Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm max $P=a^4+b^4+c^4+3(ab+bc+ca)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3728 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 21-11-2015 - 21:51

Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=a^4+b^4+c^4+3(ab+bc+ca)$$

 

(Đề thi Thử THPT Quốc gia 2015 lần 3 của THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam))

Đáp án trong đề thi bị sai nên xin nhờ mọi người giải hộ.


1) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn


#2 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-11-2015 - 21:21

Bài này bậc 4 nên theo lý thuyết đẳng thức xảy ra khi hai số bằng nhau hoặc một số bằng 0. Thực tế đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=2b=2c$. Dồn biến hoặc SOS là một cách rất tự nhiên (và cũng nhẹ nhàng khỏi phải suy nghĩ nhiều nếu quen tay). Lúc mới đọc tưởng bài này là thi thử HSG Quốc gia, không ngờ chỉ là thi thử THPT Quốc gia mà khó vậy  :ohmy:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 25-11-2015 - 21:40
bổ sung

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#3 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-11-2015 - 22:22

Kí hiệu $P(a,b,c) = a^4+b^4+c^4+3(ab+bc+ca)$.

Dễ thấy chỉ cần xét $a,b,c\ge 0$.  Giả sử $a=\max(a,b,c)$ và đặt $s=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}},p=bc$. Ta sẽ chứng minh $P(a,b,c) \le P(a,s,s)$. Và như thế, để ý rằng $a^2+s^2+s^2=3$, ta đã đưa bài toán về trường hợp có hai số bằng nhau. 

Viết lại biểu thức theo $s$ và $p$:

$$P(a,b,c) = 4s^4 -2p^2 + 3p +3a\sqrt{2s^2+2p}$$

Xem đây là một hàm theo $p$, kí hiệu $f(p)$. Tính đạo hàm 

$$f'(p) = -4p+3+\frac{3a}{\sqrt{2s^2+2p}}$$

Bởi vì $0\le p\le s \le 1 \le a$ nên dễ thấy $$f'(p) \ge -4+3+\frac{3}{\sqrt{2+2}} = \frac{1}{2} > 0,$$ nên $f(p)$ đồng biến trên $[0,s]$ và do đó $f(p) \le f(s) = P(a,s,s)$. Như vậy ta đã chứng minh xong điều ở trên, nghĩa là chỉ cần xét bài toán khi có hai số bằng nhau (cụ thể hơn nữa là trong trường hợp $a\ge 1 \ge b=c$, như vậy khi lập bảng biến thiên đỡ xét toàn bộ miền xác định).

 

Bài toán bây giờ trở thành một biến, tính đạo hàm và lập bảng biến thiên ta dễ dàng tìm được max khi $a=b=c=1$ hoặc $a=2b=2c=\sqrt{2}$.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#4 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-11-2015 - 00:22

Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=a^4+b^4+c^4+3(ab+bc+ca)$$

 

(Đề thi Thử THPT Quốc gia 2015 lần 3 của THPT Chuyên Nguyễn Huệ (Quảng Nam))

Đáp án trong đề thi bị sai nên xin nhờ mọi người giải hộ.

 

Đề thi thử đại học mà vui vậy nhỉ :)

 

Ta chỉ cần chứng minh

\[a^4+b^4+c^4+(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2) \leqslant \frac{4}{3}(a^2+b^2+c^2)^2. \quad (1)\]

Do tính thuần nhất của bài toán nên ta có thể bỏ đi điều kiện $a^2+b^2+c^2=3$ và chuẩn hóa $a+b+c=3$ khi đó tồn tại số thực $t \geqslant 0$ sao cho $a^2+b^2+c^2=3+6t^2,$ dẫn đến $ab+bc+ca=3-3t^2.$ Bất đẳng thức $(1)$ trở thành

\[48t^4-33t^2+12-12abc \geqslant 0.\]

Với phép đặt này ta có $abc \leqslant (1+2t)(1-t)^2,$ cho nên

\[48t^4-33t^2+12-12abc \geqslant 48t^4-33t^2+12-12(1+2t)(1-t)^2 = 3t^2(4t-1)^2 \geqslant 0.\]

Từ đó dẫn đến kết luận giá trị lớn nhất cần tìm là $12$ đạt được chẳng hạn $a=b=c=1$ hoặc $a=\sqrt{2},b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ cùng các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 28-11-2015 - 00:25

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#5 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 279 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 28-11-2015 - 22:16

mấy bài này các anh giải bằng phương pháp thường thôi thi đại học chứ đâu có phải MO hay TST mà dồn biến hay S.O.S

#6 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 279 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 28-11-2015 - 22:18

à quên bài này khá giống bài của Vasile

#7 zPtsKing

zPtsKing

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Đã gửi 30-11-2015 - 23:06

Tại sao đề thi thử ĐH thôi mà làm dồn biến với S.O.S ghê v =="



#8 bestmather

bestmather

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B4-Thanh Hóa

Đã gửi 02-04-2016 - 21:17

Đề thi thử đại học mà vui vậy nhỉ :)

 

Ta chỉ cần chứng minh

\[a^4+b^4+c^4+(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2) \leqslant \frac{4}{3}(a^2+b^2+c^2)^2. \quad (1)\]

Do tính thuần nhất của bài toán nên ta có thể bỏ đi điều kiện $a^2+b^2+c^2=3$ và chuẩn hóa $a+b+c=3$ khi đó tồn tại số thực $t \geqslant 0$ sao cho $a^2+b^2+c^2=3+6t^2,$ dẫn đến $ab+bc+ca=3-3t^2.$ Bất đẳng thức $(1)$ trở thành

\[48t^4-33t^2+12-12abc \geqslant 0.\]

$Với phép đặt này ta có $abc \leqslant (1+2t)(1-t)^2,$ cho nên$

\[48t^4-33t^2+12-12abc \geqslant 48t^4-33t^2+12-12(1+2t)(1-t)^2 = 3t^2(4t-1)^2 \geqslant 0.\]

Từ đó dẫn đến kết luận giá trị lớn nhất cần tìm là $12$ đạt được chẳng hạn $a=b=c=1$ hoặc $a=\sqrt{2},b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ cùng các hoán vị.

chỗ này là sao ạ ?!!!!


:ukliam2: Trái tim nóng và cái đầu lạnh :ukliam2: 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh