Cho $x,y$ là 2 số thực dương. CMR: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$
$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$
#1
Đã gửi 02-01-2016 - 19:26
#2
Đã gửi 02-01-2016 - 20:20
bien doi tuong duong
LENG KENG...
#3
Đã gửi 02-01-2016 - 20:22
Ta có: $(1-x)^2\geq 0 \Leftrightarrow 2(1+x^2)\geq (1+x)^2\Leftrightarrow \frac{1}{(1+x)^2}\geqslant \frac{1}{2(1+x^2)}$
$(1-y)^2\geq 0 \Leftrightarrow 2(1+y^2)\geq (1+y)^2\Leftrightarrow \frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{2(1+y^2)}$
Từ đó: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2})\geq \frac{1}{1+xy}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.
#4
Đã gửi 02-01-2016 - 20:38
#5
Đã gửi 02-01-2016 - 20:39
Cho $x,y$ là 2 số thực dương. CMR: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$
$VT-VP=\frac{xy^{3}+x^{3}y-x^{2}y^{2}-2xy+1}{(1+x)^{2}(1+y^{2})(1+xy)}\geq \frac{xy.2xy-x^{2}y^{2}-2xy+1}{(1+x)^{2}(1+y)^{2}(1+xy)}\\=\frac{(xy-1)^{2}}{(1+x)^{2}(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0$
- Ngoc Hung và Truong Gia Bao thích
#6
Đã gửi 03-01-2016 - 18:12
Từ đó: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2})\geq \frac{1}{1+xy}$
Bạn ơi làm sao có được $\frac{1}{2}(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2})\geq \frac{1}{1+xy}$ vậy?
"There's always gonna be another mountain..."
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh