Chủ đề này có 2 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{7-6a}{2+a^2}+\frac{7-6b}{2+b^2}+\frac{7-6c}{2+c^2} \geq 1.$

Spoiler

Sáng sớm rảnh rỗi ngồi đào mấy cái topic cũ cũ thấy bài này của anh Khuê(Nesbit) post cũng khá lâu rồi,đưa lên giải lại xem sao

[VOHUNGTUAN]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{7-6a}{2+a^2}+\frac{7-6b}{2+b^2}+\frac{7-6c}{2+c^2} \geq 1.$

Spoiler

Sáng sớm rảnh rỗi ngồi đào mấy cái topic cũ cũ thấy bài này của anh Khuê(Nesbit) post cũng khá lâu rồi,đưa lên giải lại xem sao

Mình nghĩ bạn không nên đăng lại các bài đã có

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VOHUNGTUAN: 11-09-2015 - 10:43

[Nguyenhuyen_AG]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{7-6a}{2+a^2}+\frac{7-6b}{2+b^2}+\frac{7-6c}{2+c^2} \geq 1.$

Spoiler

Sáng sớm rảnh rỗi ngồi đào mấy cái topic cũ cũ thấy bài này của anh Khuê(Nesbit) post cũng khá lâu rồi,đưa lên giải lại xem sao

 

Đặt $a=\frac{1}{x},\,b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z},$ thì bất đẳng thức trên trở thành

\[\frac{7x^2-6x}{2x^2+1}+\frac{7y^2-6y}{2y^2+1}+\frac{7z^2-6z}{2z^2+1} \geqslant 1.\]

Chú ý rằng \[\frac{7x^2-6x}{2x^2+1} + 1 = \frac{(3x-1)^2}{2x^2+1},\] nên ta chỉ cần chứng minh \[\frac{(3x-1)^2}{2x^2+1}+\frac{(3y-1)^2}{2y^2+1}+\frac{(3z-1)^2}{2z^2+1} \geqslant 4.\] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có \[\sum \frac{(3x-1)^2}{2x^2+1} \geqslant  \frac{(3x-1+3y-1+3z-1)^2}{2x^2+1+2y^2+1+2z^2+1} = \frac{9(a+b+c-1)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+3}.\] Như vậy ta chỉ cần chỉ ra \[9(a+b+c-1)^2 \geqslant 4[2(a^2+b^2+c^2)+3].\]

Bất đẳng thức cuối cùng có thể chứng minh bằng dồn biến.