Chủ đề này có 5 trả lời

[tpdtthltvp]

1/Cho x,y> 0 thỏa mãn x+y=1.Chứng minh rằng $(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})2\geq \frac{25}{2}$

2/Chứng minh rằng : $\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\cdots +\frac{1}{n^{2}+(n+1)^{2}}< \frac{1}{2}$

[hoctrocuaHolmes]

1/Cho x,y> 0 thỏa mãn x+y=1.Chứng minh rằng $(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})2\geq \frac{25}{2}$

2/Chứng minh rằng : $\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\cdots +\frac{1}{n^{2}+(n+1)^{2}}< \frac{1}{2}$

1. $(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^2=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+y^{2}+\frac{1}{y^{2}}+4\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}+\frac{8}{(x+y)^{2}}+4=\frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}$(đúng theo AM-GM)

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

[Quoc Tuan Qbdh]

1/Cho x,y> 0 thỏa mãn x+y=1.Chứng minh rằng $(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})2\geq \frac{25}{2}$

2/Chứng minh rằng : $\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\cdots +\frac{1}{n^{2}+(n+1)^{2}}< \frac{1}{2}$

 

2/ 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có :

$\frac{1}{1^{2}+2^{2}}+\frac{1}{2^{2}+3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+(n+1)^{2}} < \frac{1}{2}(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n+1})$

$< \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 23-10-2015 - 19:57

[tpdtthltvp]

1. $(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^2=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+y^{2}+\frac{1}{y^{2}}+4\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}+\frac{8}{(x+y)^{2}}+4=\frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}$(đúng theo AM-GM)

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

 

Tại sao $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}$ vậy bạn?

Mà bạn áp dụng ngay bất đẳng thức $a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}$ cho $(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}$ cũng ra đó !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 23-10-2015 - 20:46

[hoctrocuaHolmes]

Tại sao $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}$ vậy bạn?

Mà bạn áp dụng ngay bất đẳng thức $a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}$ cho $(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}$ cũng ra đó !

$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{2}{xy}\geq \frac{2}{\frac{(x+y)^{2}}{4}}=\frac{8}{(x+y)^{2}}(AM-GM)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 23-10-2015 - 21:47

[tpdtthltvp]

Dấu"="xảy ra khi a=b <=> $x+\frac{1}{x}=y+\frac{1}{y}$ <=> (x-y)($1-\frac{1}{xy}$)=0 <=> x-y=0(từ giả thiết =>x<1,y<1 =>xy<1)