27x^2y^2z^2+11(xy+yz+zx)$ theo biến đổi tương đương

 Theo Schur thì $xyz\geq \frac{4(xy+yz+zx)-1}{9}\Rightarrow \frac{19}{9}+19xyz\geq \frac{76(xy+yz+zx)}{9}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $\frac{8}{9}\geq 27x^2y^2z^2+\frac{23}{9}(xy+yz+zx)$

 Bất đẳng thức trên luôn đúng do $xyz\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27}$ và $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}$

 Bất đẳng thức được chứng minh