Bài kiểm tra số 1.
Thời gian làm bài: 180 phút.
Bài 1. a) Chứng minh rằng với mọi $a>2$ thì phương trình $x^3-2x=a$ có nghiệm duy nhất và hơn nữa nếu $m$ là nghiệm thì $m>1$.
b) Cho dãy số $(x_n)$ xác định như sau: $x_1=1$ và $x_{n+1}$ là nghiệm duy nhất của phương trình $x^3-2x=1+\sqrt[3]{3x_n+1}$. Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn.
Bài 2. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$\frac{ab}{(a+b)^2}+ \frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{(c+a)^2}+ \frac 54 \ge \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}.$$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $( C)$. Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là trung điểm $AC,AB$. Kí hiệu $D$ là chân đường cao hạ từ $A$ và $G$ là trong tâm tam giác $ABC$. Gọi $(C')$ là đường tròn qua $B_1$ và $C_1$, đồng thời tiếp xúc với $( C)$ tại $X \ne A$.
a) Gọi $W$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $X$ của $( C)$ với $B_1C_1$. Chứng minh rằng $WA$ tiếp xúc với $( C)$.
b) Chứng minh rằng $D,G,X$ thẳng hàng.
Bài 4. Trường phù thuỷ và pháp sư Hogwarts có $n$ học sinh. Các học sinh của trường rất hiếu động và tham gia nhiều câu lạc bộ khác nhau. Cả trường có tất cả $m$ câu lạc bộ. Theo quy định của trường mà thầy hiệu trưởng Albus Dumbledore công bố thì mỗi câu lạc bộ phải có ít nhất $2$ thành viên. Nghiên cứu danh sách các câu lạc bộ của trưởng, Harry Potter nhận thấy một điều thú vị sau đây: Nếu hai câu lạc bộ nào đó có ít nhất $2$ thành viên chung thì câu lạc bộ đó sẽ có số thành viên khác nhau. Chứng minh rằng $m \le (n-1)^2$.
Nguồn: Từ FB anh Cẩn. Do mình chỉ là nhìn chép từ ảnh anh Cẩn up lên nên không tránh khỏi sai sót. Nếu mọi người thấy có lỗi nào thì có thể viết vào trong topic này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 27-11-2015 - 03:47