Chủ đề này có 6 trả lời

[mnguyen99]

Cho $u_{n}$: $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1; u_{2}=p \\ u_{n+2}=2pu_{n+1}-u_{n} \end{matrix}\right.$

 

CM: $\frac{u_{p+1}+1}{p+1}$ là số chính phương với p lẻ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mnguyen99: 21-08-2015 - 23:38

[huypham2811]

Cho $u_{n}$: $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1; u_{2}=p \\ u_{n+2}=2pu_{n+1}-u_{n} \end{matrix}\right.$

 

CM: $\frac{u_{p+1}+1}{p+1}$ là số chính phương.

bài này chỉ đúng cho p lẻ, p chẵn ko được.

[huypham2811]

Giải đc 1 phần.

p nguyên dương nên $p\geq 1$

 

_TH $p=1$...đúng

 

_TH $p>1$:

 

xét pt đặc trưng $x^{2}-2px+1=0$

 

với $p>1$ suy ra $\Delta =p^{2}-1> 0$ và ta cx đc 2 nghiệm của pt: $x_{1}=p+\sqrt{p^{2}-1}$ ; $x_{2}=p-\sqrt{p^{2}-1}$

 

=> $u_{n}=A.(p+\sqrt{p^{2}-1})^{n}+B.(p-\sqrt{p^{2}-1})^{n}$   (1)

 

Thay n lần lượt bằng 1 và 2 ta đc 1 hpt

 

Giải hệ ta tìm được: $A=\frac{p-\sqrt{p^{2}-1}}{2}$ ; $B=\frac{p+\sqrt{p^{2}-1}}{2}$

 

Từ đó ta có công thức tổng quát :  $u_{n}=\frac{p-\sqrt{p^{2}-1}}{2}.(p+\sqrt{p^{2}-1})^{n}+\frac{p+\sqrt{p^{2}-1}}{2}.(p-\sqrt{p^{2}-1})^{n}$

 

                                                              Hay $u_{n}= \frac{(p+\sqrt{p^{2}-1})^{n-1}}{2}+\frac{(p-\sqrt{p^{2}-1})^{n-1}}{2}$   (*)

                                                                                                                                                                  

                                                                                                                     (Do $(p+\sqrt{p^{2}-1}).(p-\sqrt{p^{2}-1})=1$)

 

Từ đó: $\frac{u_{p+1}+1}{p+1}=\frac{(p+\sqrt{p^{2}-1})^{p}+(p-\sqrt{p^{2}-1})^{p}+2}{2(p+1)}$

 

Bài toán đc đưa về c/m: $\forall p$ là số nguyên dương lẻ thì $G= \frac{(p+\sqrt{p^{2}-1})^{p}+(p-\sqrt{p^{2}-1})^{p}+2}{2(p+1)}$ là SCP. (**)

 

Tạm dừng tại đây, vẫn chưa nghĩ thông (mn phát triển tiếp).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huypham2811: 22-08-2015 - 14:16

[huypham2811]

Hoàn thiện bài toán:

chứng minh bài toán (**): 

 

Thật vậy, Đặt $p=2k+1$ suy ra $G=\frac{(2k+1+\sqrt{4k^{2}+4k})^{2k+1}+(2k+1-\sqrt{4k^{2}+4k})^{2k+1}+2}{4(k+1)}$

 

                                           <=> $G=\frac{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})^{2(2k+1)}+(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})^{2(2k+1)}+2}{4(k+1)}$ 

 

                                           <=> $G=\frac{[(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})^{2k+1}+(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})^{2k+1}]^{2}}{4(k+1)}$

 

                                                                         (Do $(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})^{2k+1}*(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})^{2k+1}=1$)

 

                                           <=> $G=\frac{[(2\sqrt{k+1}).(\alpha ^{2k}-\alpha ^{2k-1}.\beta +...+\beta ^{2k} )]^{2}}{4(k+1)}$

 

                                                                         (Với $ \alpha = \sqrt{k+1}+\sqrt{k}$ và $ \beta =\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ )

 

                                           <=> $G= [\alpha ^{2k}-\alpha ^{2k-1}.\beta +...+\beta ^{2k}]^{2}$

 

Do đó $G$ là SCP.

 

Vậy bài toán đc c/m.

[MiuraHaruma]

Cho $u_{n}$: $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1; u_{2}=p \\ u_{n+2}=2pu_{n+1}-u_{n} \end{matrix}\right.$
 
CM: $\frac{u_{p+1}+1}{p+1}$ là số chính phương với p lẻ.

Ta xét phương trình Pell loại 1 sau: $x^2-(p^2-1)y^2=1$
Bộ nghiệm nhỏ nhất của phương trình là $(p,1)$ cho nên, phương trình này có nghiệm:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1; x_{2}=p, x_{n+2}=2px_{n+1}-x_{n} \\ y_{1}=0; y_{2}=1, y_{n+2}=2py_{n+1}-y_{n} \end{matrix}\right.$
Vậy dãy $u_{n}$ chính là dãy $x_{n}$.
Khi đó $x^2-(p^2-1)y^2=1 \Leftrightarrow \frac{x_{p+1}+1}{p+1}.\frac{x_{p+1}-1}{p-1}=(y_{p+1})^2$
Từ đây ta quy nạp $\frac{x_{p+1}+1}{p+1}$ và $\frac{x_{p+1}-1}{p-1}$ là số nguyên sẽ suy ra điều phải chứng minh.

[binvippro]

Ta xét phương trình Pell loại 1 sau: $x^2-(p^2-1)y^2=1$
Bộ nghiệm nhỏ nhất của phương trình là $(p,1)$ cho nên, phương trình này có nghiệm:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1; x_{2}=p, x_{n+2}=2px_{n+1}-x_{n} \\ y_{1}=0; y_{2}=1, y_{n+2}=2py_{n+1}-y_{n} \end{matrix}\right.$
Vậy dãy $u_{n}$ chính là dãy $x_{n}$.
Khi đó $x^2-(p^2-1)y^2=1 \Leftrightarrow \frac{x_{p+1}+1}{p+1}.\frac{x_{p+1}-1}{p-1}=(y_{p+1})^2$
Từ đây ta quy nạp $\frac{x_{p+1}+1}{p+1}$ và $\frac{x_{p+1}-1}{p-1}$ là số nguyên sẽ suy ra điều phải chứng minh.

từ đây không đủ suy ra dpcm bạn à 

[anhquannbk]

Bài này là tổng quát của bài 4 Vietnam TST 2012, các bạn tham khảo tại đây

http://diendantoanho...sach-dội-tuyển/