2 replies to this topic

[ilovezu123]

câu 1 giải phương trình
$x\sqrt{x^2 +6} + (x+1)\sqrt{x^2+2x+7}=\frac{13}{5} (2x+1)$

câu 2 cho $x\geqslant y\geqslant z$ và không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P= \sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}} + \sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2+z^2}} +\sqrt{\frac{z^2+xy}{x^2+y^2}}$

câu 3 giải phương trình nghiệm nguyên
$2x^2 + 4x = 19-3y^2$

câu 4 cho tam giác ABC nhọn không cân, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB. Đường thẳng PO,NO cắt đường thẳng AM lần lượt tại D,E ; đường thẳng BD và CE cắt nhau tai F. chứng minh rằng:
a. hai tam giác FEO và NEM đồng dạng với nhau.
b. các điểm N,O,F,P thuộc một đường tròn

câu 5 tìm tất cả hàm số
f : [1;+∞) ->[1;+∞) thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} &x\leqslant f(x)\leqslant 2x+2\\xf(x+1)=(f(x)^2))-1 & \end{matrix}\right.$

Edited by ilovezu123, 20-08-2015 - 21:38.

[ttlinhtinh]

câu 1 giải phương trình
$x\sqrt{x^2 +6} + (x+1)\sqrt{x^2+2x+7}=\frac{13}{5} (2x+1)$

câu 2 cho $x\geqslant y\geqslant z$ và không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P= \sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}} + \sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2+z^2}} +\sqrt{\frac{z^2+xy}{x^2+y^2}}$

câu 3 giải phương trình nghiệm nguyên
$2x^2 + 4x = 19-3y^2$

câu 4 cho tam giác ABC nhọn không cân, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB. Đường thẳng PO,NO cắt đường thẳng AM lần lượt tại D,E ; đường thẳng BD và CE cắt nhau tai F. chứng minh rằng:
a. hai tam giác FEO và NEM đồng dạng với nhau.
b. các điểm N,O,F,P thuộc một đường tròn

câu 5 tìm tất cả hàm số
f : [1;+∞) \rightarrow [1;+∞) thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} &x\leqslant f(x)\leqslant 2x+2\\xf(x+1)=(f(x)^2))-1 & \end{matrix}\right.$

Câu 3: Xét phương trình đã cho là phương trình bậc 2 với ẩn $x$ và tham số $y$.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì:

$\Delta \geq 0 \Leftrightarrow 16 - 8(3y^2-19) \geq 0 \Leftrightarrow y^2 \leq 7 \Leftrightarrow -\sqrt{7} \leq y \leq \sqrt{7}$

Do $y$ nguyên nên $y$ nhận các giá trị: $y = -2; y = -1; y = 0; y = 1; y = 2$

Với $y = -2, y = 2$, phương trình đã cho tương đương với: $2x^2+4x-7 = 0$. Phương trình không có nghiệm nguyên

Với $y = -1, y = 1$, phương trình đã cho tương đương với: $2x^2+4x-16 = 0$. Phương trình có nghiệm $x = -4; x = 2$

Với $y = 0$, phương trình đã cho tương đương với: $2x^2+4x-19 = 0$. Phương trình không có nghiệm nguyên

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là: $(x,y) = (-4,-1); (2,-1); (-4,1); (2,1)$

Edited by ttlinhtinh, 19-08-2015 - 23:56.

[pdtienArsFC]

Chọn $a \in [0;1]$, $b \geq 1$ thỏa mãn: $x+a \leq f(x) \leq b(x+1)$.

Do đó: $x(x+a+1) \leq xf(x+1) \leq b(x^2+2x)$

           $x(x+a+1)+1 \leq xf(x+1)+1 \leq b(x^2+2x)+1$

           $x(x+a+1)+1 \leq f^2(x) \leq b(x^2+2x)+1$

           $(x+\frac{a+1}{2})^{2} \leq x(x+a+1)+1 \leq f^2(x) \leq b(x^2+2x)+1 \leq b(x+1)^2$ ( Vì $\frac{(a+1^2)}{4}\leq 1$)

   Hay: $x+\frac{a+1}{2}\leq f(x)\leq \sqrt{b}(x+1)$    

Tiếp tục quá tình như trên, ta đc: $x+a_n\leq f(x)\leq b_n(x+1)$

Trong đó: $(a_n)$: $a_1=0, a_{n+1}=\frac{a_n+1}{2} $

                $(b_n)$: $b_1=2; b_{n+1}=\sqrt{b_n} $

Dễ dàng chứng minh $lima_n=limb_n=1$

Vậy $x+1 \leq f(x) \leq x+1$. Vậy $f(x)=x+1$. Thử lại thỏa mãn.