Chứng minh rằng mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$
#1
Posted 22-09-2015 - 15:16
- Zaraki and nhungvienkimcuong like this
#2
Posted 26-09-2015 - 10:51
Chứng minh rằng mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$ , với x,y là các số tự nhiên
nhân hết lên. Viết delta theo x hoặc y. Là ra
#3
Posted 27-09-2015 - 11:29
Lời giải. Đầu tiên, ta chứng minh sự tồn tại của $x,y$ theo quy nạp.
Với $N=0$ thì chọn $x=y=0$.
Giả sử bài toán đúng đến $N=m$, tức tồn tại $x_m,y_m$ sao cho $m= \frac{(x_m+y_m)^2+3x_m+y_m}{2}$.
Ta cần chứng minh bài toán đúng với $N=m+1$. Ta chọn $x_{m+1}=x_m+1,y_{m+1}=y_m-1$ thì $$\frac{(x_{m+1}+y_{m+1})^2+3x_{m+1}+y_{m+1}}{2}= \frac{(x_m+y_m)^2+3x_m+y_m}{2}+1=m+1.$$
Trường hợp $y_m=0$, tức $m= \frac{x_m^2+3x_m}{2}$ thì chọn $x_{m+1}=0,y_{m+1}=x_m+1$, khi đó $$\frac{(x_{m+1}+y_{m+1})^2+3x_{m+1}+y_{m+1}}{2}= \frac{(x_m+1)^2+x_m+1}{2}=\frac{x_m^2+3x_m}{2}+1=m+1.$$
Tiếp, theo, ta sẽ chứng minh tính duy nhất của $(x,y)$, hay nói cách khác ta cần chứng minh phương trình sau chỉ có nghiệm $a=x,b=y$: $$\frac{(a+b)^2+3a+b}{2}= \frac{(x+y)^2+3x+y}{2}.$$
Nếu $a+b=x+y$ ta dễ dàng suy ra $a=x,b=y$, mâu thuẫn.
Nếu $a+b \ne x+y$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a+b>x+y$ thì ta suy ra $a+b-x-y \ge 1$ nên $(a+b-x-y)(a+b+x+y) \ge a+b+x+y$ hay $(3x+y)-(3a+b) \ge a+b+x+y$ tương đương với $x \ge 2a+b$, mâu thuẫn với điều kiện $a+b \ge x+y$.
Vậy $a=x,b=y$.
Bài toán được chứng minh. $\blacksquare$
- supermember, dogsteven, huuhieuht and 4 others like this
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#4
Posted 27-10-2015 - 18:12
Chứng minh rằng mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$ , với x,y là các số tự nhiên
ta đánh số tất cả các số nguyên dương $N$ trong mặt phẳng tọa độ như hình sau
ta kí hiệu $N\equiv (a,b)$ tức điểm mang số $N$ được đánh như trên sẽ có tọa độ $(a,b)$
ta chứng minh quy nạp rằng nếu $N\equiv (a,b)$ thì $N=\frac{(a+b)^2+3a+b}{2}$
$-$ với $N=0 \equiv (0,0)$ thì dễ thấy $0=\frac{(0+0)^2+3.0+0}{2}$
$-$ với $N=1 \equiv (0,1)$ thì dễ thấy $1=\frac{(0+1)^2+3.0+1}{2}$
$-$ giả sử bài toán đúng tới $N$ tức $N\equiv (x_N,y_N)$ thì $N=\frac{(x_N+y_N)^2+3x_N+y_N}{2}$
$-$ với $N+1\equiv (x_{N+1},y_{N+1})$
$\blacksquare$ nếu $y_N\neq 0$ thì $\left\{\begin{matrix} x_{N+1}=x_N+1\\y_{N+1}=y_N-1 \end{matrix}\right.$
thật vậy
$N+1=\frac{(x_{N+1}+y_{N+1})^2+3x_{N+1}+y_{N+1}}{2}=\frac{\left [ (x_N+1)+(y_N-1) \right ]^2+3(x_N+1)+(y_N-1)}{2}=\frac{(x_N+y_N)^2+3x_N+y_N}{2}+1$
$\blacksquare$ nếu $y_N= 0$ thì $\left\{\begin{matrix} x_{N+1}=0\\y_{N+1}=x_N+1 \end{matrix}\right.$
thật vậy
$N+1=\frac{(x_{N+1}+y_{N+1})^2+3x_{N+1}+y_{N+1}}{2}=\frac{\left [ 0+(x_N+1) \right ]^2+3.0+(x_N+1)}{2}=\frac{(x_N+y_N)^2+3x_N+y_N}{2}+1$
vậy theo quy nạp ta có điều phải chứng minh
mà mỗi điểm mang một vị trí được đánh dấu duy nhất trong tọa độ nên các biểu diễn này là duy nhất
Edited by nhungvienkimcuong, 29-10-2015 - 15:20.
- hxthanh, Zaraki, Belphegor Varia and 2 others like this
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users