Bài 1 [Trường Đông Vinh ngày 1]. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Các điểm $E,F$ lần lượt thuộc đoạn thẳng $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Lấy điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $EM\parallel AB$ và $\angle ECM=\angle FCB$. Lấy điểm $N$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $FN\parallel AC$ và $\angle FBN=\angle EBC$. Gọi $BM$ cắt $CN$ tại $P$. Chứng minh rằng $P$ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi $E,F$ di chuyển.
Bài 2 [Trường Đông Hà Nội ngày 1]. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $CA,AB$ tại $E,F$. $G,H$ đối xứng $E,F$ qua $I$. $GH$ cắt $BC$ tại $P$. Các điểm $M,N$ thuộc $IP$ sao cho $CM\perp IB$ và $BN\perp IC$. Chứng minh rằng $I$ là trung điểm $MN$.
Bài 3 [Trường Đông Hà Nội ngày 2]. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $P$ nằm trong tam giác sao cho $\angle BPC=180^\circ-\angle A$. $PB,PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $I,J$ lần lượt là tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $B,C$ của tam giác $ABE$ và $ACF$. Gọi $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $KI=KJ$.
Bài 4. [Trường Đông Phú Yên ngày 1]. Cho tam giác $ABC$ với $E,F$ là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh $CA,AB$ sao cho $AE=AF$. $EF$ cắt $BC$ tại $D$. $K,L$ lần lượt là tâm ngoại tiếp tam giác $DBF,DCE$. Gọi $BE$ cắt $CF$ tại $H$. $AH$ cắt $BC$ tại $S$. $G$ là đối xứng của $D$ qua $KL$. Lấy $T$ thuộc $DG$ sao cho $ST\perp BC$. $M$ là trung điểm $ST$. Chứng minh rằng đường thẳng $GM$ luôn đi qua một điểm cố định khi $E,F$ thay đổi.
Bài 5 [Trường Đông Phú Yên ngày 2]. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định với $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên cung lớn $\arc{BC}$. $M$ là trung điểm $BC$ và $N$ là trung điểm $AM$. Các điểm $P,Q$ lần lượt thuộc đoạn thẳng $OB,OC$ sao cho $OP=\dfrac{1}{4}OB=\dfrac{1}{4}OC=OQ$. Đường thẳng qua $N$ song song $CA$ cắt đường thẳng qua $Q$ vuông góc $OB$ tại $E$. Đường thẳng qua $N$ song song $AB$ cắt đường thẳng qua $Q$ vuông góc $OC$ tại $F$. Chứng minh rằng $EF$ luôn tiếp xúc một đường tròn cố định khi $A$ di chuyển.
Tham khảo http://analgeomatica...truong-ong.html