1255 replies to this topic

[minhminh98]

$x^3-9x^2+3x-3=0$

[leminhnghiatt]

$x^3-9x^2+3x-3=0$

 

$\iff (x-3-2\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2^2} ) (1+2\sqrt[3]{2}-2 \sqrt[3]{2^2}+(-6+2\sqrt[3]{2}+2 \sqrt[3]{2^2}) x+x^2)=0$

 

$\iff x=3+2\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{2^2}$ (và phần trong ngoặc vô nghiệm với $\Delta=-12 (-4+2 \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2^2}) <0$)

 

....

[the unknown]

Bài 457: Giải hệ phương trình:

          $\left\{\begin{matrix} x=y(4-y)\\ y=z(4-z)\\ z=x(4-x)\\ \end{matrix}\right.$

Edited by the unknown, 13-06-2016 - 07:38.

[minhminh98]

$\iff (x-3-2\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2^2} ) (1+2\sqrt[3]{2}-2 \sqrt[3]{2^2}+(-6+2\sqrt[3]{2}+2 \sqrt[3]{2^2}) x+x^2)=0$

 

$\iff x=3+2\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{2^2}$ (và phần trong ngoặc vô nghiệm với $\Delta=-12 (-4+2 \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2^2}) <0$)

 

....

Bạn giải thích giúp mình với.

[tritanngo99]

Bài 456:Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} & y^3=x^3(9-x^3)\\ & x^2y+y^2=6x \end{matrix}\right.$

Edited by tritanngo99, 12-06-2016 - 19:14.

[uchihasatachi061]

 

Bài 12: Giải PT: $2\sqrt{2x-5}=27x^{2}-144x+191$

 

ĐK:$x\geq \frac{5}{2}$

$2\sqrt{2x-5}=27x^{2}-144x+191$$\Leftrightarrow 2(\sqrt{2x-5}-1)=27x^{2}-144x+189$

$\Leftrightarrow (x-3)(27x-63-\frac{4}{\sqrt{2x-5}+1})=0$

giải ra  

[leminhnghiatt]

Bạn giải thích giúp mình với.

 

Mình phân tích đa thức thành nhân tử thôi

[ZOT Murloc]

Bài 434: $\sqrt{7-2x-x^2}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}=5-\left(x+\frac{1}{x}\right)$

 

$PT\Leftrightarrow \left ( x+1 \right )+\sqrt{7-2x-x^2}+\frac{1}{x}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}=6$

 

Theo BĐT C-S ta có

 

$\left ( x+1 \right )+\sqrt{7-2x-x^2}\leq \sqrt{2\left ( x^2+2x+1+7-2x-x^2 \right )}=4$

 

$\frac{1}{x}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}\leq \sqrt{2\left ( \frac{1}{x^2}+2-\frac{1}{x^2} \right )}=2$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=1$

 

Cộng 2 BĐt trên suy ra $VT\leq VP$

 

Vậy ..........

[ZOT Murloc]

Bài 431: $(1+x)\sqrt{1+x}+(1-x)\sqrt{1-x}-1=(\sqrt{x^2+1}-2)^2$

 

$PT\Leftrightarrow x\left ( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-x^2-6+4\sqrt{x^2+1}=0$

 

$\Leftrightarrow x\left ( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )+\sqrt{\left ( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right )^2}-2-x^2-4+4\sqrt{x^2+1}=0$

 

$\Leftrightarrow x\left ( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )+\sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}-2-x^2-4+4\sqrt{x^2+1}=0$

 

$\Leftrightarrow \frac{2x^2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}-\frac{2x^2}{\left ( \sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}+2 \right )\left ( \sqrt{1-x^2}+1 \right )}+\left ( 3-\sqrt{x^2+1} \right )\left ( \sqrt{x^2+1}-1 \right )=0$

 

$\Leftrightarrow \frac{2x^2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}-\frac{2x^2}{\left ( \sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}+2 \right )\left ( \sqrt{1-x^2}+1 \right )}+\left ( 3-\sqrt{x^2+1} \right ).\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}+1}=0$

 

$\Leftrightarrow x^2.\left ( \frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}-\frac{2}{\left ( \sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}+2 \right )\left ( \sqrt{1-x^2}+1 \right )}+\left ( 3-\sqrt{x^2+1} \right ).\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}+1} \right )=0$

 

Ta có với mọi x thuộc ĐKXĐ

 

$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\leq \sqrt{2.\left ( 1-x+1+x \right )}=2$

 

$\left ( \sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}+2 \right )\left ( \sqrt{1-x^2}+1 \right )\geq 2+\sqrt{2}$

 

$3-\sqrt{x^2+1}\geqslant 3-\sqrt{1+1}> 0$

 

Suy ra phần trong ngoặc luôn lớn hơn 0

 

Suy ra

 

$x^2=0\Leftrightarrow x=0$

 

Vậy.....

[Hai2003]

Bài 445: 1) $x^3-6=\sqrt[3]{x+6}$

2)$\sqrt{5-x}-\sqrt{3x+1}=8x^2+16x-24$

3)$\sqrt{2x-1}-\sqrt{5x-2}=(5x-2)^3-(2x-1)^3$

4)$\sqrt[3]{x^2+1}+\sqrt[5]{2x^2+2}=\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[5]{x+3}$

5)$x+\sqrt{2x}=\frac{1}{x}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}$

2) Điều kiện: $-\frac{1}{3}\leq x\leq 5$

Ta có $\sqrt{5-x}-\sqrt{3x+1}=8x^2+16x-24\Leftrightarrow \sqrt{5-x}-2-\sqrt{3x+1}+2=8x^2+16x-24\\ \Leftrightarrow -\frac{x-1}{\sqrt{5-x}+2}-\frac{3(x-1)}{\sqrt{3x+1}+2}-8(x+3)(x-1)=0\Leftrightarrow (x-1)\left [ -\frac{1}{\sqrt{5-x}+2}-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+2}-8(x+3) \right ]=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x=1\\ -\dfrac{1}{\sqrt{5-x}+2}-\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+2}-8(x+3)=0 \end{array} \right.$

Ta chứng minh được với $-\frac{1}{3}\leq x\leq 5$ thì $-\frac{1}{\sqrt{5-x}+2}-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+2}-8(x+3)<0$

Vậy $x=1$

3) Điều kiện: $x\geq \frac{1}{2}$

Đặt $a=\sqrt{2x-1},\ b=\sqrt{5x-2} \ (a,b\geq 0)$, PT trở thành: $a-b=b^6-a^6\Leftrightarrow a-b+a^6-b^6=0\Leftrightarrow a-b+(a^3-b^3)(a^3+b^3)=0\Leftrightarrow a-b+(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=0\\ \Leftrightarrow (a-b)\left [ (a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)+1 \right ]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} a=b\\ (a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)+1=0 \end{array} \right.$

Với $x\geq \frac{1}{2}$ thì $(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)+1>0$ nên $a=b$, hay $\sqrt{2x-1}=\sqrt{5x-2}\Leftrightarrow 2x-1=5x-2\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$ (không thỏa điều kiện)

Vậy PT đã cho vô nghiệm.

[Hai2003]

Bài 447:Các bài tập có cùng dạng:

1)$x^2=4+2\sqrt{2x+4}$

2)$5x^2+1=2\sqrt{\frac{2x}{5}+\frac{1}{5}}$

3)$4x^2+4x+1=2\sqrt{4x+2}$

4)$49x^2-65x+17=3\sqrt{2x+1}$

5)$75x^2-79x+28=2\sqrt{3x-4}$

1) Điều kiện: $x\geq -2$

Ta có $x^2-4=2\sqrt{2x+4}\Rightarrow (x^2-4)^2=(2\sqrt{2x+4})^2\Leftrightarrow x^4-8x^2-8x=0\\ \Leftrightarrow x(x+2)(x^2-2x-4)=0\Leftrightarrow x(x+2)(x-1-\sqrt{5})(x-1+\sqrt{5})=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x=0\\ x=-2\\ x=1+\sqrt{5}\\ x=1-\sqrt{5} \end{array} \right.$

Thử lại ta thấy chỉ $x=-2$ và $x=1+\sqrt{5}$ thỏa PT ban đầu.

Vậy $x=-2$ hay $x=1+\sqrt{5}$

2) Điều kiện: $x\geq -\frac{1}{2}$

Bình phương cả 2 vế ta được $25x^4+10x^2+1=\frac{4(2x+1)}{5}\Leftrightarrow 125x^4+50x^2+5=8x+4\\ \Leftrightarrow 125x^4+50x^2-8x+1=0\Leftrightarrow 125x^4+34x^2+(4x-1)^2=0\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 125x^4=0\\ 34x^2=0\\ (4x-1)^2=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\\ x=0\\ x=\dfrac{1}{4} \end{matrix}\right.$ (vô lý)

Vậy PT đã cho vô nghiệm

[Hai2003]

Bài 447:Các bài tập có cùng dạng:

1)$x^2=4+2\sqrt{2x+4}$

2)$5x^2+1=2\sqrt{\frac{2x}{5}+\frac{1}{5}}$

3)$4x^2+4x+1=2\sqrt{4x+2}$

4)$49x^2-65x+17=3\sqrt{2x+1}$

5)$75x^2-79x+28=2\sqrt{3x-4}$

1) Điều kiện: $x\geq -2$

Ta có $x^2-4=2\sqrt{2x+4}\Rightarrow (x^2-4)^2=(2\sqrt{2x+4})^2\Leftrightarrow x^4-8x^2-8x=0\\ \Leftrightarrow x(x+2)(x^2-2x-4)=0\Leftrightarrow x(x+2)(x-1-\sqrt{5})(x-1+\sqrt{5})=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x=0\\ x=-2\\ x=1+\sqrt{5}\\ x=1-\sqrt{5} \end{array} \right.$

Thử lại ta thấy chỉ $x=-2$ và $x=1+\sqrt{5}$ thỏa PT ban đầu.

Vậy $x=-2$ hay $x=1+\sqrt{5}$

2) Điều kiện: $x\geq -\frac{1}{2}$

Bình phương cả 2 vế ta được $25x^4+10x^2+1=\frac{4(2x+1)}{5}\Leftrightarrow 125x^4+50x^2+5=8x+4\\ \Leftrightarrow 125x^4+50x^2-8x+1=0\Leftrightarrow 125x^4+34x^2+(4x-1)^2=0\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 125x^4=0\\ 34x^2=0\\ (4x-1)^2=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\\ x=0\\ x=\dfrac{1}{4} \end{matrix}\right.$ (vô lý)

Vậy PT đã cho vô nghiệm

[Hai2003]

Bài 447:Các bài tập có cùng dạng:

1)$x^2=4+2\sqrt{2x+4}$

2)$5x^2+1=2\sqrt{\frac{2x}{5}+\frac{1}{5}}$

3)$4x^2+4x+1=2\sqrt{4x+2}$

4)$49x^2-65x+17=3\sqrt{2x+1}$

5)$75x^2-79x+28=2\sqrt{3x-4}$

3) Điều kiện: $x\geq -\frac{1}{2}$

PT được viết lại $(2x+1)^2=2\sqrt{2(2x+1)}$. Đặt $a=2x+1$, PT trở thành: $a^2 = 2\sqrt{2a}\Leftrightarrow (a^2)^2=(2\sqrt{2a})^2\Leftrightarrow a^4-8a=0\Leftrightarrow a(a^3-8)=0\\ \Leftrightarrow a(a-2)(a^2+2a+4)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} a=0\\ a=2\\ a^2+2a+4=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x=-\dfrac{1}{2}\\ x=\dfrac{1}{2}\\ a^2+2a+4=0 \ (*) \end{array} \right.$

PT (*) tương đương với $(a+1)^2=-3$ (vô lý)

Vậy PT có 2 nghiệm $x=\pm \frac{1}{2}$

[NTA1907]

Bài 460: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^{2})}=12 \\ &x^{3}-8x-1=2\sqrt{y-2} \end{matrix}\right.$

 

Spoiler

Một bài toán khá thú vị. Hãy tìm ra ít nhất 3 cách giải cho bài toán này

[Baoriven]

Lời giải bài 460:

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix}12\geq y\geq 2 \\ x^3-8x-1\geq 0 \\12-x^2\geq 0 \end{matrix}\right.$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}x\sqrt{12-y}\leq \frac{x^2+12-y}{2} \\ \sqrt{y(12-x^2)}\leq \frac{y+12-x^2}{2} \end{matrix}\right.$

Suy ra: $VT\leq 12$

Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}x^2+y=12 \\ x\geq 0 \end{matrix}\right.$

Từ phương trình (2) ta có: $x^3-8x-3+2-2\sqrt{10-x^2}=0\Leftrightarrow (x-3)(x^2+3x+1+\frac{2}{1+\sqrt{10-x^2}})=0$

Với điều kiện của x thì ta có: $x=3$ là nghiệm phương trình.

[tritanngo99]

Bài 461: Giải phương trình: $x-1=ln(x)$

[kimchitwinkle]

Bài 460: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^{2})}=12 \\ &x^{3}-8x-1=2\sqrt{y-2} \end{matrix}\right.$

 

Spoiler

Một bài toán khá thú vị. Hãy tìm ra ít nhất 3 cách giải cho bài toán này

 

Hệ $<=>\left\{\begin{matrix} \sqrt{12x^{2}-x^{2}y}+\sqrt{12y-x^{2}y}=12 & & \\ x^{3} -8x-1=2\sqrt{y-2}& & \end{matrix}\right.$

Đặt : $\sqrt{12x^{2}-x^{2}y}=a;\sqrt{12y-x^{2}y}=b(a,b\geq 0)$

Ta có hệ : $\left\{\begin{matrix} a+b=12 & & \\ a^{2} -b^{2}=12(x^{2}-y)& & \end{matrix}\right.$

Suy ra $a^{2}-b^{2}=(a+b)(x^{2}-y)<=>(a+b)(a-b-x^{2}+y)=0$

TH1: $a+b=0<=>\sqrt{12x^{2}-x^{2}y}+\sqrt{12y-x^{2}y}=0<=>\left\{\begin{matrix} \sqrt{12x^{2}-x^{2}y}=0 & & \\ \sqrt{12y-x^{2}y} =0& & \end{matrix}\right.<=>x^{2}=y$

$x^{3}-8x-1=2\sqrt{x^{2}-2}$

TH2: $a-b-x^{2}+y=0<=>\sqrt{12x^{2}-x^{2}y}-x^{2}=\sqrt{12y-x^{2}y}-y<=>\frac{x^{2}(12-y-x^{2})}{\sqrt{12x^{2}-x^{2}y}+x^{2}}=\frac{y(12-y-x^{2})}{\sqrt{12y-x^{2}y}+y}<=>(12-y-x^{2})(\frac{x^{2}}{\sqrt{12x^{2}-x^{2}y}+x^{2}}+\frac{y}{\sqrt{12y-x^{2}y}+y})<=>y=12-x^{2}$

$x^{3}-8x-1=2\sqrt{10-x^{2}}$

[L Lawliet]

Bài 461: Giải phương trình: $x-1=ln(x)$

Lời giải.

Điều kiện xác định $x>0$.

Phương trình tương đương với $x=\ln\left ( x \right )+1$.

Xét vế trái đặt $f\left ( x \right )=x$, ta có $f'\left ( x \right )=1$ đây là hàm hằng.

Đặt vế phải là $g\left ( x \right )=\ln\left ( x \right )+1$ thì $g'\left ( x \right )=\frac{1}{x}>0$ vì theo điều kiện xác định $x>0$.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất, dễ thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình.

[NTA1907]

Bài 462: Giải phương trình:

$\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

[dat9adst20152016]

Bài 456:Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} & y^3=x^3(9-x^3)\\ & x^2y+y^2=6x \end{matrix}\right.$

Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^{2}+y)(x^{4}-x^{2}y+y^{2})=9x^{3} & \\ y(x^{2}+y)=6x& \end{matrix}\right.$

Đến đây chia các trường hợp:

    +Nếu x=0;y=0;x²+y=0

          3 trường hợp này bạn tự giải nhé!

    +Nếu $x\neq 0;y\neq 0;x^{2}+y\neq 0$ thì chia 2 pt trên theo vế ta có:

          $\frac{x^{4}-x^{2}y+y^{2}}{y}= \frac{3x^{2}}{2}\Leftrightarrow 2x^{4}-5x^{2}y+2y^{2}=0\Leftrightarrow (2x^{2}-y)(x^{2}-2y)=0$

       Đến đây thì dễ rồi