Chủ đề này có 2 trả lời

[Truong Gia Bao]

Cho các số thực $x,y,z \geq 1$ thỏa mãn $2xyz +1 \geq x+y+z$. Tìm GTLN của biểu thức:

 

$P=\frac{ \sqrt{2x^2-2x+1} +\sqrt{2y^2-2y+1}+\sqrt{2z^2-2z+1}}{(x+y+z)^2}+\frac{2}{2xyz+1}$

[Dinh Xuan Hung]

Cho các số thực $x,y,z \geq 1$ thỏa mãn $2xyz +1 \geq x+y+z$. Tìm GTLN của biểu thức:

 

$P=\frac{ \sqrt{2x^2-2x+1} +\sqrt{2y^2-2y+1}+\sqrt{2z^2-2z+1}}{(x+y+z)^2}+\frac{2}{2xyz+1}$

Bài làm TQV:

Áp dụng BĐT $AM-GM$ vào giả thiết ta có:$2xyz+1\geq x+y+z\geq 2\sqrt{xy}+z$

 

$\Leftrightarrow 2z(\sqrt{xy})^2-2\sqrt{xy}+1-z\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{xy}\geq \dfrac{1+\sqrt{2z^2-2z+1}}{2z}(*) & & \\ \sqrt{xy}\leq \dfrac{1-\sqrt{2z^2-2z+1}}{2z}=\dfrac{1-z}{1+\sqrt{2z^2-2z+1}}\leq 0(L) & & \end{bmatrix}$

 

Chứng minh tương tự:$\left\{\begin{matrix} 1+\sqrt{2x^2-2x+1}\leq x(y+z) & & \\ 1+\sqrt{2y^2-2y+1}\leq y(x+z) & & \end{matrix}\right.$

 

$3+\sqrt{2x^2-2x+1}+\sqrt{2y^2-2y+1}+\sqrt{2z^2-2z+1}\leq 2(xy+yz+xz)$

 

$\Rightarrow P\leq \frac{2(xy+yz+z)-3}{(x+y+z)^2}+\frac{2}{2xyz+1}\leq \frac{\dfrac{2}{3}(x+y+z)^2-3}{(x+y+z)^2}+\frac{2}{2xyz+1}$

 

$\Rightarrow P\leq \frac{2}{3}-\frac{3}{(x+y+z)^2}+\frac{2}{2xyz+1}\leq \frac{2}{3}-\frac{3}{(2xyz+1)^2}+\frac{2}{2xyz+1}$

 

Đặt $t=xyz$ với ĐK giả thiết thì $t\geq 1$

 

Lúc đó:$P\leq \frac{2}{3}-\frac{3}{(2t+1)^2}+\frac{2}{2t+1}$

 

Đến đây dùng đạo hàm là ra

[hieubota2]