Chủ đề này có 13 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

              SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                              ĐỀ THI HỌC KÌ I

     TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY                                          Năm học 2015-2016

                                                                                                                Môn Toán-Lớp 10 Chuyên

 

 

Câu 1 (4 điểm).

 

a)Giải bất phương trình:$\frac{2-x+\sqrt{x}}{\sqrt{2(x^2-5x+9)}-1}\leq 1$

 

b)Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 9x^2+y^2+\sqrt{5-6x}=6 & & \\ 9x^3+2x+(y-1)\sqrt{1-3y}=0 & & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2 (3 điểm).Cho tam giác ABC nhọn,không cân nội tiếp đường tròn (O;R),ngoại tiếp đường tròn (I,r).G là trung điểm đoạn BC.Đường tròn (I;r) tiếp xúc với BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F.Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại M,N.Trên tia đối của tia OG lấy điểm H sao cho OH=R+r

 

a)Chứng minh M,N,D,G cùng nằm trên đường tròn tâm K

 

b)Chứng minh rằng K,D,H thẳng hàng

 

Câu 3 (3 điểm).

 

a)Có bao nhiêu số nguyên dương có năm chữ số $\overline{abcde}$ sao cho $a\leq b< c< d\leq e$

 

b)Cho $f(x)$ là đa thức bậc ba với hệ số cao nhất là 2 và thỏa mãn $f(2014)=2015,f(2015)=2016$.Tính $f(2016)-f(2013)$

 

c)Cho các số thực dương $a,b,c>0$ sao cho $max\left \{ a;b;c \right \}-min\left \{ a;b;c \right \}\leq 1$.Chứng minh rằng:

 

$$1+a^3+b^3+c^3+6abc\geq 3a^2b+3b^2c+3c^2a$$

 

----HẾT----

 

P/s: Đề quá NÁT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 24-12-2015 - 16:42

[I Love MC]

Làm bao nhiêu phút vậy anh

[Dinh Xuan Hung]

Làm bao nhiêu phút vậy anh

120 phút em à

[hoctrocuaZel]

3/b

$f(x)=2(x-a)(x-2014)(x-2015)+1\Rightarrow f(2016)-f(2013)=2(2016-a).2-2(2013-a).-1.-2=4(2016-2013)$

[chieckhantiennu]

          b)Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} 9x^2+y^2+\sqrt{5-6x}=6 & & \\ 9x^3+2x+(y-1)\sqrt{1-3y}=0 & & \end{matrix}\right.$

 

THTT 457 nè.

Hình gửi kèm

• 

[vuliem1987]

3b/ Nhưng nếu thay giá trị vào thì f(2014) = f(2015) = 1 không thỏa mãn.

Hàm cần xét  $f(x)=\left ( x+1 \right )\left [ \left ( x-2014 \right )^{2}+\left ( x-2015 \right )^{2} \right ]$ , khi đó f(2016) - f(2013) = 15

[perfectstrong]

Câu 3a:

Gọi $A$ là tập các số $\overline{abcde}$ thỏa đề. Để thuận tiện, ta ký hiệu $(a;b;c;d;e)$ thay cho $\overline{abcde}$.

Xét ánh xạ $f$ đặt tương ứng một bộ số $(a;b;c;d;e)$ thỏa đề với $(x;y;z;t;u)$ sao cho $x=a-1; y= b; z=c; t=d; u= e +1$.

Khi đó $$0\le x < y <z < t <u \le 10 \quad (1)$$

Dễ thấy $f$ là song ánh từ $A$ tới $B$ với $B$ là tập các bộ số nguyên $(x;y;z;t;u)$ thỏa mãn $(1)$. Tức $|A|=|B|$.

Lại có $B$ là số cách chọn ra 5 số bất kỳ phân biệt từ tập $\{ 0; 1;...; 10 \}$ nên $|B|=C_{11}^5$

[viet nam in my heart]

 

 

Câu 3 (3 điểm).

 

c)Cho các số thực dương $a,b,c>0$ sao cho $max\left \{ a;b;c \right \}-min\left \{ a;b;c \right \}\leq 1$.Chứng minh rằng:

 

$$1+a^3+b^3+c^3+6abc\geq 3a^2b+3b^2c+3c^2a$$

 

Câu bất quen quá.

Không mất tính tổng quát giả sử $c=min(a,b,c)$

Đặt $a=c+x,b=c+y \left(x,y\geq0\right)$

Theo giả thiết ta có: $max\left \{ a;b;c \right \}-min\left \{ a;b;c \right \}\leq 1$ nên suy ra $0\leq x,y \leq 1$

Ta có: $1+a^3+b^3+c^3+6abc\geq 3a^2b+3b^2c+3c^2a$

$\Leftrightarrow 1+ \left(c+x\right)^3+\left(c+y\right)^3+c^3+6c\left(c+x\right)\left(c+y\right) \geq 3\left(c+x\right)^2\left(c+y\right)+3c\left(c+y\right)^2+3c^2\left(c+x\right)$

$\Leftrightarrow \left(2x^3+y^3-3x^2y\right)+\left(1-x^3\right) \geq 0$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta lại có: $2x^3+y^3=x^3+x^3+y^3\geq 3x^2y$

Lại có: $x\leq 1 \Rightarrow 1-x^3\geq 0$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 24-12-2015 - 19:08

[Hoang Nhat Tuan]

              SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                              ĐỀ THI HỌC KÌ I

     TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY                                          Năm học 2015-2016

                                                                                                                Môn Toán-Lớp 10 Chuyên

 

 

 

 

Câu 2 (3 điểm).Cho tam giác ABC nhọn,không cân nội tiếp đường tròn (O;R),ngoại tiếp đường tròn (I,r).G là trung điểm đoạn BC.Đường tròn (I;r) tiếp xúc với BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F.Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại M,N.Trên tia đối của tia OG lấy điểm H sao cho OH=R+r

 

a)Chứng minh M,N,D,G cùng nằm trên đường tròn tâm K

 

b)Chứng minh rằng K,D,H thẳng hàng

 

 

 

a) Kéo dài $MN$ cắt $BC$ tại $J$. Dễ chứng minh $(JDBC)=-1$, từ đó kết hợp với hệ thức Maclaurin suy ra $JD.JG=JM.JN$ 

=> ĐPCM

b) $OH$ cắt $(O)$ tại $P$ suy ra $PH=ID$, mà $PH//ID$ nên $PHID$ là hình bình hành.

Suy ra trung điểm $L$ của $DH$ cũng là trung điểm $L$ của $PI$.

Mặt khác dễ chứng minh góc $IAP$ vuông (dựa vào tính chất $AI$ cắt $(O)$ tại điểm chính giữa cung $BC$) nên dễ suy ra $APNM$ là hình thang cân.

$L$ thuộc trung trực của $AP$ nên $L$ cũng thuộc đường trung trực của $MN$.

Mà $L$ cũng là đường trung trực của $DG$ (dễ chứng minh).

Do đó $L\equiv K$ hay $K,D,H$ thằng hàng (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 24-12-2015 - 20:21

[vuliem1987]

HDG  nốt ý BPT vậy :

ĐK : $x\geq 0$ , dễ thấy  $\sqrt{2\left ( x^{2}-5x+9 \right )}-1> 0$  nên BPT tương đương với

$3+\sqrt{x}-x\leq \sqrt{2\left ( x^{2}-5x+9 \right )}$

TH1 : Xét  $3+\sqrt{x}-x< 0\Leftrightarrow x\geq \frac{7+\sqrt{13}}{2}$ khi đó BPT nghiệm đúng.

Th2 : Xét $3+\sqrt{x}-x\geq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{7+\sqrt{13}}{2}$ , chia cả 2 vế cho $\sqrt{x};x\neq 0$ ta được

$\frac{3}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}+1\leq \sqrt{2\left ( \frac{9}{x}+x-5 \right )}\Rightarrow t+1\leq \sqrt{2\left ( t^{2}+1 \right )};t=\frac{3}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

....................................

Bài này có ý tưởng khá giống bài thi đại học năm 2010 hoặc 2011 (ko nhớ!)

Câu b hệ đưa về phương pháp hàm đơn điệu cũng vậy.

Câu BĐT khá quen (dạng này thường giải như vậy). 

[anhminhnam]

3/b

$f(x)=2(x-a)(x-2014)(x-2015)+1\Rightarrow f(2016)-f(2013)=2(2016-a).2-2(2013-a).-1.-2=4(2016-2013)$

really??? $f(x)=2(x-a)(x-2014)(x-2015)+1$ thử thế 2014 với 2015 vào đâu có giống giả thiết. Chính xác là $f(x)=2(x-a)(x-2014)(x-2015)+x+1$ và $f(2016)-f(2013)=4(2016-a-2013+a) +3=15$

[hoctrocuaZel]

ờ nhầm, hấp tấp nên vội :v

cái này dùng nhị thwucs newton =))

[quan1234]

 

 

Câu bất quen quá.

Không mất tính tổng quát giả sử $c=min(a,b,c)$

Đặt $a=c+x,b=c+y \left(x,y\geq0\right)$

Theo giả thiết ta có: $max\left \{ a;b;c \right \}-min\left \{ a;b;c \right \}\leq 1$ nên suy ra $0\leq x,y \leq 1$

Ta có: $1+a^3+b^3+c^3+6abc\geq 3a^2b+3b^2c+3c^2a$

$\Leftrightarrow 1+ \left(c+x\right)^3+\left(c+y\right)^3+c^3+6c\left(c+x\right)\left(c+y\right) \geq 3\left(c+x\right)^2\left(c+y\right)+3c\left(c+y\right)^2+3c^2\left(c+x\right)$

$\Leftrightarrow \left(2x^3+y^3-3x^2y\right)+\left(1-x^3\right) \geq 0$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta lại có: $2x^3+y^3=x^3+x^3+y^3\geq 3x^2y$

Lại có: $x\leq 1 \Rightarrow 1-x^3\geq 0$

Vậy ta có điều phải chứng minh

 

Cái này là phương pháp bw à?

[Hoang Nhat Tuan]

 

 

Câu bất quen quá.

Không mất tính tổng quát giả sử $c=min(a,b,c)$

Đặt $a=c+x,b=c+y \left(x,y\geq0\right)$

Theo giả thiết ta có: $max\left \{ a;b;c \right \}-min\left \{ a;b;c \right \}\leq 1$ nên suy ra $0\leq x,y \leq 1$

Ta có: $1+a^3+b^3+c^3+6abc\geq 3a^2b+3b^2c+3c^2a$

$\Leftrightarrow 1+ \left(c+x\right)^3+\left(c+y\right)^3+c^3+6c\left(c+x\right)\left(c+y\right) \geq 3\left(c+x\right)^2\left(c+y\right)+3c\left(c+y\right)^2+3c^2\left(c+x\right)$

$\Leftrightarrow \left(2x^3+y^3-3x^2y\right)+\left(1-x^3\right) \geq 0$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta lại có: $2x^3+y^3=x^3+x^3+y^3\geq 3x^2y$

Lại có: $x\leq 1 \Rightarrow 1-x^3\geq 0$

Vậy ta có điều phải chứng minh

 

Giả sử $b=min(a,b,c).$

Từ giả thiết bài toán suy ra được $(c-b)^3\leq 1$

Do đó chỉ cần chứng minh: $(c-b)^3+a^3+b^3+c^3+6abc\geq 3a^2b+3b^2c+3c^2a$

$<=>(a-c)^2(a+2c-3b)\geq 0$

Dễ thấy BĐT này luôn đúng

=> ĐPCM 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 28-12-2015 - 21:26