8 replies to this topic

[an1907]

$1$. Cho $0 \leq x, y, z \leq 1$. Tìm GTLN của :

$P = \frac{x}{y + z + 1} + \frac{y}{z + x + 1} + \frac{z}{x + y + 1} + (1 - x)(1 - y)(1 - z)$

$2$. Cho $x, y, z > 1$ và $x + y + z = 3xyz$. Tìm GTNN của :

$P = \frac{yz}{x^{3}(z + 2y)} + \frac{zx}{y^{3}(x + 2z)} + \frac{xy}{z^{3}(y + 2x)}$

$3$. Cho $x, y, z > 1$ và $x + y + z = xyz$. Tìm GTNN của :

$P = \frac{y - 2}{x^{2}} + \frac{z - 2}{y^{2}} + \frac{x - 2}{z^{2}}$

$4$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$(\frac{a}{a + b})^{2} + (\frac{b}{b + c})^{2} + (\frac{c}{c + a})^{2} \geq \frac{3}{4}$

$5$. Cho $x, y, z \geq -1$ và $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của :

$P = \frac{x}{1 + x^{2}} + \frac{y}{1 + y^{2}} + \frac{z}{1 + z^{2}}$

$6$. Cho $x, y, z > 0$. CMR :

$(1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{z})(1 + \frac{z}{x}) \geq 2(1 + \frac{x + y + z}{\sqrt[3]{xyz}})$

$7$. Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của $\Delta$. CMR :

$(2a^{2} + 2b^{2} - c^{2})(2b^{2} + 2c^{2} - a^{2})(2c^{2} + 2a^{2} - b^{2}) \leq (2a^{2} + bc)(2b^{2} + ca)(2c^{2} + ab)$

$8$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b} + \frac{b^{2} + c^{2}}{b + c} + \frac{c^{2} + a^{2}}{c + a} \leq 3(\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a + b + c})$

$9$. Cho $a + b + c = 0$. CMR :

$8^{a} + 8^{b} + 8^{c} \geq 2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$

$10$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{4}}{b + c} + \frac{b^{4}}{c + a} + \frac{c^{4}}{a + b} \geq \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2}$

$11$. Cho $a, b, c, d \geq 1$ thoả mãn $\frac{1}{a^{3} + 1} + \frac{1}{b^{3} + 1} + \frac{1}{c^{3} + 1} + \frac{1}{d^{3} + 1} = 1$. CMR:

$\frac{1 + a^{3}}{a} + \frac{1 + b^{3}}{b} + \frac{1 + c^{3}}{c} + \frac{1 + d^{3}}{d} \geq 4(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})$

$12$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{8(ab + bc + ca)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \geq 11$

$13$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$8(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}) + \frac{ab + bc + ca}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \geq 25$

$14$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$(\frac{a}{b + 2c})^{2} + (\frac{b}{c + 2a})^{2} + (\frac{c}{a + 2b})^{2} \geq \frac{1}{3}$

Edited by an1907, 02-09-2015 - 16:57.

[phamngochung9a]

$1$. Cho $0 \leq x, y, z \leq 1$. Tìm GTLN của :

$P = \frac{x}{y + z + 1} + \frac{y}{z + x + 1} + \frac{z}{x + y + 1} + (1 - x)(1 - y)(1 - z)$

$2$. Cho $x, y, z > 1$ và $x + y + z = 3xyz$. Tìm GTNN của :

$P = \frac{yz}{x^{3}(z + 2y)} + \frac{zx}{y^{3}(x + 2z)} + \frac{xy}{z^{3}(y + 2x)}$

$3$. Cho $x, y, z > 1$ và $x + y + z = xyz$. Tìm GTNN của :

$P = \frac{y - 2}{x^{2}} + \frac{z - 2}{y^{2}} + \frac{x - 2}{z^{2}}$

$4$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$(\frac{a}{a + b})^{2} + (\frac{b}{b + c})^{2} + (\frac{c}{c + a})^{2} \geq \frac{3}{4}$

$5$. Cho $x, y, z \geq -1$ và $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của :

$P = \frac{x}{1 + x^{2}} + \frac{y}{1 + y^{2}} + \frac{z}{1 + z^{2}}$

$6$. Cho $x, y, z > 0$. CMR :

$(1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{z})(1 + \frac{z}{x}) \geq 2(1 + \frac{x + y + z}{\sqrt[3]{xyz}})$

$7$. Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của $\Delta$. CMR :

$(2a^{2} + 2b^{2} - c^{2})(2b^{2} + 2c^{2} - a^{2})(2c^{2} + 2a^{2} - b^{2}) \leq (2a^{2} + bc)(2b^{2} + ca)(2c^{2} + ab)$

$8$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b} + \frac{b^{2} + c^{2}}{b + c} + \frac{c^{2} + a^{2}}{c + a} \leq 3(\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a + b + c})$

$9$. Cho $a + b + c = 0$. CMR :

$8^{a} + 8^{b} + 8^{c} \geq 2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$

$10$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{4}}{b + c} + \frac{b^{4}}{c + a} + \frac{c^{4}}{a + b} \geq \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2}$

$11$. Cho $a, b, c, d \geq 1$ thoả mãn $\frac{1}{a^{3} + 1} + \frac{1}{b^{3} + 1} + \frac{1}{c^{3} + 1} + \frac{1}{d^{3} + 1} = 1$. CMR:

$\frac{1 + a^{3}}{a} + \frac{1 + b^{3}}{b} + \frac{1 + c^{3}}{c} + \frac{1 + d^{3}}{d} \geq 4(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})$

$12$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{8(ab + bc + ca)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \geq 11$

$13$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$8(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}) + \frac{ab + bc + ca}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \geq 25$

$14$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$(\frac{a}{b + 2c})^{2} + (\frac{b}{c + 2a})^{2} + (\frac{c}{a + 2b})^{2} \geq \frac{1}{3}$

Bài 1:

Gs $x=max\left \{ x,y,z \right.\left. \right \}$ thì :

$\frac{(1-y)+(1-z)+(1+y+z)}{3}\geq 3\sqrt[3]{(1-y(1-z)(1+y+z)}$

$\Rightarrow \frac{1}{1+y+z}\geq (1-y)(1-z)\Rightarrow \frac{1-x}{1+y+z}\geq (1-x)(1-y)(1-z)$

$\frac{y}{z+x+1}\leq \frac{y}{1+y+z};\frac{z}{1+x+y}\leq \frac{z}{1+y+z}$

Vậy $P\leq \frac{1-x}{1+y+z}+\frac{y}{1+y+z}+\frac{z}{1+y+z}+\frac{x}{1+y+z}= 1$

Bài 2:

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c$ thì $ab+bc+ca=3$

$P=\sum \frac{a^{3}}{b+2c}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3(ab+bc+ca)}\geq 1$

Bài 3:

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c$ thì $ab+bc+ca=1$

$P=\sum \frac{a^{2}(1-2c)}{c}=\sum \frac{a^{2}(1-c)}{c}-a^{2}-b^{2}-c^{2}$

Vì $a,b,c<1$ nên $\frac{a^{2}(1-c)}{c}+c(1-c)\geq 2a(1-c)\Rightarrow \frac{a^{2}(1-c)}{c}\geq c^{2}-2ac+2a-c$

Xây dựng các BĐT tương tự, suy ra

$P\geq a+b+c-2ab-2bc-2ca\geq \sqrt{3}-2$

Bài 4:

 Đặt $\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y;\frac{a}{c}=z$. Ta có: $xyz=1$

$P=\sum \frac{1}{(1+x)^{2}}$ 

Dễ cm trong 3 BĐT sau có một BĐT đúng $ab\geq 1;bc\geq 1;ca\geq 1$ ( bằng cách phản chứng)

Không mất tính TQ, gs $ab\geq 1$

$P\doteq \frac{1}{2(a^{2}+1)}+\frac{1}{2(b^{2}+1)}+\frac{1}{(c+1)^{2}}\geq \frac{1}{ab+1}+\frac{1}{(c+1)^{2}}= \frac{c}{c+1}+\frac{1}{(c+1)^{2}}$

Ta cần cm $\frac{c}{c+1}+\frac{1}{(c+1)^{2}}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (c-1)^{2}\geq 0$ ( đúng)

 

 

Edited by phamngochung9a, 05-09-2015 - 14:46.

[phamngochung9a]

$10$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{4}}{b + c} + \frac{b^{4}}{c + a} + \frac{c^{4}}{a + b} \geq \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2}$

Gs $a\geq b\geq c$ thì $\frac{a}{b+c}\geq \frac{b}{c+a}\geq \frac{c}{a+b}$ và $a^{3}\geq b^{3}\geq c^{3}$

Áp dụng BĐT $Chebyshev$ cho hai dãy số đơn điệu cùng chiều trên, ta có:

$VT\geq \frac{1}{3}(a^{3}+b^{3}+c^{3}).\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2}$

( vì $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$ theo Nesbit )

[Minhnguyenthe333]

$6$. Cho $x, y, z > 0$. CMR :
$(1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{z})(1 + \frac{z}{x}) \geq 2(1 + \frac{x + y + z}{\sqrt[3]{xyz}})$
$14$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :
$(\frac{a}{b + 2c})^{2} + (\frac{b}{c + 2a})^{2} + (\frac{c}{a + 2b})^{2} \geq \frac{1}{3}$

6/BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\geq \frac{2(a + b + c)}{\sqrt[3]{abc}}$
Áp dụng bđt AM-GM,ta có:
$1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$
$1+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\geq \frac{3b}{\sqrt[3]{abc}}$
$1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\geq \frac{3c}{\sqrt[3]{abc}}$
Cộng từng vế ta có:
$3+\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\geq \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}+3$
$\Rightarrow \sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\geq \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
14/Ta có:
$LHS\geq \frac{(\sum \frac{a}{b+2c})^2}{3}=\frac{(\sum \frac{a^2}{ab+2ac})^2}{3}\geq \frac{ \frac{(a+b+c)^4}{9(ab+bc+ca}}{3}$
Vì $9(ab+bc+ca)^2=3^2.(ab+bc+ca)^2 \leq (a+b+c)^4$ nên $LHS\geq \frac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Edited by Minhnguyenthe333, 03-09-2015 - 20:56.

[locnguyen2207]

$10$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{4}}{b + c} + \frac{b^{4}}{c + a} + \frac{c^{4}}{a + b} \geq \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2}$

 

Mik chém bài 10 theo cách khác nhé:

Ta có: $\frac{a^{4}}{b + c} + \frac{b^{4}}{c + a} + \frac{c^{4}}{a + b} \geq \frac{(a^{3} + b^{3} + c^{3})^{2}}{a^{2}b + a^{2}c + b^{2}c + b^{2}a + c^{2}a + c^{2}b}$

Ta lại có:$A = a^{2}b + a^{2}c + b^{2}c + b^{2}a + c^{2}a + c^{2}b = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) \leq \frac{(a^{2} + b^{2})(a + b)}{2} + \frac{(b^{2} + c^{2})(b + c)}{2} + \frac{(c^{2} + a^{2})(c + a)}{2} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + \frac{A}{2}$

$\Rightarrow A \leq a^{3} + b^{3} + c^{3} + \frac{A}{2} \Leftrightarrow A \leq 2(a^{3} + b^{3} + c^{3}) \Rightarrow dpcm$

Edited by locnguyen2207, 05-09-2015 - 14:38.

[an1907]

9. Ta có : $8^{a} + 1 + 1 \geq 3\sqrt[3]{(2^{a})^{3}} = 3 . 2^{a}$

Tương tự $\Rightarrow 8^{a} + 8^{b} + 8^{c} \geq 3(2^{a} + 2^{b} + 2^{c} - 2) \geq 2^{a} + 2^{b} + 2^{c} + 2(3\sqrt[3]{2^{a + b + c}} - 3) = 2^{a} + 2^{b} + 2^{c} + 2(3 - 3) = 2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 0$

[an1907]

sao không ai làm hết vậy??? 

[anhxtanh1879]

$1$. Cho $0 \leq x, y, z \leq 1$. Tìm GTLN của :

$P = \frac{x}{y + z + 1} + \frac{y}{z + x + 1} + \frac{z}{x + y + 1} + (1 - x)(1 - y)(1 - z)$

$2$. Cho $x, y, z > 1$ và $x + y + z = 3xyz$. Tìm GTNN của :

$P = \frac{yz}{x^{3}(z + 2y)} + \frac{zx}{y^{3}(x + 2z)} + \frac{xy}{z^{3}(y + 2x)}$

$3$. Cho $x, y, z > 1$ và $x + y + z = xyz$. Tìm GTNN của :

$P = \frac{y - 2}{x^{2}} + \frac{z - 2}{y^{2}} + \frac{x - 2}{z^{2}}$

$4$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$(\frac{a}{a + b})^{2} + (\frac{b}{b + c})^{2} + (\frac{c}{c + a})^{2} \geq \frac{3}{4}$

$5$. Cho $x, y, z \geq -1$ và $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của :

$P = \frac{x}{1 + x^{2}} + \frac{y}{1 + y^{2}} + \frac{z}{1 + z^{2}}$

$6$. Cho $x, y, z > 0$. CMR :

$(1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{z})(1 + \frac{z}{x}) \geq 2(1 + \frac{x + y + z}{\sqrt[3]{xyz}})$

$7$. Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của $\Delta$. CMR :

$(2a^{2} + 2b^{2} - c^{2})(2b^{2} + 2c^{2} - a^{2})(2c^{2} + 2a^{2} - b^{2}) \leq (2a^{2} + bc)(2b^{2} + ca)(2c^{2} + ab)$

$8$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b} + \frac{b^{2} + c^{2}}{b + c} + \frac{c^{2} + a^{2}}{c + a} \leq 3(\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a + b + c})$

$9$. Cho $a + b + c = 0$. CMR :

$8^{a} + 8^{b} + 8^{c} \geq 2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$

$10$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{4}}{b + c} + \frac{b^{4}}{c + a} + \frac{c^{4}}{a + b} \geq \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2}$

$11$. Cho $a, b, c, d \geq 1$ thoả mãn $\frac{1}{a^{3} + 1} + \frac{1}{b^{3} + 1} + \frac{1}{c^{3} + 1} + \frac{1}{d^{3} + 1} = 1$. CMR:

$\frac{1 + a^{3}}{a} + \frac{1 + b^{3}}{b} + \frac{1 + c^{3}}{c} + \frac{1 + d^{3}}{d} \geq 4(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})$

$12$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{8(ab + bc + ca)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \geq 11$

$13$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$8(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}) + \frac{ab + bc + ca}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \geq 25$

$14$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$(\frac{a}{b + 2c})^{2} + (\frac{b}{c + 2a})^{2} + (\frac{c}{a + 2b})^{2} \geq \frac{1}{3}$

8. 

Ta có: $(\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b} + \frac{b^{2} + c^{2}}{b + c} + \frac{c^{2} + a^{2}}{c + a})(a + b + c) \leq 3(a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$\Leftrightarrow \frac{(a^{2} + b^{2})(a + b + c)}{a + b} + \frac{(b^{2} + c^{2})(a + b + c)}{b + c} + \frac{(c^{2} + a^{2})(a + b + c)}{c + a} \leq 3(a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$\Leftrightarrow 2(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + \frac{c(a^{2} + b^{2})}{a + b} + \frac{a(b^{2} + c^{2})}{b + c} + \frac{b(c^{2} + a^{2})}{c + a} \leq 3(a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$\Leftrightarrow (a^{2} - \frac{a(b^{2} + c^{2})}{b + c}) + (b^{2} - \frac{b(c^{2} + a^{2})}{c + a}) + (c^{2} - \frac{c(a^{2} + b^{2})}{a + b}) \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{ab(a - b)^{2}}{(b + c)(c + a)} + \frac{bc(b - c)^{2}}{(a + b)(a + c)} + \frac{ca(c - a)^{2}}{(b + c)(a + b)} \geq 0.$ (luôn đúng)

[anhxtanh1879]

$1$. Cho $0 \leq x, y, z \leq 1$. Tìm GTLN của :

$P = \frac{x}{y + z + 1} + \frac{y}{z + x + 1} + \frac{z}{x + y + 1} + (1 - x)(1 - y)(1 - z)$

$2$. Cho $x, y, z > 1$ và $x + y + z = 3xyz$. Tìm GTNN của :

$P = \frac{yz}{x^{3}(z + 2y)} + \frac{zx}{y^{3}(x + 2z)} + \frac{xy}{z^{3}(y + 2x)}$

$3$. Cho $x, y, z > 1$ và $x + y + z = xyz$. Tìm GTNN của :

$P = \frac{y - 2}{x^{2}} + \frac{z - 2}{y^{2}} + \frac{x - 2}{z^{2}}$

$4$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$(\frac{a}{a + b})^{2} + (\frac{b}{b + c})^{2} + (\frac{c}{c + a})^{2} \geq \frac{3}{4}$

$5$. Cho $x, y, z \geq -1$ và $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của :

$P = \frac{x}{1 + x^{2}} + \frac{y}{1 + y^{2}} + \frac{z}{1 + z^{2}}$

$6$. Cho $x, y, z > 0$. CMR :

$(1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{z})(1 + \frac{z}{x}) \geq 2(1 + \frac{x + y + z}{\sqrt[3]{xyz}})$

$7$. Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của $\Delta$. CMR :

$(2a^{2} + 2b^{2} - c^{2})(2b^{2} + 2c^{2} - a^{2})(2c^{2} + 2a^{2} - b^{2}) \leq (2a^{2} + bc)(2b^{2} + ca)(2c^{2} + ab)$

$8$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{2} + b^{2}}{a + b} + \frac{b^{2} + c^{2}}{b + c} + \frac{c^{2} + a^{2}}{c + a} \leq 3(\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a + b + c})$

$9$. Cho $a + b + c = 0$. CMR :

$8^{a} + 8^{b} + 8^{c} \geq 2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$

$10$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{4}}{b + c} + \frac{b^{4}}{c + a} + \frac{c^{4}}{a + b} \geq \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2}$

$11$. Cho $a, b, c, d \geq 1$ thoả mãn $\frac{1}{a^{3} + 1} + \frac{1}{b^{3} + 1} + \frac{1}{c^{3} + 1} + \frac{1}{d^{3} + 1} = 1$. CMR:

$\frac{1 + a^{3}}{a} + \frac{1 + b^{3}}{b} + \frac{1 + c^{3}}{c} + \frac{1 + d^{3}}{d} \geq 4(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})$

$12$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{8(ab + bc + ca)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \geq 11$

$13$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$8(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}) + \frac{ab + bc + ca}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \geq 25$

$14$. Cho $a, b, c > 0$. CMR :

$(\frac{a}{b + 2c})^{2} + (\frac{b}{c + 2a})^{2} + (\frac{c}{a + 2b})^{2} \geq \frac{1}{3}$

6.

$(1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{z})(1 + \frac{z}{x}) = 2 + (\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}) + (\frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z})$ Ta có: $\frac{x}{y} + \frac{x}{y} + \frac{y}{z} \geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{yz}} = \frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}$

TT $\Rightarrow \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geq \frac{x + y + z}{\sqrt[3]{xyz}}$

C/m tương tự: $\frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} \geq \frac{x + y + z}{\sqrt[3]{xyz}}$

$\Rightarrow$ dpcm