Chủ đề này có 3 trả lời

[mysteriousgalaxy]

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^{3}+b^{3}-c^{3}=0$. tìm GTNN của

P=$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{(c-a)(c-b)}$

[tcqang]

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^{3}+b^{3}-c^{3}=0$. tìm GTNN của

P=$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{(c-a)(c-b)}$

Cách 1: Khảo sát hàm số theo biến $y \ge x$.

Biến đổi thành $x^3 + y^3 = 1$, với $x = \frac{a}{c} ; y = \frac{b}{c}; 0< x \le \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \le  y < 1$.

Khi đó $ P = \frac{x^2 + y^2}{(1-x)(1-y)} $

Khảo sát hàm $f(y)$ với $f'(y) = \frac{(y^2 +1)(1-y)^2}{[(x-1)y + 1-x]^2} > 0$ 

từ đó sẽ có $minP = \frac{2}{(\sqrt[3]{2} - 1)^2}$ khi $y = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$, suy ra $x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

 

P/s: cách 1 lúc đầu đánh giá bị nhầm nên chỉ còn 2 cách 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 06-01-2016 - 01:17

[tcqang]

Cách 1:

Biến đổi thành $x^3 + y^3 = 1$, với $x = \frac{a}{c} ; y = \frac{b}{c}; 0< x \le \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \le  y < 1$.

Khi đó $P = \frac{x^2 + y^2}{(1-x)(1-y)} 

Đã sửa!

Cách 1:

Có thể khảo sát $f(x,y) = f(y)$ như là hàm số theo biến $y$ cũng sẽ có kết quả $minP = \frac{2}{(\sqrt[3]{2} - 1)^2}$ khi $y = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$, suy ra $x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 06-01-2016 - 01:16

[tcqang]

Cách 2:

Có thể khảo sát $f(x,y) = f(y)$ như là hàm số theo biến $y$ cũng sẽ có kết quả $minP = \frac{2}{(\sqrt[3]{2} - 1)^2}$ khi $y= \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$, suy ra $x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

Cách 2:

Dùng kỹ thuật dồn biến chứng minh

$f(x,x+t) \ge f(x,x), \forall 0 \le t \le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$, cũng sẽ có kết quả $minP = \frac{2}{(\sqrt[3]{2} - 1)^2}$ khi $x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 06-01-2016 - 01:16