Chủ đề này có 3 trả lời

[quocdat8a1]

1. Cho $a> 0;b> 0$;$a+b\leq 2$

Tìm GTNN của $K= \frac{1}{a^{3}+b^{3}} + \frac{1}{a^{2}b}+ \frac{1}{ab^{2}}$

2.  Cho $a,b,c > 0; a+b+c\leq 1$. Tìm GTNN của

$P= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}$

$Q= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^2+c^{2}}+\frac{1}{c^2+a^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}$

$R= \frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}+ \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}$

3. Cho $a,b,c > 0$. Tìm GTNN của $N= \frac{\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{^{\frac{b^3}{c^3}}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-09-2015 - 21:22

[Issac Newton of Ngoc Tao]

1. Ta có: $K\geq \frac{1}{a^{3}+b^{3}}+\frac{4}{ab(a+b)}= \frac{1}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{ab(a+b)}+\frac{1}{ab(a+b)}+\frac{1}{ab(a+b)}+\frac{1}{ab(a+b)}$

Áp dụng BĐT cauchy-schwars và cauchy có:

$K\geq \frac{(1+1+1+1)^{2}}{(a+b)^{3}}+\frac{1}{(\frac{a+b}{2})^{2}}\geq 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

Dấu = xảy ra khi a=b=1.

P/s: Các bđt phía dưới có cùng dạng với bất đẳng thức này.

[quocdat8a1]

1. Ta có: $K\geq \frac{1}{a^{3}+b^{3}}+\frac{4}{ab(a+b)}= \frac{1}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{ab(a+b)}+\frac{1}{ab(a+b)}+\frac{1}{ab(a+b)}+\frac{1}{ab(a+b)}$

Áp dụng BĐT cauchy-schwars và cauchy có:

$K\geq \frac{(1+1+1+1)^{2}}{(a+b)^{3}}+\frac{1}{(\frac{a+b}{2})^{2}}\geq 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

Dấu = xảy ra khi a=b=1.

P/s: Các bđt phía dưới có cùng dạng với bất đẳng thức này.

Là sao ạ ?

Em không hiểu cách chứng minh các bất đẳng thức phía dưới

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocdat8a1: 14-09-2015 - 12:12

[royal1534]

1. Cho $a> 0;b> 0$;$a+b\leq 2$

Tìm GTNN của $K= \frac{1}{a^{3}+b^{3}} + \frac{1}{a^{2}b}+ \frac{1}{ab^{2}}$

2.  Cho $a,b,c > 0; a+b+c\leq 1$. Tìm GTNN của

$P= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}$

$Q= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^2+c^{2}}+\frac{1}{c^2+a^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}$

$R= \frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}+ \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}$

3. Cho $a,b,c > 0$. Tìm GTNN của $N= \frac{\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{^{\frac{b^3}{c^3}}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}$

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có:

$P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ac}+\frac{2}{3ab}+\frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ac}$

$ \geq \frac{(1+1+1+1)^{2}}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}+\frac{(3\sqrt{2})^{2}}{3(ab+bc+ca)} \geq \frac{16}{(a+b+c)^{2}+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}+\frac{18}{(a+b+c)^{2}} \geq \frac{16}{1+\frac{1}{3}}+\frac{18}{1}=30$

Dấu '=' xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Những bài khác làm tương tự.Nhưng chú ý phải đảm bảo dấu bằng không vi phạm giả thiết