6 replies to this topic

[Hoang Long Le]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng

$$\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}\geq a+b+c+3$$

[quangnghia]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng

$$\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}\geq a+b+c+3$$

Áp dụng bất đẳng thức sau $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}+\sqrt{e^{2}+f^{2}}\geq \sqrt{(a+c+e)^{2}+(b+d+f)^{2}}$ (với, a,b,c,d,e,f không âm)

Ta có $\sum \sqrt{a^{2}+3}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(3\sqrt{3})^{3}}$

Ta cần chứng minh

$(a+b+c)^{2}+27\geq (a+b+c+3)^{2}$

Rất tiếc đây là 1 đẳng thức với $ab+bc+ca=3$

[meomunsociu]

Áp dụng bất đẳng thức sau $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}+\sqrt{e^{2}+f^{2}}\geq \sqrt{(a+c+e)^{2}+(b+d+f)^{2}}$ (với, a,b,c,d,e,f không âm)

Ta có $\sum \sqrt{a^{2}+3}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(3\sqrt{3})^{3}}$

Ta cần chứng minh

$(a+b+c)^{2}+27\geq (a+b+c+3)^{2}$

Rất tiếc đây là 1 đẳng thức với $ab+bc+ca=3$

Chứng minh BĐT trên sao vậy bạn

[quangnghia]

Chứng minh BĐT trên sao vậy bạn

Như hồi mình thi HSG cấp thành phố thì mình bình phương 2 vế lên chứng minh tương đương, không thì có cách dùng vectơ mình không rõ, nhưng tên bất đẳng thức này là MIn cốp ki. bạn có thể tham khảo trên mạng để có bài giải chứng minh cụ thể

[haichau0401]

Chứng minh BĐT trên sao vậy bạn

Bất đẳng thức mà bạn hỏi là bất đẳng thức Min-cop-xki, và là hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki, có thể CM bằng phương pháp tương đương (bình phương hai vế) hoặc dùng bất thức bu-nhi

[Hoang Long Le]

Áp dụng bất đẳng thức sau $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}+\sqrt{e^{2}+f^{2}}\geq \sqrt{(a+c+e)^{2}+(b+d+f)^{2}}$ (với, a,b,c,d,e,f không âm)

Ta có $\sum \sqrt{a^{2}+3}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(3\sqrt{3})^{3}}$

Ta cần chứng minh

$(a+b+c)^{2}+27\geq (a+b+c+3)^{2}$

Rất tiếc đây là 1 đẳng thức với $ab+bc+ca=3$

 Anh cho em hỏi nó là "đẳng thức" kiểu nào ấy nhỉ   Hình như có chút gì đó nhầm lẫn, $ab+bc+ca=3$ mà

 Vả lại cái cuối cùng mà anh cần chứng minh tương đương $a+b+c\leq 3$ rõ ràng là ngược dấu rồi mà anh

[Hoang Long Le]

Lời giải :

 Ta có :

$$\textrm{BĐT}\Leftrightarrow \sum  \sqrt{a^2+ab+bc+ca}-\sum a\geq 3$$

$$\Leftrightarrow \sum \sqrt{(a+b)(a+c)}-\sum a\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$$

Dễ thấy $\sqrt{a+b},\sqrt{b+c},\sqrt{c+a}$ là ba cạnh của một tam giác

Khi đó, tồn tại $x,y,z>0$ sao cho $\left\{\begin{matrix} \sqrt{a+b}=x+y\\ \sqrt{b+c}=y+z\\ \sqrt{c+a}=z+x \end{matrix}\right.$

$$\Rightarrow a=\dfrac{(x+y)^2+(z+x)^2-(y+z)^2}{2}=x(x+y+z)-yz~,~b=y(x+y+z)-xz~,~c=z(x+y+z)-xy$$

$$\Rightarrow ab+bc+ca=\sum \left [x(x+y+z)-yz\right ]\left [y(x+y+z)-zx\right ]$$

$$=(xy+yz+zx)(x+y+z)^2-(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2)(x+y+z)+xyz(x+y+z)$$

$$=(x+y+z)\left [(x+y+z)(xy+yz+zx)-(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2)+xyz \right ]=4xyz(x+y+z)$$

Nên ta chỉ cần chứng minh :

$$(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)-(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)\geq 2\sqrt{3xyz(x+y+z)}$$

$$\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq \sqrt{3xyz(x+y+z)}$$

Luôn đúng theo Cauchy-Schwarz