Đến nội dung

Hình ảnh

Tuyển tập các bài bất đẳng thức khó trong kì thi HSG


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Bài 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=3$.Chúng minh rằng:

               $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}$

 

Bài 2: Cho $a,b,c>0$ thỏa: $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\geq 1$

 Chứng minh rằng: $a+b+c\geq ab+bc+ca$

 

Bài 3: Cho $x_1,x_2,...,x_n>0$ thỏa $x_1+x_2+...+x_n=k$

Tìm $GTNN,GTLN$ của biểu thức $P=x_1x_2...x_n$

 

Bài 4: Cho $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$.Gọi $m$ là trung bình cộng của tất cả các ước số của $n$.

 Chứng minh rằng: $\sqrt{n}\leq m\leq \frac{n+1}{2}$

 

Bài 5: Cho $a,b>0$.Tìm hằng số $k$ lớn nhất thỏa:

  $\frac{k}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\geq \frac{16+4k}{(a+b)^3}$

 

Bài 6: Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$.Chứng minh\

               $\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq 1$



#2
quan1234

quan1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 257 Bài viết

Bài 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=3$.Chúng minh rằng:

               $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}$

 

Bài 2: Cho $a,b,c>0$ thỏa: $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\geq 1$

 Chứng minh rằng: $a+b+c\geq ab+bc+ca$

 

Bài 3: Cho $x_1,x_2,...,x_n>0$ thỏa $x_1+x_2+...+x_n=k$

Tìm $GTNN,GTLN$ của biểu thức $P=x_1x_2...x_n$

 

Bài 4: Cho $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$.Gọi $m$ là trung bình cộng của tất cả các ước số của $n$.

 Chứng minh rằng: $\sqrt{n}\leq m\leq \frac{n+1}{2}$

 

Bài 5: Cho $a,b>0$.Tìm hằng số $k$ lớn nhất thỏa:

  $\frac{k}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\geq \frac{16+4k}{(a+b)^3}$

 

Bài 6: Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$.Chứng minh\

               $\frac{1}{\sqrt{1+8a}}+\frac{1}{\sqrt{1+8b}}+\frac{1}{\sqrt{1+8c}}\geq 1$

$\sum \frac{a}{1+b^2}= \sum a-\sum \frac{ab^2}{1+b^2}\geq \sum a-\sum \frac{ab}{2}\geq \frac{3}{2}$



#3
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Thêm vài bài:

Bài 7: Cho $a,b,c$ thỏa $a\geq b\geq c>a-b$ và $a+b+c=2m$.Chứng minh rằng:

            $[m(a+b-c)-ab][m(b+c-a)-bc][m(c+a-b)-ca]\leq \frac{a^2b^2c^2}{8}$

Bài 8: Tìm $GTNN,GTLN$ của biểu thức $f=\frac{mn}{mu^2+nv^2}$ trong đó $m,n,u,v\in \mathbb{Z^+}$ thỏa:

                         $u+v=20$ và $m+n=10$

Bài 9: Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $m$ sao cho bất đẳng thức luôn đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$:

                              $(x+1)(x+2)^2(x+3)\geq m$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh