Chủ đề này có 1 trả lời

[caybutbixanh]

Giải phương trình:

$$\left(\frac{1}{(1-x)^2}+1 \right ).\sqrt{\frac{1}{x}-x}-\left(\frac{1}{x^2}+1 \right ).\sqrt{\frac{1}{1-x}+x-1}=0$$

 

[caybutbixanh]

 

Giải phương trình:

$$\left(\frac{1}{(1-x)^2}+1 \right ).\sqrt{\frac{1}{x}-x}-\left(\frac{1}{x^2}+1 \right ).\sqrt{\frac{1}{1-x}+x-1}=0$$

 

Đã lâu chưa ai giải nên mình xin phép được đăng lời giải của chú nghiêm:

 

 

$\left ( \frac{1}{(1-x)^2}+1 \right )\sqrt{\frac{1}{x}-x}-\left ( \frac{1}{x^2}+1 \right )\sqrt{\frac{1}{1-x}+x-1}=0$ (1)

ĐK : $x\in \left ( 0;1 \right )$

Đặt z=1-x ---> $\left ( \frac{1+z^2}{z^2} \right )^2\left ( \frac{1-x^2}{x} \right )=\left ( \frac{1+x^2}{x^2} \right )^2\left ( \frac{1-z^2}{z} \right )$

$\Rightarrow \frac{x^5-x^3}{x^4+2x^2+1}=\frac{z^5-z^3}{z^4+2z^2+1}=\frac{(1-x)^5-(1-x)^3}{(1-x)^4+2(1-x)^2+1}$ (2)

Đây là pt bậc 8, rất khó giải.Tuy nhiên, có thể dùng phương pháp đồ thị như sau :

Đặt $f(x)=\frac{x^5-x^3}{x^4+2x^2+1}$.Ta có $f(x)=f(1-x)$

$f'(x)=\frac{x^8+7x^6+3x^4-3x^2}{(x^4+2x^2+1)^2}$

$f'(x)=0\Rightarrow x^6+7x^4+3x^2-3=0\Rightarrow (x^2+1)(x^4+6x^2-3)=0$

$\Rightarrow x=\sqrt{2\sqrt{3}-3}$

Từ đó có thể vẽ đồ thị $(\mathbb{C}_1)$ của hàm số y=f(x) đi qua các điểm A,B,C,D

$x_A=0;y_A=0$

$x_B=0,5;y_B=-0,06$

$x_C=\sqrt{2\sqrt{3}-3}\approx 0,68125;y_C\approx -0,0790$

$x_D=0;y_D=0$

Lấy đối xứng với $(\mathbb{C}_1)$ qua đường thẳng $x=\frac{1}{2}$, ta có $(\mathbb{C}_2)$ là đồ thị hàm số y=f(1-x).Hai đồ thị $(\mathbb{C}_1)$ và $(\mathbb{C}_2)$ có 3 điểm chung A,B,D ---> (2) có 3 nghiệm là $0;\frac{1}{2};1$

---> (1) có nghiệm duy nhất là $x=\frac{1}{2}$ (vì $x\in \left ( 0;1 \right )$)