Chủ đề này có 5 trả lời

[hihoa15]

Cho $x, y, z$ là 3 số thực thuộc đoạn [1; 4] và $x\geq y, x\geq z$. Tìm min $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

[Dinh Xuan Hung]

Cho $x, y, z$ là 3 số thực thuộc đoạn [1; 4] và $x\geq y, x\geq z$. Tìm min $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

 Ta có : $P=\frac{1}{2+\frac{3y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

 Đặt $\frac{y}{x}=a~;~\frac{z}{y}=b~;~\frac{x}{z}=c$ thì $abc=1$ và $P=\frac{1}{2+3a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$

 Vì $x\geq y\Rightarrow bc=\frac{x}{y}\geq 1$

 Khi đó : $\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{2}{1+\sqrt{bc}}=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}$

 Ta chứng minh $P=\frac{1}{2+3a}+\frac{2\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\geq \frac{34}{33}\Leftrightarrow (2\sqrt{a}-1)(48a-27\sqrt{a}+35)\geq 0$

 Bất đẳng thức này luôn đúng vì $a=\frac{y}{x}\geq \frac{1}{4}\Rightarrow \sqrt{a}\geq \frac{1}{2}$

 Vậy $P_{min}=\frac{34}{33}$ khi $x=4;y=1;z=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 15-09-2015 - 19:10

[ngochapid]

 Ta có : $P=\frac{1}{2+\frac{3y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

 Đặt $\frac{y}{x}=a~;~\frac{z}{y}=b~;~\frac{x}{z}=c$ thì $abc=1$ và $P=\frac{1}{2+3a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$

 Vì $x\geq y\Rightarrow bc=\frac{x}{y}\geq 1$

 Khi đó : $\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{2}{1+\sqrt{bc}}$ $=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}$

 Ta chứng minh $P=\frac{1}{2+3a}+\frac{2\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\geq \frac{34}{33}\Leftrightarrow (2\sqrt{a}-1)(48a-27\sqrt{a}+35)\geq 0$

 Bất đẳng thức này luôn đúng vì $a=\frac{y}{x}\geq \frac{1}{4}\Rightarrow \sqrt{a}\geq \frac{1}{2}$

 Vậy $P_{min}=\frac{34}{33}$ khi $x=4;y=1;z=2$

Chứng minh đoạn này kiểu gì vậy anh? 

[linhphammai]

Chứng minh đoạn này kiểu gì vậy anh? 

Mình nghĩ chỉ cần chuyển vế rồi dùng biến đổi tương đương thôi mà

[ngochapid]

Mình nghĩ chỉ cần chuyển vế rồi dùng biến đổi tương đương thôi mà

Bạn thử làm theo cách bạn nghĩ được ko ạ..

[linhphammai]

Bạn thử làm theo cách bạn nghĩ được ko ạ..

Tách $\frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ = $\frac{1}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+\sqrt{ab}}$

sau đó chuyển vế quy đồng bình thường thôi

Cuối cùng nó sẽ ra một hệ thức luôn đúng

Vì x,y,z >0 => a,b,c >0

Vì dùng latex rất lâu, mình không tiện gõ hết ra nên nếu bạn muốn xem kĩ lại thì hãy mở sách nâng cao và phát triển toán lớp 8 ấy, nó có giải đầy đủ đấy

Chắc bạn lăn tăn về điều kiện của a,b đúng không. Lúc đầu mình cũng nghĩ vậy nhưng khi viết ra rồi thì thấy không cần thiết nữa, chỉ cần nó dương là được rồi