Chủ đề này có 1255 trả lời

[haichau0401]

Tiếp tục nhé mọi người!

Bài 111: $7x^2-10x+14=5\sqrt{x^4+4}$

Bài 112: $\dfrac{2}{x^2+5+2\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{2+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^4+4x^2+3}}+\dfrac{1}{2+2\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^4+4x^2+3}}=\frac{1}{2}$

Bài 113: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+y^2-z^2}+\sqrt{y^2+z^2-x^2}+\sqrt{z^2+x^2-y^2}=x+y+z & & \\ xyz-x^2-y^2-\dfrac{1}{3}(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})+2=0 & & \end{matrix}\right.$

[leminhnghiatt]

Tiếp tục nhé mọi người!

Bài 111: $7x^2-10x+14=5\sqrt{x^4+4}$

 

$\iff 6(x^2-2x+2)+(x^2+2x+2)=5\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$

 

Đặt $\sqrt{x^2-2x+2}=a; \sqrt{x^2+2x+2}=b$

 

PT $\iff 6a^2-5ab+b^2=0$

 

$\iff (2a-b)(3a-b)=0$

 

Với mỗi TH chỉ cần bình phương lên để tìm đc kết quả.

[NTA1907]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 26: $\left\{\begin{matrix} &5(x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})+2xy(1-\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})=35 \\ &\frac{3x-y}{x^{2}-y^{2}}+3x+y=9 \end{matrix}\right.$

Bài 31: $3x^{3}-6x^{2}-3x-17=3\sqrt[3]{9(-3x^{2}+21x+5)}$(đã hoàn thành)

Bài 36: $\left\{\begin{matrix} &(4x^{2}-4xy+4y^{2}-51)(x-y)^{2}+3=0 \\ &(2x-7)(x-y)+1=0 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 41: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=0 & \\ &x^{2}+y^{2}+z^{2}=10 & \\ &x^{7}+y^{7}+z^{7}=350 & \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 43: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+8y^{2}-6xy+x-3y-624=0 \\ &21x^{2}-24y^{2}-30xy-83x+49y+585=0 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 44: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+y^{2}=(x-y)(xy-1) \\ &x^{3}-x^{2}+y+1=xy(x-y-1) \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 48: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x}-y)^{2}+(\sqrt{y+x})^{3}=2 \\ &(\sqrt{x-y})^{3}+(\sqrt{y}-x)^{2}=2 \end{matrix}\right.$

Bài 55: $20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{x^{2}-1}=0$(đã hoàn thành)

Bài 68: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y+6}=1-y \\ &9\sqrt{1+x}+xy\sqrt{9+y^{2}}=0 \end{matrix}\right.$

Bài 69: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=8 \\ &4xyz-(x+9y+16z)=12 \end{matrix}\right.$

Bài 72: $x^{2}-9=(8x^{3}-28x^{2}+34x-11)(\sqrt{x+1}-2)$(đã hoàn thành)

Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}-3$

Bài 79: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+y^{2}=1 \\ &\sqrt[2015]{x}-\sqrt[2015]{y}=(\sqrt[2017]{x}-\sqrt[2017]{y})(x+y+xy+2018) \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Bài 93**: $(9x^{2}+6x-8)\sqrt{3x+2}+6x+23=27x^{2}+3\sqrt{10+3x}$(đã hoàn thành)

Bài 95: $\sqrt{x+5+\frac{12}{x-1}}=\frac{2(x+2)^{2}+11}{5x-3}$(đã hoàn thành)

bài 104: $2x-5+3\sqrt{2x+7}=2\sqrt{x+1}$(đã hoàn thành)

Bài 106: $2(2x-3)(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x-1})=3x-2$(đã hoàn thành)

Bài 112: $\frac{2}{x^{2}+5+2\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{2+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{4}+4x^{2}+3}}+\frac{1}{2+2\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{x^{4}+4x^{2}+3}}=\frac{1}{2}$(đã hoàn thành)

Bài 113: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{2}+y^{2}-z^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}-x^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}-y^{2}}=x+y+z \\ &xyz-x^{2}-y^{2}-\frac{1}{3}(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})+2=0 \end{matrix}\right.$(đã hoàn thành)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 26-01-2016 - 12:35

[Kira Tatsuya]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 26: $\left\{\begin{matrix} &5(x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})+2xy(1-\frac{1}{(x^{2}-y^{2})^{2}})=35 \\ &\frac{3x-y}{x^{2}-y^{2}}+3x+y=9 \end{matrix}\right.$

Bài 31: $3x^{3}-6x^{2}-3x-17=3\sqrt[3]{9(-3x^{2}+21x+5)}$

Bài 36: $\left\{\begin{matrix} &(4x^{2}-4xy+4y^{2}-51)(x-y)^{3}+3=0 \\ &(2x-7)(x-y)+1=0 \end{matrix}\right.$

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 41: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=0 & \\ &x^{2}+y^{2}+z^{2}=10 & \\ &x^{7}+y^{7}+z^{7}=350 & \end{matrix}\right.$

Bài 43: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+8y^{2}-6xy+x-3y-624=0 \\ &21x^{2}-24y^{2}-30xy-83x+49y+585=0 \end{matrix}\right.$

Bài 44: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+y^{2}=(x-y)(xy-1) \\ &x^{3}-x^{2}+y+1=xy(x-y-1) \end{matrix}\right.$

Bài 48: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x}-y)^{2}+(\sqrt{y+x})^{3}=2 \\ &(\sqrt{x-y})^{3}+(\sqrt{y}-x)^{2}=2 \end{matrix}\right.$

Bài 55: $20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{x^{2}-1}=0$

Bài 68: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y+6}=1-y \\ &9\sqrt{1+x}+xy\sqrt{9+y^{2}}=0 \end{matrix}\right.$

Bài 69: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=8 \\ &4xyz-(x+9y+16z)=12 \end{matrix}\right.$

Bài 72: $x^{2}-9=(8x^{3}-28x^{2}+34x-11)(\sqrt{x+1}-2)$

Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}-3$

Bài 79: $\left\{\begin{matrix} &x^{2}+y^{2}=1 \\ &\sqrt[2015]{x}-\sqrt[2015]{y}=(\sqrt[2017]{x}-\sqrt[2017]{y})(x+y+xy+2018) \end{matrix}\right.$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 93: $(9x^{2}+6x-8)\sqrt{3x+2}+6x+23=27x^{2}+3\sqrt{10+3x}$

Bài 95: $\sqrt{x+5+\frac{12}{x-1}}=\frac{2(x+2)^{2}+11}{5x-3}$

bài 104: $2x-5+3\sqrt{2x+7}=2\sqrt{x+1}$

Bài 106: $2(2x-3)(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x-1})=3x-2$

Bài 112: $\frac{2}{x^{2}+5+2\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{2+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{4}+4x^{2}+3}}+\frac{1}{2+2\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{x^{4}+4x^{2}+3}}=\frac{1}{2}$

Bài 113: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{2}+y^{2}-z^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}-x^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}-y^{2}}=x+y+z \\ &xyz-x^{2}-y^{2}-\frac{1}{3}(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})+2=0 \end{matrix}\right.$

88* có ai giải chưa vậy ??? minh chưa thấy

[NTA1907]

88* có ai giải chưa vậy ??? minh chưa thấy

Có vẻ như có 2 bài 88, mình nhầm...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 24-01-2016 - 14:42

[Kira Tatsuya]

Có vẻ như có 2 bài 88, mình nhầm...

 

của bạn haichau0401 á bạn

[NTA1907]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 93**: $(9x^{2}+6x-8)\sqrt{3x+2}+6x+23=27x^{2}+3\sqrt{10+3x}$

Đk: $x\geq \frac{-2}{3}$

Pt$\Leftrightarrow (9x^{2}+6x-8)(\sqrt{3x+2}-1)-3(\sqrt{10+3x}-3)=27x^{2}-6x-23-9x^{2}-6x+8+9$

$\Leftrightarrow (9x^{2}+6x-8).\frac{3x+1}{\sqrt{3x+2}+1}-3.\frac{3x+1}{\sqrt{10+3x}+3}=18x^{2}-12x-6$

$\Leftrightarrow (3x+1)(\frac{9x^{2}+6x-8}{\sqrt{3x+2}+1}-\frac{3}{\sqrt{10+3x}+3}-6x+6)=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-1}{3}$(TM) hoặc $\frac{9x^{2}+6x-8}{\sqrt{3x+2}+1}+6=6x+\frac{3}{\sqrt{10+3x}+3}$(*)

Ta có: $1> \frac{3}{\sqrt{10+3x}+3}$

Ta chỉ cần cm: $\frac{9x^{2}+6x-8}{\sqrt{3x+2}+1}+5> 6x$

$\Leftrightarrow 9x^{2}+6x-8+5\sqrt{3x+2}+5> 6x\sqrt{3x+2}+6x$

$\Leftrightarrow 9x^{2}+5\sqrt{3x+2}> 6x\sqrt{3x+2}+3$

Đặt $\sqrt{3x+2}=t\geq 0\Rightarrow x=\frac{t^{2}-2}{3}$

Khi đó ta cm: $(t^{2}-2)^{2}+5t> 2(t^{2}-2)t+3$

$\Leftrightarrow t^{4}-2t^{3}-4t^{2}+9t+1> 0$

Mà ta có: $t^{4}-2t^{3}-4t^{2}+9t+1> t^{4}-2t^{3}-4t^{2}+8t$(vì t\geq 0)

$=t(t-2)^{2}(t+2)\geq 0$(luôn đúng)

$\Rightarrow$ Pt(*) vô nghiệm

Vậy nghiệm duy nhất của pt là $x=\frac{-1}{3}$

[NTA1907]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 31: $3x^{3}-6x^{2}-3x-17=3\sqrt[3]{9(-3x^{2}+21x+5)}$

Pt$\Leftrightarrow (3x-3)^{3}+27(3x-3)=9(-3x^{2}+21x+5)+27\sqrt[3]{9(-3x^{2}+21x+5)}$

$\Rightarrow 3x-3=\sqrt[3]{9(-3x^{2}+21x+5)}$

$\Leftrightarrow 3x^{3}-6x^{2}-12x-8=0$

...

[NTA1907]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 106: $2(2x-3)(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x-1})=3x-2$

ĐK: $x\geq 1$

$\Rightarrow VP> 0\Rightarrow 2x-3> 0\Leftrightarrow x> \frac{3}{2}$

Pt$\Leftrightarrow 2(2x-3)\left [ (\sqrt[3]{x-1}-1)+(\sqrt{x-1}-1) \right ]=3x-2-4(2x-3)$

$\Leftrightarrow 2(2x-3)\left [ \frac{x-2}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1} \right ]+5x-10=0$

$\Leftrightarrow 2(2x-3)(x-2)\left [ \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1} \right ]+5(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(\frac{2(2x-3)}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{2(2x-3)}{\sqrt{x-1}+1}+5)=0$

$\Rightarrow x=2$(vì phần trong ngoặc luôn dương)

[leminhnghiatt]

bài 104: $2x-5+3\sqrt{2x+7}=2\sqrt{x+1}$

 

ĐK: $x \geq -1$

 

$\iff (2x-5)^2=(2\sqrt{x+1}-3\sqrt{2x+7})^2$

 

$\iff 2x^2-21x-21=-6\sqrt{2x^2+9x+7}$

 

$\Rightarrow (x^2-6x-3)(4x^2-60x-63)=0$ ( Bình phương 2 lần)

 

Đến đây tìm nghiệm rồi so sánh với điều kiện là ra.

[leminhnghiatt]

Bài 44: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+y^{2}=(x-y)(xy-1) \\ &x^{3}-x^{2}+y+1=xy(x-y-1) \end{matrix}\right.$

 

$2PT(2)-PT(1) \iff (x-1)[y^2-(x+3)y+x^2-x-2]=0$

 

$\iff x=1$   v   $y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0$

 

Với $x=1$ thay vào thì vô nghiệm.

 

Với $y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \ (3)$ ta kết hợp với (1) ta đc hệ mới: 

 

$\iff \begin{cases} &  y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \\  &  x^3+y^2-x^2y+x+xy^2-y=0 \end{cases}$

 

Ta có: $2PT(2)-PT(1) \iff (2x+1)[y^2-(x-1)y+x^2-x+2]=0$

 

TH1: $x=\dfrac{-1}{2} \iff y=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{4}$  v   $y=\dfrac{5-3\sqrt{5}}{4}$

 

TH2: Kết hợp với (3) ta có hệ: 

 

$\iff \begin{cases} &  y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \\  &  y^2-(x-1)y+x^2-x+2=0 \end{cases}$

 

Trừ cho nhau ta có: $y=-1 \iff x^2+2=0$ (vô nghiệm)

 

...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 24-01-2016 - 17:20

[Kira Tatsuya]

$2PT(2)-PT(1) \iff (x-1)[y^2-(x+3)y+x^2-x-2]=0$

 

$\iff x=1$   v   $y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0$

 

Với $x=1$ thay vào thì vô nghiệm.

 

Với $y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \ (3)$ ta kết hợp với (1) ta đc hệ mới: 

 

$\iff \begin{cases} &  y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \\  &  x^3+y^2-x^2y+x+xy^2-y=0 \end{cases}$

 

Ta có: $2PT(2)-PT(1) \iff (2x+1)[y^2-(x-1)y+x^2-x+2]=0$

 

TH1: $x=\dfrac{-1}{2} \iff y=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{4}$  v   $y=\dfrac{5-3\sqrt{5}}{4}$

 

TH2: Kết hợp với (3) ta có hệ: 

 

$\iff \begin{cases} &  y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0 \\  &  y^2-(x-1)y+x^2-x+2 \end{cases}$

 

Trừ cho nhau ta có: $y=-1 \iff x^2+2=0$ (vô nghiệm)

 

...

làm sao để có ý tưởng nhân pt nào cho mấy vậy ??? hay chỉ phân tích đơn thuần 

[NTA1907]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 41: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=0 & \\ &x^{2}+y^{2}+z^{2}=10 & \\ &x^{7}+y^{7}+z^{7}=350 & \end{matrix}\right.$

Xin được trích lại một bài viết của anh nthoangcute

Áp dụng đẳng thức: $350=x^{7}+y^{7}+z^{7}=7xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx)^{2}$

$\Rightarrow xyz(10+xy+yz+zx)^{2}=50$

Từ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=10$ và $x+y+z=0\Rightarrow xy+yz+zx=-5$

$\Rightarrow xyz=2$

Áp dụng Vi-et bậc 3 ta thấy x,y,z là nghiệm của pt:

$X^{3}-5X-2=0$

...

[leminhnghiatt]

làm sao để có ý tưởng nhân pt nào cho mấy vậy ??? hay chỉ phân tích đơn thuần 

đây là một dạng của UCT,với $x,y$ không đông bậc và bậc $x$ cao hơn bậc của $y$.

Thông thường bạn viết mỗi pt của hệ theo $y$ rồi tìm $x$ sao cho 2 pt của hệ này tương đương. Trong bài trên ta đã may mắn tìm đc $x=1$

[IDT]

Bài 76: Giải hệ phương trình:

c, $\left\{\begin{matrix} &x^{2}-2x-2(x^{2}-x)\sqrt{3-2y}=(2y-3)x^{2}-1 \\ &\sqrt{2-\sqrt{3-2y}}=\dfrac{\sqrt[3]{2x^{2}+x^{3}}+x+2}{2x+1} \end{matrix}\right.$

Từ Pt(1) rút được $\frac{x-1}{x}=\sqrt{3-2y}$ thay vào pt(2):

$\sqrt{\frac{x+1}{x}}=\frac{\sqrt[3]{2x^{2}+x^{3}}+x+2}{2x+1}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x+1}{x}}(1+\frac{x+1}{x})=\sqrt[3]{\frac{x+2}{x}}(1+\sqrt[3]{(\frac{x+2}{x})^{2}} )$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x+1}{x}}=\sqrt[3]{\frac{x+2}{x}}$

$\Leftrightarrow x^{2}+x-1=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

Cả hai nghiệm đều ko thỏa đk hpt nên hpt vô nghiệm 

 

P/s: Ko biết làm đúng ko mà thấy vô nghiệm hơi kì kì     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IDT: 24-01-2016 - 18:54

[I Love MC]

Bài 114 : Giải phương trình $2x^2-3x+7-\sqrt[3]{4x+1}=0$ 

[I Love MC]

Bài 115 : (số đẹp :v) Giải phương trình 
$2. \sqrt{-2x^2+5x+7}=x^3-3x^2-x+12$ 

[I Love MC]

Xin được trích lại một bài viết của anh nthoangcute

Áp dụng đẳng thức: $350=x^{7}+y^{7}+z^{7}=7xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx)^{2}$

$\Rightarrow xyz(10+xy+yz+zx)^{2}=50$

Từ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=10$ và $x+y+z=0\Rightarrow xy+yz+zx=-5$

$\Rightarrow xyz=2$

Áp dụng Vi-et bậc 3 ta thấy x,y,z là nghiệm của pt:

$X^{3}-5X-2=0$

...

Như mình đã nói thường gặp dạng này ta sẽ đưa về hệ pt dạng : 
$\begin{cases} & xyz=a \\ x+y+z=b \\ xy+yz+xz=c & \end{cases}$ với $a,b,c$ là tham số rồi sử dụng đ/lí Viet cho pt bậc $3$ 

[gianglqd]

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Ta có:

$pt\Leftrightarrow 2\sqrt{(x+1)+2\sqrt{x^{2}-1}+(x-1)}=9(x-1)\sqrt{x-1}$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})=9(x-1)\sqrt{x-1}$

Đặt $a=\sqrt{x+1},b=\sqrt{x-1}(a,b\geq 0)$

Từ đó ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a^2-b^2=2 & & \\ 2(a+b)=9b^3 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (a^2-b^2)(a+b)=9b^3$

$\Leftrightarrow a^3+a^2b-ab^2-10b^3=0$

$\Leftrightarrow (a-2b)(a^2+3ab+5b^2)=0\Leftrightarrow a=2b$

Đến đây thì dễ rồi 

Như là chỗ màu đỏ có vần đề. Trong đề là + chứ đâu phải là -

[haichau0401]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 112: $\frac{2}{x^{2}+5+2\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{1}{2+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{4}+4x^{2}+3}}+\frac{1}{2+2\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{x^{4}+4x^{2}+3}}=\frac{1}{2}$

Đây là một bài tập có trong đề thi olympic 30/4 trường THPT chuyên Nguyễn Du.

Một cách giải khá hay như sau;

$pt\Leftrightarrow \frac{4}{x^{2}+5+2\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{2}{2+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{4}+4x^{2}+3}}+\frac{2}{2+2\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{x^{4}+4x^{2}+3}}=1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1+\dfrac{1}{2}\sqrt{x^2+1}+\dfrac{1}{4}(x^2+1)}+\frac{1}{1+\dfrac{1}{2}\sqrt{x^2+1}+\dfrac{1}{2}\sqrt{(x^2+1)(x^2+3)}}+\frac{1}{1+\sqrt{x^2+3}+\dfrac{1}{2}\sqrt{(x^2+1)(x^2+3)}}=1 (1)$

Đặt $a=b=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+1},c=\sqrt{x^2+3}$ (a,b,c>0)

Khi đó $(1)$ trở thành:

$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}=1$

$VT=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}$

$=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{a}{a+ab+t}+\frac{ab}{ab+t+at}=f(t)$ (với $t=abc$ )

Ta xét:

+) Nếu $t>1$ thì $f(t)<1$

+) Nếu $0<t<1$ thì $f(t)>1$

+) Nếu $t=1$ thì thỏa mãn

Do đó: $abc=1\Leftrightarrow (x^2+1)\sqrt{x^2+3}=4$

Đến đây thì đơn giản rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 24-01-2016 - 20:07