Chủ đề này có 6 trả lời

[Tran Thanh Truong]

Chứng minh rằng:   $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

với $\forall a,b,c>0;a+b+c=3$

[baopbc]

Bài này giải vậy: cộng hai vế với 2ab+2bc+2ac thì VP=9

VT dùng AM-GM là được./

[Tran Thanh Truong]

Bài này giải vậy: cộng hai vế với 2ab+2bc+2ac thì VP=9

VT dùng AM-GM là được./

Cụ thể là vận dụng thế nào bạn?

[baopbc]

Cụ thể là vận dụng thế nào bạn?

$\sum \frac{1}{a^{2}}+2\sum ab\geq 9\sqrt[9]{\frac{1}{(abc)^{2}}.(abc)^{2}}=9$

[Tran Thanh Truong]

$\sum \frac{1}{a^{2}}+2\sum ab\geq 9\sqrt[9]{\frac{1}{(abc)^{2}}.(abc)^{2}}=9$

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+ab+bc+ca+ab+bc+ca\geq 9\sqrt[9]{\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}}.(abc)^{4}}=9\sqrt[9]{(abc)^{2}}$  mà bạn

[baopbc]

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+ab+bc+ca+ab+bc+ca\geq 9\sqrt[9]{\frac{1}{a^{2}b^{2}c^{2}}.(abc)^{4}}=9\sqrt[9]{(abc)^{2}}$  mà bạn

Thành thật xin lỗi, mình bị nhầm./

[quoccuonglqd]

Ta có $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{3}{abc}$($a+b+c=3$)

Ta cần chứng minh $\frac{3}{abc}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Lại có $abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{9}\leq \frac{(a+b+c)^{6}}{9.27}=3$(dpcm)

Cách của bạn ở trên cũng khả thi $2(ab+bc+ca)\geq 2\sqrt{9abc}$ nên ta cần chứng minh 

$\frac{1}{abc}+2\sum \sqrt{abc}\geq 3$

Áp dụng AM-GM $\frac{1}{abc}+\sqrt{abc}+\sqrt{abc}\geq 3$