21 replies to this topic

[an1907]

Chứng minh rằng nếu $a ,b , c$ là các số thực dương thì : $\sqrt{\frac{2a}{a + b}} + \sqrt{\frac{2b}{b + c}} + \sqrt{\frac{2c}{c + a}} \leq 3$

 

Cho $a , b , c$ dương và có $abc = 1$ . Chứng minh : $\frac{a^{4}b}{a^{2} + 1} + \frac{b^{4}c}{b^{2} + 1} + \frac{c^{4}a}{c^{2} + 1} \geq \frac{3}{2}$

Edited by E. Galois, 04-09-2015 - 23:02.

[PHHsmlie]

Cho $a , b , c$ dương và có $abc = 1$ . Chứng minh : $\frac{a^{4}b}{a^{2} + 1} + \frac{b^{4}c}{b^{2} + 1} + \frac{c^{4}a}{c^{2} + 1} \geq \frac{3}{2}$

Ta có:

$\frac{4a^4b}{a^2+1}+(a^2+1)b\geq 4a^2b$

Thiết lập các BĐT tương tự, rồi cộng lại.

Lại có: $a^2b+b^2c+c^2a\geq 3$ và $a+b+c\geq 3$

Từ đây ta được đpcm.

Edited by PHHsmlie, 31-08-2015 - 17:27.

[an1907]

bạn làm sai rồi

$VT \geq 3(a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a) - (a + b + c) \geq 3 - (a + b + c)$

Đoạn này trái dấu nên ko trừ dc

[nangcuong8e]

Cho $a , b , c$ dương và có $abc = 1$ . Chứng minh : $\frac{a^{4}b}{a^{2} + 1} + \frac{b^{4}c}{b^{2} + 1} + \frac{c^{4}a}{c^{2} + 1} \geq \frac{3}{2}$

Ta có: $\frac{a^4b}{a^2+1} =a^2b -\frac{a^2b}{a^2+1} \geq a^2b -\frac{a^2b}{2a} =a^2b -\frac{ab}{2}$

 DO đó $\sum \frac{a^4b}{a^2+1} \geq (a^2b +b^2c +c^2a) -\frac{ab+bc+ca}{2}$

Bây giờ ta sẽ chứng minh $a^2b +b^2c +c^2a \geq ab +bc +ca$. Thật vậy,

 $a^2b +a^2b +b^2c \geq 3\sqrt[3]{(ab)^4c} =3\sqrt[3]{(ab)^4.\frac{1}{ab}}$

$\Rightarrow a^2b +a^2b +b^2c \geq 3ab$

 Tương tự, $2b^2c +c^2a \geq 3bc$ và $2c^2a +a^2b \geq 3ca$

$\Rightarrow a^2b +b^2c +c^2a \geq ab+bc+ca$

 Vậy: $\sum \frac{a^4b}{a^2+1} \geq a^2b +b^2c +c^2a -\frac{ab+bc+ca}{2} \geq \frac{ab+bc+ca}{2}$

$\Rightarrow  \sum \frac{a^4b}{a^2+1} \geq \frac{3\sqrt[3]{(abc)^2}}{2} =\frac{3}{2}$

 Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Edited by nangcuong8e, 01-09-2015 - 14:18.

[Namthemaster1234]

Chứng minh rằng nếu $a ,b , c$ là các số thực dương thì : $P=\sqrt{\frac{2a}{a + b}} + \sqrt{\frac{2b}{b + c}} + \sqrt{\frac{2c}{c + a}} \leq 3$

 

Cauchy shwarz trực tiếp : $ P^2=(\sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}})^2 \leq [\sum2b(a+c)][\sum \frac{1}{(a+c)(b+c)}]=\frac{8(ab+ac+bc)(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Dễ chứng minh $\frac{8(ab+ac+bc)(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq 9$

[Namthemaster1234]

Cho $a , b , c$ dương và có $abc = 1$ . Chứng minh : $\frac{a^{4}b}{a^{2} + 1} + \frac{b^{4}c}{b^{2} + 1} + \frac{c^{4}a}{c^{2} + 1} \geq \frac{3}{2}$

 

Cách khác: $\sum \frac{a^4b}{a^2+1}=\sum \frac{a^4}{a^3c+ac}\geq \sum\frac{a^2+b^2+c^2}{ a^3c+b^3c+c^3a+ab+ac+bc}$

 

Ta phải chứng minh: $2(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3\sum a^3c+3 \sum ac$

 

Thật vậy ta có: $\sum(a^2b^2+a^2b^2+1)\geq \sum 3ab$ (1)

 

$\sum (a^4+a^2b^2+1) \geq \sum3a^3c$ (2)

 

$a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2  \geq 6$ (3)

 

Cộng (1), (2),(3) lại suy ra điều phải chứng minh

[Gachdptrai12]

$\textup{cho x,y,z} \epsilon[0;2] \textup{tim max} P=\frac{1}{8}[(2-x)(2-y)(4-z)+\frac{8x}{y+z+2}+\frac{8y}{x+z+2}+\frac{8z}{x+y+2}]$

[kuhaza]

cho x + y = 1. tìm min, max của A = x² + y².

[hoduchieu01]

x^{2} + \frac{1}{4} \geq x 

y^{2} + \frac{1}{4} \geq y 
 

=> P  \geq  \frac{1}{2}

[Coppy dera]

cho x + y = 1. tìm min, max của A = x² + y².

$1=x+y\geq2\sqrt{xy} \Leftrightarrow xy \leq \frac{1}{4}$

$A=(x+y)^2-2xy=1-2xy\geq 1-\frac{1}{2}(x+y)^2=\frac{1}{2}$

$A=1-2xy \leq 1$

[vutuannam]

cho x + y = 1. tìm min, max của A = x² + y².

$\left ( x+y \right )^{2}= 1\Rightarrow 1= x^{2}+y^{2}+2xy\leq 2x^{2}+2y^{2}= 2A\Rightarrow A\leq \frac{1}{2}$

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

[vutuannam]

$cho a,b,c > 0;\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{^{2}}}=\sqrt{2014} CMR:\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{1007}$

[Hoang Long Le]

$cho a,b,c > 0;\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{^{2}}}=\sqrt{2014} CMR:\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{1007}$

 

 Áp dụng AM-GM : $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \sum \frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}$

 Đặt $\sqrt{b^2+c^2}=x;\sqrt{c^2+a^2}=y;\sqrt{a^2+b^2}=z$ thì $a^2=\frac{y^2+z^2-x^2}{2};b^2=\frac{x^2+z^2-y^2}{2};c^2=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}$ và $x+y+z=\sqrt{2014}$

 $\Rightarrow \sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.\sum \frac{y^2+z^2-x^2}{x^2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ \sum \left (\frac{y^{2}+z^{2}}{x}+2x\right )-3.\sum x\right ]$

 $\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}\left \{ \sum \left [\frac{(y+z)^2}{2x}+2x\right ]-3.\sum x \right \}\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.\left [2\sum (y+z)-3\sum x \right ]=\frac{1}{2\sqrt{2}}.\sum x=\frac{1}{2}\sqrt{1007}$

 

 

Bài toán tổng quát

 

 Cho $a,b,c > 0$ và $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{^{2}}}=k$ $\left (k\in \mathbb{R^+}\right )$  

 CMR : $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{k}{2\sqrt{2}}$

 

 

 

Chặt hơn

 Cho $a,b,c > 0$ và $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{^{2}}}=k$ $\left (k\in \mathbb{R^+}\right )$  

 CMR : $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{k}{2\sqrt{2}}$

 

 

Edited by Hoang Long Le, 20-10-2015 - 03:29.

[Element hero Neos]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=xyz

Chứng minh rằng:$\frac{x^{2}}{x+yz}+\frac{y^{2}}{y+zx}+\frac{z^{2}}{z+xy}\geq \frac{x+y+z}{4}$

Edited by Element hero Neos, 16-11-2015 - 21:25.

[Bich Ngoc 2k1]

Bài 26 :Cho a, b,c là 3 cạnh của 1 tam giác và $a\leq b\leq c$ . CMR: 
           $\frac{a^{4}}{b+c}+\frac{b^{4}}{a+c}+\frac{c^{4}}{a+b}< 2.(a.b^{2}+b.c^{2}+c.a^{2})$
Bài 27: Cho a,b,c >0 và abc = ab + bc + ca . CMR :
           $\frac{1}{a+2b+3c}+ \frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}< \frac{3}{16}$

Edited by Bich Ngoc 2k1, 25-11-2015 - 17:08.

[HoangVienDuy]

Bài 27: Cho a,b,c >0 và abc = ab + bc + ca . CMR :
           $\frac{1}{a+2b+3c}+ \frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}< \frac{3}{16}$

$\sum \frac{1}{a+c+2(b+c)}< \sum \frac{1}{4}.\left ( \frac{1}{a+c}+\frac{1}{2(b+c)} \right )=\frac{3}{8}.\sum \frac{1}{a+b}< \frac{3}{16}.\left ( \sum \frac{1}{a} \right )=\frac{3}{16}$

Edited by HoangVienDuy, 25-11-2015 - 20:35.

[Bich Ngoc 2k1]

$\sum \frac{1}{a+c+2(b+c)}< \sum \frac{1}{4}.\left ( \frac{1}{a+c}+\frac{1}{2(b+c)} \right )=\frac{3}{4}.\sum \frac{1}{a+b}< \frac{3}{16}.\left ( \sum \frac{1}{a} \right )=\frac{3}{16}$

chỗ $\frac{3}{4} là \frac{3}{8}$ mới đúng chứ

Edited by Bich Ngoc 2k1, 25-11-2015 - 17:50.

[PlanBbyFESN]

Bài 27: Cho a,b,c >0 và abc = ab + bc + ca . CMR :
           $\frac{1}{a+2b+3c}+ \frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}< \frac{3}{16}$

Sử dụng hđt đưa VT$\leq$3/18<3/16 $\Rightarrow$đpcm bạn nhé

[PlanBbyFESN]

 

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=xyz

Chứng minh rằng:$\frac{x^{2}}{x+yz}+\frac{y^{2}}{y+zx}+\frac{z^{2}}{z+xy}\geq \frac{x+y+z}{4}$

 

$x-\frac{x^{2}}{x+yz}=\frac{xyz}{x+yz}\leq \frac{xyz}{4}\left ( \frac{1}{x+1/3yz}+\frac{1}{2/3yz} \right )\leq \frac{3x}{8}+\frac{\sqrt{3xyz}}{8}=\frac{3x}{8}+\frac{\sqrt{3(xy+yz+zx)}}{8}\leq \frac{3x}{8}+\frac{x+y+z}{8}$

tương tự ...

$\Rightarrow x+y+z-A\leq \frac{3(x+y+z)}{4} \Rightarrow A\geq \frac{x+y+z}{4}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=3$

Cách này mình giải dùng cô si ngược kết hợp bđt $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ (a,b>0) và cô si 2 số dưới mẫu và vd 3(ab+bc+ca)$\leq (a+b+c)^{2}$.

Nói chũng cách này khá thú vị nên hơi rườm rà, mời bà con thêm cách nào hay ko nào cho tham khảo ~~

[PlanBbyFESN]

Đóng góp:

28) Tìm max:P= 3xy+3yz+3zx-xyz với x³+y³+z³=3; x,y,z>0 (Đề thi vòng 1 hsg 9 huyện mình năm nay) 

29) a,b,c> và a+b+c=3. Tìm min 

A=$\sum \frac{a^{2014}+2013}{b^{2}+1}$

30)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm min:

A=14(a²+b²+c²)+$\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$