4 replies to this topic

[NoEmotion]

Tìm a,b,c thuộc N* thỏa mãn 

$ab-1 \vdots c, bc -1 \vdots a, ca-1 \vdots b$

[I Love MC]

Từ đề ta suy ra $ab+bc+ac-1 \vdots abc$ 
Suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=k+\frac{1}{abc} \le 3$ 
Suy ra $k=0,1,2$. Giải ví dụ một trường hợp $k=0$ 
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc} \ge \sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$  
Suy ra $abc=1$ 
Tương tự TH còn lại

[dtthltvp]

sao suy ra được $ab+bc+ca-1\vdots abc$ vậy?

[I Love MC]

sao suy ra được $ab+bc+ca-1\vdots abc$ vậy?

$(ab-1)(bc-1)(ac-1) \vdots abc \rightarrow ....$

[I Love MC]

Một lời giải khác : 
Giả sử $a \ge b \ge c \ge 1$  
Từ giả thiết ta suy ra $abc|(ab-1)(bc-1)(ac-1) $ 
Nên $xyz|xy+yz+xz-1$ 
Ta có $xyz \le xy+yz+xz-1<xy+yz+xz<xy+xy+xy=3xy$  
Suy ra $3>z$ 
Xét $z=2$ thì ta có $2xy|xy+2x+2y-1$ 
Suy ra $xy<2x+2y<4x$ suy ra $y \in {2,3}$ 
Xét $y=2,y=3$ ta ra được $x=5$ 
Một bài toán tương tự : 
British MO 2003 : Tìm tất cả các số nguyên tố $x,y,z$ sao cho 
$x|yz-1,y|xz-1,z|xy-1$