Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangngochai]

Cho $1\leq a\leq 2$ và $1\leq b\leq 2$. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: $P = \frac{{\left( {a + b} \right)^2 }}{{a^3  + b^3 }}$

 

[vuliem1987]

$\left ( a-1 \right )\left ( a-2 \right )\leq 0\Rightarrow a^{2}+2\leq 3a$ , tương tự  $b^{2}+2\leq 3b$

Hơn nữa từ giả thiết cũng có $\left ( a-2 \right )\left ( b-2 \right )\geq 0\Rightarrow 2\left ( a+b \right )\leq ab+4$

Suy ra  $a^{2}+b^{2}+4\leq 3\left ( a+b \right )=a+b+2\left ( a+b \right )\leq a+b+ab+4$   nên  $a^{2}-ab+b^{2}\leq a+b\Rightarrow \left ( a^{3}+b^{3} \right )\leq \left ( a+b \right )^{2}\Rightarrow P\geq 1$ , dấu bằng xảy ra khi  a = b = 2  hoặc  a = 1, b = 2  hoặc  a = 2, b = 1

[vuliem1987]

Vẫn ko có ai chém thêm về GTLN!

Ta có  $a\geq 1;b\geq 1\Rightarrow a+b\leq a^{2}+b^{2}\leq a^{2}+b^{2}+\left ( a-b \right )^{2}=2\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )\Rightarrow \left ( a+b \right )^{2}\leq 2\left ( a^{3}+b^{3} \right )\Rightarrow P\leq 2$

Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1.

[meomunsociu]

Cho $1\leq a\leq 2$ và $1\leq b\leq 2$. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: $P = \frac{{\left( {a + b} \right)^2 }}{{a^3  + b^3 }}$

MAX 

$P=\frac{(a+b)^2}{a^3+b^3}=\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}=\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}\leq \frac{a+b}{ab}$

(BĐT : $a^2+b^2\geq 2ab$)

$\Rightarrow P\leq \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq 2$ (Do $a\geq 1;b\geq 1$)

$\Rightarrow$$P\leq 2$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$