Có người hỏi rằng:
“Khi tôi tìm hiểu về Lý thuyết xác suất, tôi thấy phân phối Poisson khá thú vị.
Khi tôi tìm cách lấy giá trị xác suất lớn nhất bằng vi phân, tôi không biết làm cách nào để lấy vi phân khi có số giai thừa trong công thức tính. Tìm kiếm trên Internet mang cho tôi giải pháp khá phức tạp, vì vậy tôi tạm dời nó lại.”
Đây là một vắn đề thú vị, bây giờ ta sẽ tìm cách giải quyết. Đầu tiên, ta cần một số kiến thức nền tảng.
I. TỔNG QUAN VỀ PHÂN PHỐI POISSON
Bất cứ khi nào có trường hợp liên quan đến các bệnh hiếm gặp (như bệnh Parkinson hay ung thư), việc đưa ra quan điểm và bảo vệ quan điểm được giải thích theo phân phối Poisson.
Phân phối Poisson chỉ được áp dụng nếu các biến cố trong câu hỏi là độc lập. Chúng ta cũng cần đếm số lượng các “thành công” (hoặc thất bại), do đó các biến cần thiết có liên quan phải là các số nguyên không âm.
Công thức cho phân phối xác suất Poisson có biến ngẫu nhiên $X$ là:
$$P\left( x \right)=~\frac{{{e}^{-\mu }}{{\mu }^{x}}}{x!}$$
Trong đó:
- $x$ là các số nguyên không âm (là 0,1,2,3,…)
- $e~=~2.71828\ldots $ là hằng số.
- $\mu $ = giá trị trung bình thành công trong khoảng thời gian, không gian nhất định.
Thông thường, công thức này sẽ tạo ra một phân phối như sau:
Xét ví dụ: Ta kiểm tra vết nứt trên bề mặt của 20 hợp kim nhôm, tần số các hợp kim có cùng vết nứt được cho trong bảng sau:
$$\begin{array}{|l|l|c|} \hline \textbf{Số vết nứt} & \textbf{Tần số}\\ \hline 0 & 4 \\ \hline 1 & 3 \\ \hline 2 & 5 \\ \hline 3 & 2 \\ \hline 4 & 4 \\ \hline 5 & 1 \\ \hline 6 & 1 \\ \hline \end{array}$$
Trong ví dụ này, chúng ta đã có một bảng ghi rõ số vết nứt được tìm thấy khi sản xuất và ta cần xác định xác suất cần thiết tìm kiếm vết nứt trong quá trình sản xuất trong tương lai.
Giá trị trung bình là $\mu $ = 2.3, áp dụng công thức trên cho $x=0,~x=1,~x=2,~\ldots ~$chúng ta thu được môt biểu đồ xác suất (biểu đồ cột, không có đường cong liên tục)
II. PHÂN PHỐI POISSON CHO CÁC BIẾN LIÊN TỤC
Theo định nghĩa, $x~$trong công thức Poisson là rời rạc vì chúng ta cần phải đếm số lượng các vết nứt (hoặc các trường hợp bệnh tật hoặc bất cứ điều gì).
Vì vậy chúng ta không thể tìm đạo hàm thực sự của phân phối Poisson, vì phép vi phân chỉ có tác dụng cho hàm số liên tục. Ngoài ra, $x$! ($x$ giai thừa) chỉ có ý nghĩa nếu $x$ là một số nguyên không âm.
Tuy nhiên, ta hãy xem đây là một bài tập giả thuyết rằng $x!$ vẫn áp dụng được cho số lẻ.
Trong một bài viết cho trước, tôi đã viết về hàm số Gamma cho chúng ta các giá trị liên tục cho $x$!, nghĩa là chúng ta có thể tìm thấy giá trị cho biểu thức như 3.5! (Xem bài viết "Giai thừa và hàm Gamma" tại đây).
Bây giờ để tìm các đạo hàm của công thức
$$P\left( x \right)=~\frac{{{e}^{-\mu }}{{\mu }^{x}}}{x!}$$
chúng ta cần tìm đạo hàm của $x$!
Nhắc lại hàm Gamma dưới đây, dùng để tính $x$!:
$$\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }\left( x+1 \right)=~\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{e}^{-t}}{{t}^{x}}dt$$
Đạo hàm của hàm Gamma được định nghĩa là:
$$\frac{d}{dx}\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }\left( x+1 \right)=~\text{ }\!\!\Psi\!\!\text{ }\left( x+1 \right)\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }\left( x+1 \right)$$
Và hàm Psi ($\text{ }\!\!\Psi\!\!\text{ })$ có ý nghĩa gì? Hàm này được định nghĩa là “đạo hàm logarithm của hàm Gamma”. Đây là một định nghĩa khá lòng vòng và không quá hữu ích, vì vậy hãy xem những gì chúng ta có thể tìm ra bằng cách sử dụng đồ thị.
III. ĐỒ THỊ CỦA HÀM POISSON
Hãy tiếp tục giả sử chúng ta có một biến $x$ liên tục và vẽ đồ thị phân phối Poisson
$$P\left( x \right)=~\frac{{{e}^{-\mu }}{{\mu }^{x}}}{x!}$$
Đây sẽ là một đường cong liên tục như sau :
Tôi đã bao gồm các trường hợp rời rạc (các cột chữ nhật màu đen) để so sánh. Bạn có thể vẽ đọ thị này bằng cách sử dụng Wodfram | Alpha. Bạn có thể nhập dữ liệu như sau (e^-2.3)(2.3^x)/x! from 0 to 10.)
Mục đích của chúng ta là tìm giá trị của $x$ mà tại đó sẽ cho giá trị lớn nhất của xác suất $P\left( X \right).$ Chúng ta có thể nhìn thấy giá trị đó ít hơn so với $x~=~2$.
Chúng ta có thể vẽ đồ thị đạo hàm của phân phối Poisson bằng cách sử dụng hệ thống đại số máy tính như dưới đây. Các giá trị chúng ta cần nằm trên trục $X$ trên hệ trục tọa độ.
Bạn cũng có thể lấy Wolfram|Alpha để làm việc này cho bạn:
d\dx((e^-2.3)(2.3^x!) from 0 to 3
Phóng to ở trên, phần gần $x$ = 2, ta có:
Từ hình trên chúng ta có thể thấy cực đại sẽ xảy ra khi $x~=~1.78223$.
Thay thế giá trị này vào biểu thức Poisson cho chúng ta giá trị cực đại:
$$P\left( 1.78233 \right)=\frac{{{e}^{-2.3}}{{2.3}^{1.78223}}}{1.78223!}=0.267831$$
IV. KẾT LUẬN
Kết quả chúng ta trả khớp với đồ thị của phân phối Poisson “liên tục” ở trên. Có nghĩa là chúng ta đã tìm thấy chính xác giá trị “cực đại”. Chúng ta đã làm được điều đó bằng cách sử dụng các phương tiện đồ họa vì phương pháp tiếp cận đại số có vẻ mù mờ.
Tuy nhiên, trong khi với ví dụ này, chúng ta đã tìm thấy một giả thuyết cho giá trị “cực đại” của phân phối Poisson, giá trị này không hợp lệ vì phân phối Poisson chỉ áp dụng cho các biến số rời rạc, đếm được.
Nguồn: http://www.intmath.c...stribution-4327
Người dịch: Nguyễn Hoàng Sơn - Thành viên Chuyên san EXP
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 11-01-2016 - 18:50