$a^{n} + n$ chia hết $b^{n} + n$ với mọi n nguyên dương. Chứng minh rằng a = b
$a^{n} + n$ chia hết $b^{n} + n$ với mọi n nguyên dương. Chứng minh rằng a = b
#2
Đã gửi 22-11-2015 - 19:23
Ai giúp với :3
#3
Đã gửi 22-11-2015 - 23:48
Bài này áp dụng định lý phần dư trung hoa.
GS $b\neq a$. Cho n=1 ta có $b+1\vdots a+1\Rightarrow b>a$.
Xét p là số nguyên tố (p>b)
Theo định lý phần dư trung hoa tồn tại n sao cho:$\left\{\begin{matrix} n\equiv 1 (mod p-1) & \\ n\equiv -a(modp) & \end{matrix}\right.$
nên n=k(p-1)+1=tp-a.
Theo định lý fecma nhỏ. ta có:
$a^{n}=a.a^{k(p-1)}\equiv a(modp)\Rightarrow a^{n}+n\equiv a+n\equiv 0(modp)\Rightarrow a^{n}+n\vdots p$
$b^{n}=b.b^{k(p-1)}\equiv b(modp)\Rightarrow b^{n}+n\equiv b+n\equiv b-a$ (mod p)
$\Rightarrow b-a\vdots p\Rightarrow b-a\geq p$ (vô lí)
Vậy a=b
- Lareadx yêu thích
#4
Đã gửi 26-11-2015 - 03:55
Mình nghĩ lời giải của bạn không đúng. Từ $p \mid a^n+n$ không thể suy ra $p \mid b^n+n$ dù có $b^n+n \mid a^n+n$. Cũng dựa vào ý tưởng của bạn, mình xin đề xuất lời giải của mình:
Lời giải. Xét $p$ là một số nguyên tố bất kì. Theo định lý thặng dư Trung Hoa, luôn tồn tại $n$ sao cho $\begin{cases} n \equiv 1 \pmod{p-1} \\ n \equiv -b \pmod{p} \end{cases}$.
Khi đó theo định lý Fermat nhỏ thì $b^n \equiv b \pmod{p}$ suy ra $b^n+n \equiv 0 \pmod{p}$ suy ra $a^n +n \equiv 0 \pmod{p}$. Do $a^n \equiv n \pmod{p}$ (vì $n \equiv 1 \pmod{p-1}$) nên $p \mid a+n$ hay $n \equiv -a \pmod{p}$ hay $p \mid a-b$.
Do việc xét số nguyên tố $p$ trên là bất kì nên do đó, ta vừa chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ thoả $p \mid a-b$. Điều này chỉ xảy ra khi $a=b$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 26-11-2015 - 03:58
- tpdtthltvp yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#5
Đã gửi 26-11-2015 - 08:34
Mình nghĩ lời giải của bạn không đúng. Từ $p \mid a^n+n$ không thể suy ra $p \mid b^n+n$ dù có $b^n+n \mid a^n+n$. Cũng dựa vào ý tưởng của bạn, mình xin đề xuất lời giải của mình:
Lời giải. Xét $p$ là một số nguyên tố bất kì. Theo định lý thặng dư Trung Hoa, luôn tồn tại $n$ sao cho $\begin{cases} n \equiv 1 \pmod{p-1} \\ n \equiv -b \pmod{p} \end{cases}$.
Khi đó theo định lý Fermat nhỏ thì $b^n \equiv b \pmod{p}$ suy ra $b^n+n \equiv 0 \pmod{p}$ suy ra $a^n +n \equiv 0 \pmod{p}$. Do $a^n \equiv n \pmod{p}$ (vì $n \equiv 1 \pmod{p-1}$) nên $p \mid a+n$ hay $n \equiv -a \pmod{p}$ hay $p \mid a-b$.
Do việc xét số nguyên tố $p$ trên là bất kì nên do đó, ta vừa chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ thoả $p \mid a-b$. Điều này chỉ xảy ra khi $a=b$.
bạn hiểu nhầm đề bài của mình rồi. ý mình là $a^{n} + n \mid b^{n} + n$ nên lời giải hai bạn là một.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuaKhu263: 26-11-2015 - 08:37
#6
Đã gửi 26-11-2015 - 08:56
bạn hiểu nhầm đề bài của mình rồi. ý mình là $a^{n} + n \mid b^{n} + n$ nên lời giải hai bạn là một.
Ý bạn $a^n+n \mid b^n+n$ nghĩa là $b^n+n$ chia hết cho $a^n+n$ ? Sao mình đọc ở trên bạn lại viết $a^n+n$ chia hết cho $b^n+n$ ?
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#7
Đã gửi 28-11-2015 - 15:35
Ý bạn $a^n+n \mid b^n+n$ nghĩa là $b^n+n$ chia hết cho $a^n+n$ ? Sao mình đọc ở trên bạn lại viết $a^n+n$ chia hết cho $b^n+n$ ?
Mình ghi là chia hết mà chứ có ghi chia hết cho đâu
- Zaraki và shinichikudo201 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh