Cho $\left\{\begin{matrix}x+y+z=xyz & & \\ x,y,z>1 & & \end{matrix}\right.$
Tìm GTNN của : $A=\frac{x-2}{z^{2}}+\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}$
p/s:Khuyến khích sự bình luận , sáng tạo !
Edited by KietLW9, 08-05-2021 - 19:48.
Cho $\left\{\begin{matrix}x+y+z=xyz & & \\ x,y,z>1 & & \end{matrix}\right.$
Tìm GTNN của : $A=\frac{x-2}{z^{2}}+\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}$
p/s:Khuyến khích sự bình luận , sáng tạo !
Edited by KietLW9, 08-05-2021 - 19:48.
Cho $\left\{\begin{matrix}x+y+z=xyz & & \\ x,y,z>1 & & \end{matrix}\right.$
Tìm GTNN của : $A=\frac{x-2}{z^{2}}+\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}$
p/s:Khuyến khích sự bình luận , sáng tạo !
Để ý rằng $x,y,z>1,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$
$A+1=\sum \left (\frac{x-2}{z^2}+\frac{1}{z} \right )=\sum \frac{(x-1)+(z-1)}{z^2}=\sum (x-1)\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2} \right )\geq 2\sum\frac{x-1}{xz}=2.\frac{xy+yz+xz-x-y-z}{xyz} =2\left ( 1-\frac{x+y+z}{xyz} \right )$
Có $xyz(x+y+z)\leq \frac{(xy+yz+xz)^2}{3}\rightarrow \frac{x+y+z}{xyz}\leq \frac{1}{3}$
Từ đó $A+1\geq \frac{4}{3}\rightarrow A\geq \frac{1}{3}$
Kết luận $A_{min}=\frac{1}{3}\leftrightarrow x=y=z=3$
Edited by KietLW9, 08-05-2021 - 19:48.
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Vậy tại sao lại có lời giải như vậy ạ ?
đúng rồi, ý tưởng ntn hả anh?
Nguyễn Thùy Dung
Vậy tại sao lại có lời giải như vậy ạ ?
đúng rồi, ý tưởng ntn hả anh?
tìm điểm rơi của bài toán rồi xác định phương pháp thôi
Phương pháp gì vậy , có rất nhiều pp , bạn nói chung chung quá !
Phương pháp gì vậy , có rất nhiều pp , bạn nói chung chung quá !
sau khi xác định điểm rơi thì xem các phân thức bằng bao nhiêu, cộng trừ như thế nào, dùng các bđt để cực trị đúng bằng giả thiết
Vẫn quá chung !
Bạn có thể minh họa qua chính bài này không ?
Vẫn quá chung !
Bạn có thể minh họa qua chính bài này không ?
sau khi tìm được điểm rơi nhờ bấm máy thì tính được $\frac{x-2}{z^{2}}$, rồi tìm phân thức đồng bậc với nó và có giá trị bằng nó, sau đó dùng AM-GM để đánh giá
Nhân tiện giải luôn bài này nhé:
$\frac{a+2}{9c}+\frac{b+2}{9a}+\frac{c+2}{9b}\leq 1$
Edited by Element hero Neos, 03-12-2015 - 20:28.
Tôi thấy bài này phải sử dụng bất đẳng thức hoán vị để chuyển phần chứng minh về dang : $\sum_{cyc}^{}\frac{x-2}{x^{2}}$ sau đó dùng cân bằng là OK !
Edited by olympiachapcanhuocmo, 14-12-2015 - 18:45.
Cho $\left\{\begin{matrix}x+y+z=xyz & & \\ x,y,z>1 & & \end{matrix}\right.$
Tìm GTNN của : $A=\frac{x-2}{z^{2}}+\frac{y-2}{x^{2}}+\frac{z-2}{y^{2}}$
p/s:Khuyến khích sự bình luận , sáng tạo !
Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$ thì $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$
Khi đó $P=\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{c^2(1-a)}{a}+a(1-a)\geqslant 2c(1-a)$
$\frac{a^2(1-b)}{b}+b(1-b)\geqslant 2a(1-b)$
$\frac{b^2(1-c)}{c}+c(1-c)\geqslant 2b(1-c)$
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $(\frac{c^2(1-a)}{a}-c^2)+(\frac{a^2(1-b)}{b}-a^2)+(\frac{b^2(1-c)}{c}-b^2)\geqslant a+b+c-2(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}-2(ab+bc+ca)=\sqrt{3}-2$
hay $\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}\geqslant \sqrt{3}-2$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$
Edited by KietLW9, 08-05-2021 - 19:48.
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 members, 1 guests, 0 anonymous users