Chủ đề này có 26 trả lời

[susuvinamilk]

Bài 9: cho a,b,c là ba số dương thõa a+b+c=1.CM $\frac{a}{(b+c)\sqrt{b}}+\frac{b}{(c+a)\sqrt{c}}+\frac{c}{(a+b)\sqrt{a}}\geq \frac{3}{2\sqrt{ab+bc+ca}}$

[tcqang]

Áp dụng BĐT $Cauchy$
$3\geq \frac{3}{\sqrt[3]{x^{18}y^{18}z^{18}}}\Rightarrow 3\sqrt[3]{x^{18}y^{18}z^{18}}\geq 3$
Áp dụng $Chebyshev$ , ta có: 
$\frac{x^{2015}+y^{2015}}{x^{1997}+y^{1997}}\geq \frac{\frac{1}{2}(x^{1997}+y^{1997})(x^{18}+y^{18})}{x^{1997}+y^{1997}}=\frac{1}{2}(x^{18}+y^{18})$
Lập các BĐT tương tự rồi cộng lại, suy ra:
 $$F=\frac{x^{2015}+y^{2015}}{x^{1997}+y^{1997}}+\frac{y^{2015}+z^{2015}}{y^{1997}+z^{1997}}+\frac{x^{2015}+z^{2015}}{x^{1997}+z^{1997}}$$$\geq x^{18}+y^{18}+z^{18}\geq 3\sqrt[3]{x^{18}y^{18}z^{18}}\geq 3$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Thi Đại học mà dùng $Chebyshev$ là không ổn nha bạn. Bí lắm mới dùng (vì phải chứng minh lại)

[cristianoronaldo]

Cho x,y,z là ba số không âm thay đổi thỏa x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\frac{x}{y^{3}+16}+\frac{y}{z^{3}+16}+\frac{z}{x^{3}+16}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\sum (\frac{x}{16}-\frac{x}{y^3+16})\leq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \sum \frac{xy^3}{y^3+16}$$\leq \frac{1}{3}$

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\sum \frac{xy^3}{y^3+16}= \sum \frac{xy^3}{y^3+8+8}\leq \sum \frac{xy^2}{12}$

Mặt khác ta có:

$\sum xy^2\leq \sum xy^2+xyz$$\leq 4$

$\Rightarrow$Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 08-06-2016 - 22:45

[tien123456789]

Bài 10:số 451 báo THTT

Cho ba số a,b,c không âm đôi một phân biệt.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}})$

[Baoriven]

Giả sử $c>b>a\geq 0$. Từ đó ta đặt, x=b-a,y=c-b(x,y>0)

Ta có: $P=(a^2+(a+x)^2+(a+x+y)^2)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2})$

$P\geq (2x^2+2xy+y^2)\frac{(x^2+xy+y^2)^2}{x^2y^2(x+y)^2}$

Dấu bằng xảy ra khi a=0

Ta lại có:$(2x^2+2xy+y^2)\frac{(x^2+xy+y^2)^2}{x^2y^2(x+y)^2}=\frac{(2t+1)(t+1)^2}{t^2}$ với $t=(\frac{x}{y})^2+\frac{x}{y},t>0$

Xét hàm số  $f(t)=\frac{(2t+1)(t+1)^2}{t^2}$, t>0

$f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$P\geq f(t)\geq f(\frac{1+\sqrt{5}}{2})=\frac{11+5\sqrt{5}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{x}{y}=\frac{-1+\sqrt{3+2\sqrt{5}}}{2}$

[Baoriven]

Bài 11: Số 462 THTT 

Cho x,y,z dương thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{10}{x+y+z}$. 

Xác định GTLN của $A=\frac{3}{xy+yz+zx}-\frac{4}{x^3+y^3+z^3}$

[kienvuhoang]

Bất đẳng thức mạnh hơn vẫn đúng \[\sum \left ( \frac{a}{a-b}+1 \right )^{2}\geqslant 5.\]

Đặt $x=\frac{a}{a-b};y=\frac{b}{b-c};z=\frac{c}{c-a}

Rightarrow xyz=(x-1)(y-1)(z-1)

\Rightarrow x+y+z=xy+yz+zx+1$

Đặt x+y+z=t$\Rightarrow xy+yz+zx=t-1

Ta có:

(x+1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}

=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)+2(x+y+z)+3

=t^{2}-2(t-1)+2t+3=t^{2}+5\geq 5$