Bài 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=3$.Chúng minh rằng:
$\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}$
Bài 2: Cho $a,b,c>0$ thỏa: $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\geq 1$
Chứng minh rằng: $a+b+c\geq ab+bc+ca$
Bài 3: Cho $x_1,x_2,...,x_n>0$ thỏa $x_1+x_2+...+x_n=k$
Tìm $GTNN,GTLN$ của biểu thức $P=x_1x_2...x_n$
Bài 4: Cho $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$.Gọi $m$ là trung bình cộng của tất cả các ước số của $n$.
Chứng minh rằng: $\sqrt{n}\leq m\leq \frac{n+1}{2}$
Bài 5: Cho $a,b>0$.Tìm hằng số $k$ lớn nhất thỏa:
$\frac{k}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\geq \frac{16+4k}{(a+b)^3}$
Bài 6: Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$.Chứng minh\
$\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq 1$