Chủ đề này có 7 trả lời

[leminhansp]

CMR phương trình $$\sqrt[3]{x^2-1}-\sqrt{x^3-2}+x=0$$ có đúng một nghiệm $x=3$.

 

Có bạn nào có ý tưởng khác ngoài cách nhân liên hợp không nhỉ? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 04-08-2015 - 11:18

[Rias Gremory]

CMR phương trình $$\sqrt[3]{x^2-1}-\sqrt{x^3-2}+x=0$$ có đúng một nghiệm $x=3$.

Điều kiện: $x \ge \sqrt[3]{2}$

Ta có:

$\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-2}$

$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x^2-1}-2)+(x-3)=\sqrt{x^3-2}-5$

$\Leftrightarrow \dfrac{x^2-9}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}+(x-3)=\dfrac{x^3-27}{\sqrt{x^3-2}+5}$

$\Leftrightarrow x=3$(thỏa mãn điều kiện)

Hoặc:

$\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}+1-\dfrac{x^2+3x+9}{\sqrt{x^3-2}+5}=0$ (vô nghiệm với mọi $x \ge \sqrt[3]{2}$)

Suy ra ĐPCM

[leminhansp]

 

$\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}+1-\dfrac{x^2+3x+9}{\sqrt{x^3-2}+5}=0$ (vô nghiệm với mọi $x \ge \sqrt[3]{2}$)

 

Với yêu cầu đề bài như trên thì đoạn chỉ rõ vì sao phương trình này vô nghiệm là quan trọng!

[kudoshinichihv99]

Với yêu cầu đề bài như trên thì đoạn chỉ rõ vì sao phương trình này vô nghiệm là quan trọng!

Ý tưởng của em là chứng minh 

$\frac{x+3}{\sqrt[3]{(x^2-1^2)}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}\leq 1 và \frac{x^2+3x+9}{\sqrt[3]{x^3-2}+5}\geq 2$

[leminhansp]

Ý tưởng của em là chứng minh 

$\frac{x+3}{\sqrt[3]{(x^2-1^2)}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}\leq 1 và \frac{x^2+3x+9}{\sqrt[3]{x^3-2}+5}\geq 2$

 

Bạn chứng minh hai điều trên bằng cách nào?

Có ý tưởng gì để đánh giá trực tiếp từ phương trình ban đầu không nhỉ?

[kudoshinichihv99]

Bạn chứng minh hai điều trên bằng cách nào?

Có ý tưởng gì để đánh giá trực tiếp từ phương trình ban đầu không nhỉ?

Em làm ntn:

$\frac{x+3}{4+\sqrt[3]{(x^2-1)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}}< 1 <=>(\sqrt[3]{x^2-1}+1)^2-x> 0$

Đặt $\sqrt[3]{x^2-1}=t$

=> (t+1)(t³+2t²+4t)>0 đúng vs t>0

$\frac{x^2+3x+9}{\sqrt{x^3-2}+5}-2=\frac{x^3+3x-2\sqrt{x^3-2}-1}{\sqrt{x^3-2}+5}=\frac{(\sqrt{x^3-2}-1)^2+3x}{\sqrt{x^3-2}+5}>0$

Còn đánh giá từ pt đầu thì em chịu 

[dkhoan]

bài này đặt ẩn phụ được 

[chieckhantiennu]

Liên hợp+ đánh giá từ PT đầu:

$pt \Leftrightarrow \sqrt{x^3-2}-(2x-1)+(x-1)-\sqrt[3]{x^2-1}=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(x-3)(x^2-x+1)}{\sqrt{x^3-2}+2x-1}+\dfrac{(x-3)(x-1)x}{(x-1)^2+(x-2)\sqrt[3]{x^2-1}+(\sqrt[3]{x^2-1})^2}=0$

$\rightarrow x=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 18-08-2015 - 08:19