Chủ đề này có 19 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

             SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                    KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THPT DỰ THI QUỐC GIA NĂM 2015-2016

                       BÌNH DƯƠNG                                                                                     MÔN:TOÁN

                                                                                               Thời gian làm bài:180 phút (Không kể thời gian giao đề) 

                                                                                                                                       NGÀY THI THỨ 1

Câu 1 (5 điểm)

Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=10$.Chứng minh rằng:

$$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)+12a^2b^2c^2\geq 30$$

 

Câu 2 (5 điểm)

Tìm đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $P(x^2+1)=P(x).P(x+1)\forall x$

 

Câu 3 (5 điểm)

Cho n số thực $a_1;a_2;...;a_n$ bất kỳ.Chứng minh rằng tồn tại số thực $x$ sao cho cho $a_1+x$,$a_2+x$,$a_3+x$,...,$a_n+x$ đều là số vô tỉ

 

Câu 4 ( 5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ .Một đường tròn $(J)$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $D$ và tiếp xúc với cạnh $AB$ tại $E$ sao cho $D$ và $A$ nằm về hai phía đối với đường thằng $BC$.Từ $C$ kẻ tiếp tuyến của đường tròn $(J)$ ,tiếp xúc với $(J)$ tại $F$ sao cho $F$ và $D$ nằm về hai phía đối với đường thẳng $BC$.Chứng minh rằng đường thẳng $EF$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

 

                                                                                                                                NGÀY THI THỨ 2 

 

Câu 5 ( 6 điểm)

 

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiên:

$$f((x-y)^2)=x^2-2yf(x)+(f(y))^2\forall x,y\in\mathbb{R}$$

 

Câu 6 ( 7 điểm)

 

Tại ba đỉnh $A,B,C$ của một tam giác $ABC$ có ghi tương ứng ba số $a,b,c$ không đồng thời bằng nhau .Người ta thực hiện phép thay đổi tại ba đỉnh của tam giác như sau:Nếu ở trước ở ba đỉnh có ghi ba số $\left ( x;y;z \right )$ thì bước tiếp theo sẽ ghi ba số $\left ( x+y-2z;y+z-2x,z+x-2y \right )$.Chứng minh rằng xuất phát từ bộ ba số $\left ( a,b,c \right )$ sau một số lần thực hiện như trên ,ta sẽ nhận được bộ ba số mà ít nhất một trong ba số của nó không nhỏ hơn $2015$

 

Câu 7 ( 7 điểm)

 

a)Cho tam giác $ABC$ với $M,N$ là trung điểm $AC,AB$.Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA$ tại $D,E$.Chứng minh rằng các đường thẳng $BI,MN,DE$ đồng quy

 

b)Cho tam giác $ABC$ và điểm $X$ di chuyển trên tia đối của tia $CB$ sao cho đường tròn nội tiếp tam giác $XAB$ và $XAC$ cắt nhau tại $P,Q$.Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $X$ thay đổi

                                     

HẾT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 10-10-2016 - 19:50

[hoctrocuaZel]

Câu 3: 

Xét dãy $t,2t,...(n+1)t$ sau dùng bảng là sẽ thấy 1 trong các số trên thỏa mãn.

[chieckhantiennu]

..

Hình gửi kèm

• 

[hoctrocuaZel]

$2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2;(b^2+c^2)(a^2+c^2)=(c^2+ab)^2+c^2(a-b)^2$

Xong dùng BĐT $B-C-S$ là xong :v

 

..

[nhungvienkimcuong]

Bài 6:(7 điểm)

Tại ba đỉnh $A,B,C$ của một tam giác $ABC$ có ghi tương ứng ba số $a,b,c$ không đồng thời bằng nhau .Người ta thực hiện phép thay đổi tại ba đỉnh của tam giác như sau:Nếu ở trước ở ba đỉnh có ghi ba số $\left ( x;y;z \right )$ thì bước tiếp theo sẽ ghi ba số $\left ( x+y-2z;y+z-2x,z+x-2y \right )$.Chứng minh rằng xuất phát từ bộ ba số $\left ( a,b,c \right )$ sau một số lần thực hiện như trên ,ta sẽ nhận được bộ ba số mà ít nhất một trong ba số của nó không nhỏ hơn $2015$

WLOG $\left\{\begin{matrix} (a,b,c) \not \equiv \left ( 0,0,0 \right )\\ a+b+c=0 \end{matrix}\right.$

xét $\mathcal{P}=\sum a^2\rightarrow \mathcal{P}_1=\sum (a+b-2c)^2=9\sum a^2$

$\Rightarrow \mathcal{P}_n=9^n\sum a^2\Rightarrow \lim \mathcal{P}_n=+\infty$

$\Rightarrow \exists a_0:\left | a_0 \right |\ge 4030\Rightarrow \left | b_0+c_0 \right |=\left | a_0 \right |\ge 4030\Rightarrow \max\left \{ \left | b_0 \right |,\left | c_0 \right | \right \}\ge 2015$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 10-09-2015 - 17:46

[Dinh Xuan Hung]

            SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                          KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THPT DỰ THI QUỐC GIA NĂM 2015-2016

                       BÌNH DƯƠNG                                                                                     MÔN:TOÁN

                                                                                               Thời gian làm bài:180 phút (Không kể thời gian giao đề) 

                                                                                                                                NGÀY THI THỨ 2 

 

Câu 5 ( 6 điểm)

 

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiên:

$$f((x-y)^2)=x^2-2yf(x)+(f(y))^2\forall x,y\in\mathbb{R}$$

 

Câu 6 ( 7 điểm)

 

Tại ba đỉnh $A,B,C$ của một tam giác $ABC$ có ghi tương ứng ba số $a,b,c$ không đồng thời bằng nhau .Người ta thực hiện phép thay đổi tại ba đỉnh của tam giác như sau:Nếu ở trước ở ba đỉnh có ghi ba số $\left ( x;y;z \right )$ thì bước tiếp theo sẽ ghi ba số $\left ( x+y-2z;y+z-2x,z+x-2y \right )$.Chứng minh rằng xuất phát từ bộ ba số $\left ( a,b,c \right )$ sau một số lần thực hiện như trên ,ta sẽ nhận được bộ ba số mà ít nhất một trong ba số của nó không nhỏ hơn $2015$

 

Câu 7 ( 7 điểm)

 

a)Cho tam giác $ABC$ với $M,N$ là trung điểm $AC,AB$.Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA$ tại $D,E$.Chứng minh rằng các đường thẳng $BI,MN,DE$ đồng quy

 

b)Cho tam giác $ABC$ và điểm $X$ di chuyển trên tia đối của tia $CB$ sao cho đường tròn nội tiếp tam giác $XAB$ và $XAC$ cắt nhau tại $P,Q$.Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $X$ thay đổi

                                     

        HẾT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 10-09-2015 - 18:54
$\LaTeX$ lại đề vòng $2$

[Zaraki]

Câu 5. $x=y \Rightarrow f(0)= \left( x-f(x) \right)^2$.

$x=y=0 \Rightarrow f(0)=f(0)^2 \Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(0)=1$.

 

Nếu $f(0)=0$ thì f(x)=x$.

Nếu $f(0)=1$ thì $f(x)=x+1$ hoặc $f(x)=x-1$.

Thử lại thì chỉ có $f(x)=x$ hoặc $f(x)=x+1$ thoả mãn.

[hoctrocuaZel]

Có ai làm được câu hình kg ạ!

Cả 2 ngày í ạ :v

[Near Ryuzaki]

             SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                    KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THPT DỰ THI QUỐC GIA NĂM 2015-2016

                       BÌNH DƯƠNG                                                                                     MÔN:TOÁN

                                                                                               Thời gian làm bài:180 phút (Không kể thời gian giao đề) 

                                                                                                                                       NGÀY THI THỨ 1

Câu 1 (5 điểm)

Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=10$.Chứng minh rằng:

$$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)+12a^2b^2c^2\geq 30$$

 

Câu 2 (5 điểm)

Tìm đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $P(x^2+1)=P(x).P(x+1)\forall x$

 

Câu 3 (5 điểm)

Cho n số thực $a_1;a_2;...;a_n$ bất kỳ.Chứng minh rằng tồn tại số thực $x$ sao cho cho $a_1+x$,$a_2+x$,$a_3+x$,...,$a_n+x$ đều là số vô tỉ

 

Câu 4 ( 5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ .Một đường tròn $(J)$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $D$ và tiếp xúc với cạnh $AB$ tại $E$ sao cho $D$ và $A$ nằm về hai phía đối với đường thằng $BC$.Từ $C$ kẻ tiếp tuyến của đường tròn $(J)$ ,tiếp xúc với $(J)$ tại $F$ sao cho $F$ và $D$ nằm về hai phía đối với đường thẳng $BC$.Chứng minh rằng đường thẳng $EF$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

 

                                                                                                    HẾT

Câu 2. Đặt $P(x+1)=G(x)$

Từ đó suy ra $G(x^2)=G(x).G(x-1)$

Nếu $deg G=0$ thì ta tìm được 2 giá trị thỏa là $P(x) \equiv 0$ và $ P(x) \equiv 1$

Nếu $deg G>0.$ Dễ thấy G(X) là đa thức bậc chẵn.

Suy ra $deg G=2k,t\in N*$

Ta có : $g(x^2)=g(x),g(x-1)$

Đồng nhất hệ số ở bậc $2k$ bằng 1.

Đặt $G(x)=Q(x)+(x^2+x+1)^k; deg Q(x) \leq 2k-1$

ta có : $Q(x^2)=G(x).G(x-1)-(x^4+x^2+1)^k=...=Q(x).Q(x-1)+Q(x).(x^2-x+1)^k+Q(x-1).(x^2+x+1)^k$

Suy ra $Q(x^2)-Q(x).Q(x-1)=Q(x),(x^2-x+1)^k+Q(x-1).(x^2+x+1)^k$

Giả sử $degQ=t,t>0$

Ta suy ra $deg VT \leq 2t \leq t+2k-1$ lại có $deg VP =t+2k$

suy ra vô lý suy ra $t=0$

Suy ra $G(x)=P(x+1)=(x^2+x+1)^k$

Suy ra $P(x)=((x-1)^2+x)^k$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Near Ryuzaki: 11-09-2015 - 00:10

[Near Ryuzaki]

             SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                    KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THPT DỰ THI QUỐC GIA NĂM 2015-2016

                       BÌNH DƯƠNG                                                                                     MÔN:TOÁN

                                                                                               Thời gian làm bài:180 phút (Không kể thời gian giao đề) 

  

 

                                                                                                    HẾT

 

Bài hình ngày 1. hai điểm $E,F$ nằm cùng phía $BC.$ Đây là bổ đề $shawayama.$

Bài hình ngày 2.

a/ Câu này giấu khá kĩ

Gọi giao điểm $BI$ với $DE$ là $U$ và giao điểm $AI$ với $DE$ là $V.$

Ta có : $(IV.IB)=\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})=90^{0}-\frac{1}{2}\widehat{C}=(DE,DC)$

Suy ra $DVIB$ là tứ giác nội tiếp 

Tương tự ta cũng có $AIEU$ là tứ giác nội tiếp

Suy ra $AUDB$ là tứ giác nội tiếp suy ra $BI$ vuông góc $AU$ và $AI$ vuông góc $BV.$

Kéo dài $AU$ cắt $BV$ tại $X.$

Từ đó không khó để nhận thấy rằng $N$ thuộc đường tròn Euler của tam giác $XAB.$

Kéo dài $AX$ cắt $CB$ tại $T$

Khi đó tam giác $BAT$ cân nên $U$ là trung điểm $AT$ suy ra $UN$ song song $BC$

Lại có $MN$ song song $AC$

Suy ra $U,M,N$ thẳng hàng

Từ đó ta có đpcm. 

b/ Câu b mai chém

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Near Ryuzaki: 11-09-2015 - 01:48

[an1712]

dấu bằng thế nào a ns rõ đc ko

 

$2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2;(b^2+c^2)(a^2+c^2)=(c^2+ab)^2+c^2(a-b)^2$

Xong dùng BĐT $B-C-S$ là xong :v

[MiuraHaruma]

Bài hình ngày 1. hai điểm $E,F$ nằm cùng phía $BC.$ Đây là bổ đề $shawayama.$
Bài hình ngày 2.
a/ Câu này giấu khá kĩ
Gọi giao điểm $BI$ với $DE$ là $U$ và giao điểm $AI$ với $DE$ là $V.$
Ta có : $(IV.IB)=\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})=90^{0}-\frac{1}{2}\widehat{C}=(DE,DC)$
Suy ra $DVIB$ là tứ giác nội tiếp 
Tương tự ta cũng có $AIEU$ là tứ giác nội tiếp
Suy ra $AUDB$ là tứ giác nội tiếp suy ra $BI$ vuông góc $AU$ và $AI$ vuông góc $BV.$
Kéo dài $AU$ cắt $BV$ tại $X.$
Từ đó không khó để nhận thấy rằng $N$ thuộc đường tròn Euler của tam giác $XAB.$
Kéo dài $AX$ cắt $CB$ tại $T$
Khi đó tam giác $BAT$ cân nên $U$ là trung điểm $AT$ suy ra $UN$ song song $BC$
Lại có $MN$ song song $AC$
Suy ra $U,M,N$ thẳng hàng
Từ đó ta có đpcm. 
b/ Câu b mai chém

Thực ra câu a đơn giản hơn nhiều
Gọi $K$ là giao điểm $MN$ và $ED$. Ta chứng minh $BK$ là phân giác bằng cách chứng minh: $NK=NB$
Thật vậy, $NK=MN-MK$. Mà $MK=ME=EC-MC=\frac{a+b-c}{2}-\frac{b}{2}=\frac{a-c}{2}$ nên $NK=\frac{a}{2}-\frac{a-c}{2}=\frac{c}{2}=NB$. Đpcm.
Câu b mới đoán được điểm thôi

Câu 3: 
Xét dãy $t,2t,...(n+1)t$ sau dùng bảng là sẽ thấy 1 trong các số trên thỏa mãn.

Cậu nói rõ được không?

[Dinh Xuan Hung]

Câu 5. $x=y \Rightarrow f(0)= \left( x-f(x) \right)^2$.

$x=y=0 \Rightarrow f(0)=f(0)^2 \Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(0)=1$.

 

Nếu $f(0)=0$ thì f(x)=x$.

Nếu $f(0)=1$ thì $f(x)=x+1$ hoặc $f(x)=x-1$.

Thử lại thì chỉ có $f(x)=x$ hoặc $f(x)=x+1$ thoả mãn.

Toàn bị ban ra đề lừa rồi chỗ màu đỏ khi tìm được hàm $f(x)=x+1$ hoặc $f(x)=x-1$ phải làm tiếp

Giả sử tồn tại $x_0\in \mathbb{R}$ mà $f(x_0)=x_0-1$

Cho $x=\sqrt{x_0}$ và $y=0$ Khi đó ta có $f(x_0)=x_0-2.0+f(0)^2\Rightarrow x_0-1=x_0+1(VL)$

Vậy $\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=x+1$

[Zaraki]

Toàn bị ban ra đề lừa rồi chỗ màu đỏ khi tìm được hàm $f(x)=x+1$ hoặc $f(x)=x-1$ phải làm tiếp

Giả sử tồn tại $x_0\in \mathbb{R}$ mà $f(x_0)=x_0-1$

Cho $x=\sqrt{x_0}$ và $y=0$ Khi đó ta có $f(x_0)=x_0-2.0+f(0)^2\Rightarrow x_0-1=x_0+1(VL)$

Vậy $\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=x+1$

Chẳng phải những gì viết trên cũng giống với câu "Thử lại thì thấy $f(x)=x-1$ không thoả mãn" hay sao ?

Ps: Bạn viết thiếu $f(x)=x$ cũng là nghiệm.

[hoctrocuaZel]

dấu bằng thế nào a ns rõ đc ko

Thay vào được:

$VT\geqslant \frac{1}{2}[(a+b)(c^2+ab)+(a-b)(ac-bc)]^2+12a^2b^2c^2=\frac{1}{2}[(a+b)(a+c)(b+c)-4abc]^2+12a^2b^2c^2$

Dấu bằng tự tính đi :v

[canhhoang30011999]

Chẳng phải những gì viết trên cũng giống với câu "Thử lại thì thấy $f(x)=x-1$ không thoả mãn" hay sao ?

Ps: Bạn viết thiếu $f(x)=x$ cũng là nghiệm.

Toàn bị nhầm rồi 

cái câu $f(x)=x+1$ hoặc $f(x)=x-1$ có thể hiểu là $f(x)=x+1$ tại 1 vài giá trị và bằng $x-1$ tại 1 vài giá trị

[Zaraki]

Toàn bị nhầm rồi 

cái câu $f(x)=x+1$ hoặc $f(x)=x-1$ có thể hiểu là $f(x)=x+1$ tại 1 vài giá trị và bằng $x-1$ tại 1 vài giá trị

Hoàng, chỗ này nếu chỉnh sửa câu thành: Nếu $f(0)=1$ thì ta tìm được hai nghiệm cho phương trình hàm là $f(x)=x-1$ và $f(x)=x+1$ thì có đúng không nhỉ ? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 19-09-2015 - 04:50

[canhhoang30011999]

Hoàng, chỗ này nếu chỉnh sửa câu thành: Nếu $f(0)=1$ thì ta tìm được hai nghiệm cho phương trình hàm là $f(x)=x-1$ và $f(x)=x+1$ thì có đúng không nhỉ ? 

không dừ toàn xem hàm này có thỏa mãn $(f(x)-x)^{2}=1$không nhé

$f(x)=x+1$ nếu $x>0$

$f(x)=x-1$ nếu $x<0$

toàn phải chứng minh như bạn Đinh Xuan Hung mới đúng

 

Toàn bị ban ra đề lừa rồi chỗ màu đỏ khi tìm được hàm $f(x)=x+1$ hoặc $f(x)=x-1$ phải làm tiếp

Giả sử tồn tại $x_0\in \mathbb{R}$ mà $f(x_0)=x_0-1$

Cho $x=\sqrt{x_0}$ và $y=0$ Khi đó ta có $f(x_0)=x_0-2.0+f(0)^2\Rightarrow x_0-1=x_0+1(VL)$

Vậy $\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=x+1$

[an1712]

Câu 5. $x=y \Rightarrow f(0)= \left( x-f(x) \right)^2$.

$x=y=0 \Rightarrow f(0)=f(0)^2 \Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(0)=1$.

 

Nếu $f(0)=0$ thì f(x)=x$.

Nếu $f(0)=1$ thì $f(x)=x+1$ hoặc $f(x)=x-1$.

Thử lại thì chỉ có $f(x)=x$ hoặc $f(x)=x+1$ thoả mãn.

thực ra ko hẳn sai, bạn chỉ chứng minh ngoài hai hàm đó ko còn hàm nào thỏa mãn là ok

[Belphegor Varia]

b)Cho tam giác $ABC$ và điểm $X$ di chuyển trên tia đối của tia $CB$ sao cho đường tròn nội tiếp tam giác $XAB$ và $XAC$ cắt nhau tại $P,Q$.Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $X$ thay đổi

 

                                    

Câu 7 b)

 Gọi $(J)$ là đường tròn bàng tiếp góc $B$ của $\Delta ABC$. $(J)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$, gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Ta sẽ chứng minh $PQ$ đi qua $E$ cố định. 

Gọi $(I_1),(I_2)$ lần lượt là đường tròn nội tiếp $\Delta ABX$ và $\Delta ACX$. $(I_1)$ tiếp xúc với $AX$ tại $H$, $(I_2)$ tiếp xúc với $BX$ tại $G$. $PQ$ cắt $AX,BX$ lần lượt tại $K,L$. 

Dễ thấy $KX=LX,LG=KH$

Ta có $GD=CD-CG=\frac{AC+AB-BC}{2}-\frac{AC+CX-AX}{2}=\frac{AB+AX-BX}{2}=AH$

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ADX$ ta có :

$\frac{KA}{KX}.\frac{LX}{LD}.\frac{ED}{EA}=\frac{KA}{LA}=\frac{KH+HA}{LA+GD}=1$

Suy ra $L,K,E$ thẳng hàng 

Vậy $PQ$ đi qua $E$ cố định $(Q.E.D)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 08-11-2015 - 09:54