Chủ đề này có 4 trả lời

[titanium]

CMR : $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$ 

với a,b,c >0

[Pham Quoc Thang]

Ta có: $ \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{2a-b}{3} $
Thật vậy: $ \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{2a-b}{3} \Leftrightarrow a^3+b^3 \geq ab(a+b)$
Tương tự ta suy ra đpcm. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

[superpower]

CMR : $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$ 

với a,b,c >0

Dùng C-S, sau đó khai triển pqr, cuối cùng, xuất hiện bđt Schur bậc 4

[lovelyDevil]

đơn giản nhất là dùng cauchy ngược

[royal1534]

CMR : $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$ 

với a,b,c >0

Bài này có nhiều cách.Mình sẽ tặng bạn 1 cách mà theo mình thấy là hay nhất:

Trước hết ta có bổ đề sau:$\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} \geq \frac{1}{3}$

Thật vậy ta có bđt cần chứng minh $\Leftrightarrow 3(a^{2}-ab+b^{2}) \geq a^{2}+b^{2}+ab$

                                                   $\Leftrightarrow 2(a^{2}-2ab+b^{2}) \geq 0 $

                                                   $\Leftrightarrow 2(a-b)^{2} \geq 0$ :Đúng

Bổ đề được chứng minh

--------------------

Trở lại bài toán

Ta đặt $P=\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}} $

Đặt $Q=\frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{a^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}$

$\Rightarrow P-Q=\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}-c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}-a^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}$

$\Rightarrow P-Q=a-b+b-c+c-a=0$

$\Rightarrow P=Q$

Xét $2P=P+Q=\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}$

      $2P=\frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{(b+c)(b^{2}-bc+c^{2})}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{(c+a)(c^{2}-ac+a^{2})}{c^{2}+ac+a^{2}}$

Áp dụng bổ đề đã chứng minh ở trên ta có:

$2P \geq \frac{1}{3}(a+b+b+c+c+a)=\frac{2}{3}(a+b+c)$

$\Rightarrow P \geq \frac{a+b+c}{3}$

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$