Bài toán : Cho $A(2;-1;4),B(1,-1;3), (P):2x+y-2z-12=0; (Q) :x-y-4=0.$ Tìm M thỏa M thuộc (P) và thuộc (Q) và diện tích tam giác MAB nhỏ nhất.
Tìm M thỏa M thuộc (P) và thuộc (Q) và diện tích tam giác MAB nhỏ nhất.
#2
Đã gửi 23-10-2015 - 16:56
Bài toán : Cho $A(2;-1;4),B(1,-1;3), (P):2x+y-2z-12=0; (Q) :x-y-4=0.$ Tìm M thỏa M thuộc (P) và thuộc (Q) và diện tích tam giác MAB nhỏ nhất.
Gọi $d_1$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$
$\Rightarrow d_1:\left\{\begin{matrix}2x+y-2z-12=0\\x-y-4=0 \end{matrix}\right.$
Gọi $d_2$ là đường thẳng $AB$
$\Rightarrow d_2:\left\{\begin{matrix}x-z+2=0\\y+1=0 \end{matrix}\right.$
$M$ phải là điểm thuộc $d_1$ có khoảng cách đến $d_2$ nhỏ nhất.
Gọi $(R)$ là mặt phẳng chứa $d_1$ và song song với $d_2$ ; $(S)$ là mặt phẳng chứa $d_2$ và song song với $d_1$
$(T)$ là mặt phẳng chứa $d_2$ và vuông góc với $(R)$ $\Rightarrow M=(T)\cap d_1$
Phương trình của $(R)$ và $(S)$ có dạng :
$(R):(2x+y-2z-12)+\alpha (x-y-4)=0$ hay $(2+\alpha )x+(1-\alpha )y-2z-4\alpha -12=0$
$(S):(x-z-2)+\beta (y+1)=0$ hay $x+\beta y-z+\beta +2=0$
trong đó $\frac{2+\alpha }{1}=\frac{1-\alpha }{\beta }=\frac{-2}{-1}\Rightarrow \alpha =0;\beta =\frac{1}{2}$
$\Rightarrow (R):2x+y-2z-12=0$ ($(R)$ trùng với $(P)$)
Phương trình của $(T)$ có dạng $(T):(x-z+2)+\gamma (y+1)=0$ hay $x+\gamma y-z+\gamma +2=0$
trong đó $2.1+1.\gamma +(-2)(-1)=0\Rightarrow \gamma =-4$
$\Rightarrow (T):x-4y-z-2=0$
Tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ :
$\left\{\begin{matrix}x-4y-z-2=0\\2x+y-2z-12=0\\x-y-4=0 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ Tọa độ của $M$ là $M\left ( \frac{44}{9};\frac{8}{9};-\frac{2}{3} \right )$
- caybutbixanh yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh