5 replies to this topic

[Minhnguyenthe333]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:
$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

[phamquanglam]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:
$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Ta biến đổi vế trái :

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\sum (\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-1)=\frac{1}{2}\sum \frac{(a-b)(a+b)+(a-c)(a+c)}{b^{2}+c^{2}}= \frac{1}{2}\sum (\frac{(a-b)(a+b)}{b^{2}+c^{2}}-\frac{(a-b)(a+b)}{a^{2}+c^{2}})=\frac{1}{2}\sum (a-b)(a+b)\frac{(a-b)(a+b)}{(b^{2}+c^{2})(a^{2}+c^{2})}=\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}.\frac{(a+b)^{2}}{(b^{2}+c^{2})(a^{2}+c^{2})}$

Ta biến đổi vế phải: 

$\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\sum \frac{a-b+a-c}{b+c}=\frac{1}{2}\sum (\frac{a-b}{b+c}-\frac{a-b}{c+a})=\frac{1}{2}\sum (a-b)\frac{a-b}{(b+c)(c+a)}=\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}.\frac{1}{(b+c)(c+a)}$

Nên:

$VT-VP=\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}(\frac{(a+b)^{2}}{(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}-\frac{1}{(b+c)(c+a)})$

Sử dụng tiêu chuẩn 2 của $S.O.S$ ta suy ra điều phải chứng minh 

[ttlinhtinh]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:
$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}

Bài toán tổng quát (Sáng tạo Bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng - Tr.85)

Với $a,b,c>0$ và với mọi $s \geq t \geq 0$ thì:

$\frac{a^s}{b^s+c^s}+\frac{b^s}{c^s+a^s}+\frac{c^s}{a^s+b^s} \geq \frac{a^t}{b^t+c^t}+\frac{b^t}{c^t+a^t}+\frac{c^t}{a^t+b^t}$

Edited by ttlinhtinh, 19-08-2015 - 22:53.

[cachcach10x]

Bài này còn cách nào khác không ạ?

[ttlinhtinh]

Bài này còn cách nào khác không ạ?

Xét hàm số: $f(x)=\frac{a^x}{b^x+c^x}+\frac{b^x}{c^x+a^x}+\frac{c^x}{a^x+b^x}$

Đạo hàm $f(x)$ theo $x$ có thể nhận thấy: $f'(x)\geq 0$ với $\forall x \geq 0$. Hàm $f(x)$ đồng biến với $x\in [0;+\infty )$

Do đó với $\forall s\geq t\geq 0$, ta có: $f(s)\geq f(t)$. Suy ra đpcm

[KietLW9]

$VT-VP=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum_{cyc}\frac{bc(b-c)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)}\geqslant 0$*đúng*

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c