Cho $x, y, z$ là 3 số thực thuộc đoạn [1; 4] và $x\geq y, x\geq z$. Tìm min $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$
Cho $x, y, z$ là 3 số thực thuộc đoạn [1; 4] và $x\geq y, x\geq z$. Tìm min $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$
#1
Posted 15-09-2015 - 18:55
#2
Posted 15-09-2015 - 19:09
Cho $x, y, z$ là 3 số thực thuộc đoạn [1; 4] và $x\geq y, x\geq z$. Tìm min $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$
Ta có : $P=\frac{1}{2+\frac{3y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$
Đặt $\frac{y}{x}=a~;~\frac{z}{y}=b~;~\frac{x}{z}=c$ thì $abc=1$ và $P=\frac{1}{2+3a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$
Vì $x\geq y\Rightarrow bc=\frac{x}{y}\geq 1$
Khi đó : $\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{2}{1+\sqrt{bc}}=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}$
Ta chứng minh $P=\frac{1}{2+3a}+\frac{2\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\geq \frac{34}{33}\Leftrightarrow (2\sqrt{a}-1)(48a-27\sqrt{a}+35)\geq 0$
Bất đẳng thức này luôn đúng vì $a=\frac{y}{x}\geq \frac{1}{4}\Rightarrow \sqrt{a}\geq \frac{1}{2}$
Vậy $P_{min}=\frac{34}{33}$ khi $x=4;y=1;z=2$
Edited by Dinh Xuan Hung, 15-09-2015 - 19:10.
- rainbow99, nguyenhongsonk612, A piece of life and 3 others like this
#3
Posted 19-04-2016 - 20:48
Ta có : $P=\frac{1}{2+\frac{3y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$
Đặt $\frac{y}{x}=a~;~\frac{z}{y}=b~;~\frac{x}{z}=c$ thì $abc=1$ và $P=\frac{1}{2+3a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$
Vì $x\geq y\Rightarrow bc=\frac{x}{y}\geq 1$
Khi đó : $\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{2}{1+\sqrt{bc}}$ $=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}$
Ta chứng minh $P=\frac{1}{2+3a}+\frac{2\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\geq \frac{34}{33}\Leftrightarrow (2\sqrt{a}-1)(48a-27\sqrt{a}+35)\geq 0$
Bất đẳng thức này luôn đúng vì $a=\frac{y}{x}\geq \frac{1}{4}\Rightarrow \sqrt{a}\geq \frac{1}{2}$
Vậy $P_{min}=\frac{34}{33}$ khi $x=4;y=1;z=2$
Chứng minh đoạn này kiểu gì vậy anh?
#4
Posted 19-04-2016 - 22:20
Chứng minh đoạn này kiểu gì vậy anh?
Mình nghĩ chỉ cần chuyển vế rồi dùng biến đổi tương đương thôi mà
NEVER GIVE UP...
Không cần to lớn để bắt đầu, nhưng cần bắt đầu để trở nên to lớn...
#5
Posted 19-04-2016 - 22:21
Mình nghĩ chỉ cần chuyển vế rồi dùng biến đổi tương đương thôi mà
Bạn thử làm theo cách bạn nghĩ được ko ạ..
#6
Posted 20-04-2016 - 22:22
Bạn thử làm theo cách bạn nghĩ được ko ạ..
Tách $\frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ = $\frac{1}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+\sqrt{ab}}$
sau đó chuyển vế quy đồng bình thường thôi
Cuối cùng nó sẽ ra một hệ thức luôn đúng
Vì x,y,z >0 => a,b,c >0
Vì dùng latex rất lâu, mình không tiện gõ hết ra nên nếu bạn muốn xem kĩ lại thì hãy mở sách nâng cao và phát triển toán lớp 8 ấy, nó có giải đầy đủ đấy
Chắc bạn lăn tăn về điều kiện của a,b đúng không. Lúc đầu mình cũng nghĩ vậy nhưng khi viết ra rồi thì thấy không cần thiết nữa, chỉ cần nó dương là được rồi
NEVER GIVE UP...
Không cần to lớn để bắt đầu, nhưng cần bắt đầu để trở nên to lớn...
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users