Chủ đề này có 1255 trả lời

[NTA1907]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

 

 

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$

Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$ 

c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$ 

Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$

Bài 183: $4^{x+1}+5^{\left | x \right |}=3^{\sqrt{x^{2}+1}}$

Bài 184: $x^{\sqrt{x^{2}+2}}+\sqrt[3]{x^{2}+7}=3x$

Bài 186: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 187: $\left\{\begin{matrix} &8x^{3}-12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$

Bài 188: $\sqrt{x^{3}+5}+2\sqrt[3]{2x+1}+x=0$

Bài 199: $4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

Bài 202: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+2 \\ &x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^{2}+4y-4}{2} \end{matrix}\right.$

Bài 225: $\left\{\begin{matrix} &y^{3}+2x^{3}+3y^{2}+4y+3xy(x+y+2)=2(3x^{2}-16x+14) \\ &5x^{2}+3x+y+3=\sqrt{y^{2}+4x+8}+3x\sqrt{2x^{2}-y+4} \end{matrix}\right.$

Bài 288: $2x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2}+x-2=0$

Bài 290: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}.(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 307: $\left\{\begin{matrix} (9x^{2}+2)x+(y-2)\sqrt{4-3y}=0 & & \\9x^{2}+y^{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2-3x}=\frac{10}{3} & & \end{matrix}\right.$

Bài 314: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy=3y^2-y\sqrt{xy} & \\ & \frac{y^2}{1+\sqrt{2-x}}+\frac{(2-x)^2}{1+y}=1 \end{matrix}\right.$

Bài 321: $\begin{cases} & y^{3}+\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2=y(\sqrt{x-1}-\sqrt{2-x}-1) \\ & 3xy^{2}-2y^{2}-2x+1=0 \end{cases}$

Bài 324: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 336: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 339: $(\sqrt{x-4}+1)^3= \sqrt{x^3+2}$

Bài 349: $(x-2)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+(x-2)(x+1)=6$

Bài 351: $\begin{cases} & x\sqrt{x-2y-1}+y\sqrt{x+2y-1}=2 \\ & x(x-y-2)+1=\sqrt[3]{y^{3}+3xy-3y+1} \end{cases}$

Bài 356: $(2x+4)\sqrt{5-x^{2}}+(x-1)\sqrt{5+x^{2}}\leq 7x+5$

Bài 360: $\begin{cases} & (x-2015)(2015+2016\sqrt[3]{y-2017})=1 \\ & \sqrt[3]{x-2014}(y-4032)=2016 \end{cases}$

Bài 380: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x+y-4}+1)^{2}=2y-7+2\sqrt{4x-xy} \\ &\dfrac{x+1}{y+2}+\dfrac{y+1}{x+2}=1+\dfrac{\sqrt{xy}}{4} \end{matrix}\right.$

Bài 388: $\frac{(x^{3}+3x^{2}\sqrt{x+1})(3-x)}{2+\sqrt{x+1}}=4(x+1)(2\sqrt{x+1}-x-1)$

Bài 395: $\begin{cases} & (x+y)^{2}+12\sqrt{x+y-6}=4x+3y+37 \\ & \sqrt{y^{2}-12}+10\sqrt{y}= x\sqrt{x^{2}y-5y}+10 \end{cases}$

Bài 398: $(2-5x)\sqrt{2x+1}+(5x+1)\sqrt{x+4}-\sqrt{(x+4)(2x+1)}-9x=0$

Bài 402: $\left\{\begin{matrix} x^3-xy^2+3x^2-2y^2-6y=4 & \\ x^2-y-3+\sqrt{2x+2y+3}=\sqrt{x^2+4x-3} \end{matrix}\right.$

Bài 413: $\left\{\begin{matrix} &y^{2}-x^{3}=\sqrt{x-1}-8 \\ &2\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}+12x-5y=20 \end{matrix}\right.$

Bài 418: $x^3+\sqrt{(x+1)^3} + 1 = 2x^2 + 2x + 2x\sqrt{2x+1}$

Bài 428: $\begin{cases} & y-6=\sqrt{y-4}+\sqrt{3-x}+\sqrt{x} \\ & \sqrt{4x+y}+\sqrt{3x^{2}+y-4}=x^{3}+7x-xy+2 \end{cases}$

Bài 439: $3x+2+2\sqrt{2x^2+6x+21-(x+6)\sqrt{2-x}}=2\sqrt{2x+5}$

Bài 440: $\frac{x^2-2+\sqrt{x}(2x-\sqrt{x}-4)}{\sqrt{2x-4\sqrt{x-1}}-1}=\sqrt{4-x^2}$

Bài 462**: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

Bài 485: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}-y}=\dfrac{2y}{x(4x-1)} \\ &\sqrt[3]{2x^{2}+8y}=\dfrac{7-4y}{x(x+1)} \end{matrix}\right.$

Bài 486**: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}+y^{6}}\left ( 2+\dfrac{x^{4}}{x^{3}+5y^{6}} \right )=\dfrac{22x^{2}}{5} \\ &\dfrac{2y^{3}}{x^{4}}-\dfrac{y^{3}}{x^{3}+5y^{6}}=\dfrac{9}{10x^{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 493: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x^6}-y^3+\dfrac{1}{x^2}-3y^2+\dfrac{3}{x}-y=0 \\ x^2+x\sqrt{y}-\dfrac{1}{y}+y^2=2 \end{matrix}\right.$

Bài 495: $\large 2^{\sqrt{x^2+1}}=3^{\sqrt{x}+1}.$

Bài 499: $\left\{\begin{matrix} &x(y-9)+\sqrt{y-1}+1=0 \\ &y(18x^{2}+1)=3x+22+(x+1)^{2} \end{matrix}\right.$

Bài 514: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x-1}-y(1+2\sqrt{2x-1})=-8 \\ &y^{2}+y\sqrt{2y-1-4x}-2x+y=13 \end{matrix}\right.$

Bài 516: $\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2-3y^2+3x+4y-1=0 \\ y^3-3xy-x+12y-7-6y^2=0 \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ. Mọi người đừng quên các bài ** nhé...

[thang1308]

Bài 522. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} xy+x+1=7y & \\ x^2y^2+xy+1=13y^2 & \end{matrix}\right.$

[L Lawliet]

Bài 522. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} xy+x+1=7y & \\ x^2y^2+xy+1=13y^2 & \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Xét $y=0$ không phải nghiệm của hệ nên chia hai vế của phương trình thứ nhất cho $y\neq 0$, chia hai vế của phương trình thứ hai cho $y^{2}\neq 0$ ta được hệ:

$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{y}=7 \\ x^{2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{y^{2}}=13 \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x+\dfrac{1}{y} \right )+\dfrac{x}{y}=7 \\ \left ( x+\dfrac{1}{y} \right )^{2}-\dfrac{x}{y}=13 \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{y}=7-\left ( x+\dfrac{1}{y} \right ) \\ \left ( x+\dfrac{1}{y} \right )^{2}+\left ( x+\dfrac{1}{y} \right )-7=13 \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} \left\{\begin{matrix} x+\dfrac{1}{y}=4 \\ \dfrac{x}{y}=3 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x+\dfrac{1}{y}=-5 \\ \dfrac{x}{y}=12 \end{matrix}\right. \end{array}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} \left\{\begin{matrix} x=3 \\ \dfrac{1}{y}=1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=1 \\ \dfrac{1}{y}=3 \end{matrix}\right. \end{array}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} \left\{\begin{matrix} x=3 \\ y=1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=1 \\ y=\dfrac{1}{3} \end{matrix}\right. \end{array}\right.$$

Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( 3;1 \right ),\left ( 1;\dfrac{1}{3} \right )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-09-2016 - 16:57

[An Infinitesimal]

Bài 522. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} xy+x+1=7y & \\ x^2y^2+xy+1=13y^2 & \end{matrix}\right.$

 

Hồi xưa khi gặp những bài toán này mình cũng chia chia rồi đưa về hệ đối xứng hoặc hệ đẳng cấp (tương tự cách của L Lawliet)!

 

Tiếp tục, dùng NTA1907 đại pháp!

 

Mô hình chung

$$\begin{cases} & u+v= f(u,v),\\ & u^2+v^2=g(u,v,x,y), \end{cases}$$

trong đó $[f(u,v,x,y)]^2=g(u,v, x,y)+2uv$ có các nhân tử.

Hệ được viết lại

 

$\left\{\begin{matrix} xy+1=7y -x& \\ x^2y^2+1=13y^2-xy & \end{matrix}\right.$

Suy ra 

\[(7y-x)^2=(13y^2-xy)+2xy\]

\[\iff (x - 12y)(x - 3y)=0.\]

 

Xin không làm tiếp phần sau!

 

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Các bài toán liên kết trong topic này có liên quan: 

 

 

 

Bài 501: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}(x-y)^2+x+y=y^2 \\ x^4+y^2+3x^2=4x^2y \end{matrix}\right.$

Vài bài liên tiếp cứ theo tư duy

$$\begin{cases} & u+v= f(u,v),\\ & u^2+v^2=g(u,v,x,y), \end{cases}$$

trong đó $[f(u,v,x,y)]^2=g(u,vx,y)+2uv$ có các nhân tử.

Vài đặc điểm của $f, g$: $f$ thường chứa các số hạng bậc nhất của $u, v$, và $g$ chứa các số hạng bậc hai theo hai biến $ u, v$ (có thể không tường minh theo $u, v$).

 

Cách chọn $u (, v)$: nhìn vào 2 phương trình, trong một phương trình này số hạng $u (,v)$ được xuất hiện, trong phương trình còn lại chứa $u^2 (, v^2)$.

 

NTA1907 dùng chiêu này vài lần!

Hệ được viết lại

$$\begin{cases} & x^2+y=2xy-x,\\ & x^4+y^2=4x^2y-3x^2. \end{cases}$$

Do đó

\[4x^2y-3x^2+2xy^2= (2xy-x)^2-2x^2y\]

\[\iff x^2(2y^2 - 5y + 2)=0.\]

Hay $x=0 \vee y= 2 \vee y=\frac{1}{2}.$

(Then chốt  đã được hé mở!)

 

 

 

 

Bài 498: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2+3xy+3y=3x \\ x^4+9y(x^2+y)=5x^2 \end{matrix}\right.$

 

 

Bài 489: $\left\{\begin{matrix} &4x^{2}y^{2}+8xy-3y^{2}=-1 \\ &6xy+4x+y=-3 \end{matrix}\right.$

 

 

Bài 482: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2(y+1)=6y-2 \\ x^4y^2+2x^2y^2+y(x^2+1)=12y^2-1 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 07-09-2016 - 21:07

[An Infinitesimal]

Đến đây đồng nhất hệ số để tìm $u$, $v$ (vẫn đang tiến hành rút gọn).

Vì không rút thế và không uct nữa nên đang có chút "hi vọng" cách này sẽ thành công, không biết ý bác vanchanh thế nào

Thêm một chút cho bài 519: Tạm chấp nhận biết được một nghiệm của hệ, mình "tính tiến nghiệm" và thu được một hệ rất đặc biệt.

[NTA1907]

Bài 523: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 \\ &3x^{2}-xy^{2}+4x=1 \end{matrix}\right.$

Bài 524: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}-2y=xy-4x \\ &\sqrt{12x^{2}+3y+84}=2x+2\sqrt{x+2}+\sqrt{20-y} \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 14-09-2016 - 21:52

[L Lawliet]

Bài 524: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}-2y=xy-4x \\ &\sqrt{12x^{2}+3y+84}=2x+2\sqrt{x+2}+\sqrt{20-y} \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq -2$, $y\leq 20$, $12x^{2}+3y+84\geq 0$.

Ta có:

$$2x^{2}-2y=xy-4x$$

$$\Leftrightarrow \left ( 2x-y \right )\left ( x+2 \right )=0$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} 2x=y \\ x=-2 \end{array}\right.$$

- Với $2x=y$ phương trình thứ hai của hệ trở thành:

$$\sqrt{12x^{2}+6x+84}=2x+2\sqrt{x+2}+\sqrt{20-2x}$$

Điều kiện xác định: $-2\leq x\leq 10$.

$$\sqrt{12x^{2}+6x+84}=2x+2\sqrt{x+2}+\sqrt{20-2x}$$

$$\Leftrightarrow \left [ \sqrt{12x^{2}+6x+84}-\left ( \dfrac{9}{4}x+\dfrac{15}{2} \right ) \right ]+2\left [ \left ( \dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{2} \right )-\sqrt{x+2} \right ]+\left [ \left ( \dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{4}x \right )-\sqrt{20-2x} \right ]=0$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{111}{16}\left ( x-2 \right )^{2}}{\sqrt{12x^{2}+6x+84}+\dfrac{9}{4}x+\dfrac{15}{2}}+\dfrac{\dfrac{1}{16}\left ( x-2 \right )^{2}}{\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{2}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{\dfrac{1}{16}\left ( x-2 \right )^{2}}{\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{4}x+\sqrt{20-2x}}=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )^{2}\left ( \dfrac{\dfrac{111}{16}}{\sqrt{12x^{2}+6x+84}+\dfrac{9}{4}x+\dfrac{15}{2}}+\dfrac{\dfrac{1}{16}}{\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{2}+\sqrt{x+2}}+\dfrac{\dfrac{1}{16}}{\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{4}x+\sqrt{20-2x}} \right )=0$$

Vì $-2\leq x\leq 10$ nên $\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}x>0$ nên ta được $x=2$ (thỏa mãn điều kiện) suy ra $y=4$.

- Với $x=-2$ phương trình thứ hai của hệ trở thành:

$$\sqrt{3y+132}=\sqrt{20-y}-4$$

Điều kiện xác định: $-44\leq y\leq 20$. Bình phương hai vế và rút gọn ta thu được phương trình hệ quả:

$$y+24=-2\sqrt{20-y}$$

Tiếp tục bình phương hai vế một lần nữa ta được:

$$y^{2}+52y+496=0$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} y=-26+6\sqrt{5} \\ y=-26-6\sqrt{5} \end{array}\right.$$

Thử lại ta được $y=-26-6\sqrt{5}$ thỏa mãn phương trình.

Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( 2;4 \right ),\left ( -2;-26-6\sqrt{5} \right )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 10-09-2016 - 18:10

[NTA1907]

Lời giải.

- Với $2x=y$ phương trình thứ hai của hệ trở thành:

$$\sqrt{12x^{2}+6x+84}=2x+2\sqrt{x+2}+\sqrt{20-2x}$$

Phương trình này có 1 nghiệm $x=2$ mà chị.   

[Namvip]

Giải HPT 

Bài 525 : $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}y+2(x-2)^{2}=(xy+y+3x-3)y+10\\ y=x^{2}-x+\sqrt{2x-x^{2}}+2 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namvip: 10-09-2016 - 13:36

[NTA1907]

Giải HPT 

$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}y+2(x-2)^{2}=(xy+y+3x-3)y+10\\ y=x^{2}-x+\sqrt{2x-x^{2}}+2 \end{matrix}\right.$

Đánh STT bài 525 vào đi bạn. Lần sau bạn chú ý hơn khi post bài.

[L Lawliet]

Bài 523: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-1}=1 \\ &3x^{2}-xy^{2}+4x=1 \end{matrix}\right.$

Hướng giải chưa xét kĩ điều kiện và hoàn chỉnh:

Đặt điều kiện xác định.

Bình phương hai vế của phương trình thứ nhất ta được:

$$\left ( x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-1} \right )^{2}=1$$

$$\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}-1+2xy\sqrt{x^{2}+y^{2}-1-x^{2}y^{2}}=0$$

$$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-1-x^{2}y^{2}+2xy\sqrt{x^{2}+y^{2}-1-x^{2}y^{2}}+x^{2}y^{2}-2y^{2}=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^{2}+y^{2}-1-x^{2}y^{2}}+xy \right )^{2}=2y^{2}$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} \sqrt{x^{2}+y^{2}-1-x^{2}y^{2}}+xy=\sqrt{2}y \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}-1-x^{2}y^{2}}+xy=-\sqrt{2}y \end{array}\right.$$

Với mỗi trường hợp lại xét điều kiện và bình phương ta đưa về hệ mới (nghi vấn có thể dùng uct).

 

Phương trình này có 1 nghiệm $x=2$ mà chị.   

Cảm ơn NTA1907 nhiều, không hiểu sao hôm qua nhập thế nào mà ra phương trình bị vô nghiệm.

Đã chỉnh sửa lời giải cho bài 524.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 12-09-2016 - 17:45

[leminhnghiatt]

$$\left ( x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-1} \right )^{2}=1$$

$$\Leftrightarrow x^{2}+2xy\sqrt{\left ( x^{2}-1 \right )\left ( 1-y^{2} \right )}+y^{2}=1$$

 

 

Dòng bình phương này nhầm r cj nó là $x^2-y^2+2xy\sqrt{(x^2-1)(1-y^2)}=1$ !!?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 10-09-2016 - 16:33

[tritanngo99]

Bài 526: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+yz+2zx=4\\y^2+zx+2xy=4\\z^2+xy+2yz=4  \end{matrix}\right.$

[NTA1907]

- Với $2x=y$ phương trình thứ hai của hệ trở thành:

$$\sqrt{12x^{2}+6x+84}=2x+2\sqrt{x+2}+\sqrt{20-2x}$$

Cách đánh giá khác cho phương trình này

 

Điều kiện: $-2\leq x\leq 10$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$VP=2x+\sqrt{4(x+2)}+\frac{1}{4}\sqrt{16(20-2x)}\leq 2x+\frac{1}{2}(6+x)+\frac{1}{8}(36-2x) \Rightarrow \sqrt{12x^{2}+6x+84}\leq 2x+\frac{1}{2}(6+x)+\frac{1}{8}(36-2x)$

$\Leftrightarrow 12x^{2}+6x+84\leq \left ( \frac{9x}{4}+\frac{15}{2} \right )^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{111}{16}(x-2)^{2}\leq 0\Leftrightarrow x=2$(thoả mãn)

 

 

 

Bài 523: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 \\ &3x^{2}-xy^{2}+4x=1 \end{matrix}\right.$

Cách tiếp cận khác so với cách của L Lawliet

 

Điều kiện: $-1\leq x\leq 1, -1\leq y\leq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$VT_{(1)}\leq \sqrt{(x^{2}+1-x^{2})(y^{2}+1-y^{2})}=1$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\sqrt{1-y^{2}}}{y}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$

Thay $y^{2}=1-x^{2}$ vào phương trình 2 ta được:

$x^{3}+3x^{2}+3x-1=0 \Leftrightarrow (x+1)^{3}=2 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2}-1$

$\Rightarrow y=\sqrt{1-\left ( \sqrt[3]{2}-1 \right )^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 14-09-2016 - 21:51

[L Lawliet]

Điều kiện: $-1\leq x\leq 1, -1\leq y\leq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$VT_{(1)}\leq \sqrt{(x^{2}+1-x^{2})(y^{2}+1-y^{2})}=1$

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nếu mình không nhớ không nhầm thì là vầy:

$$\left ( ax+by \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )$$

Nếu vậy thì sao có đoạn này được nhỉ? Mình không rành bất đẳng thức cho lắm nên có gì sai sót mong bỏ qua...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 14-09-2016 - 19:11

[NTA1907]

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nếu mình không nhớ không nhầm thì là vầy:

$$\left ( ax+by \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )$$

Nếu vậy thì sao có đoạn này được nhỉ? Mình không rành bất đẳng thức cho lắm nên có gì sai sót mong bỏ qua...

Đây là lỗi của e khi ghi sai đề. Nhưng nếu bài toán như lúc đầu thì ý tưởng của Lawliet hẳn đã tối ưu nhất chưa

Bài 527: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-1}=1 \\ &3x^{2}-xy^{2}+4x=1 \end{matrix}\right.$

[L Lawliet]

Bài 523: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 \\ &3x^{2}-xy^{2}+4x=1 \end{matrix}\right.$

Tất nhiên là một bài toán được xây dựng từ việc đánh giá bất đẳng thức thì những cách khác khó mà tối ưu hơn rồi.

Lời giải.

Điều kiện xác định: $-1\leq x\leq 1$, $-1\leq y\leq 1$.

Ta có:

$$x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1$$

$$\Rightarrow \left ( x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}} \right )^{2}=1$$

$$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2x^{2}y^{2}+2xy\sqrt{\left ( 1-x^{2} \right )\left ( 1-y^{2} \right )}=1$$

$$\Leftrightarrow 1-x^{2}-y^{2}+x^{2}y^{2}-2xy\sqrt{1-x^{2}-y^{2}+x^{2}y^{2}}+x^{2}y^{2}=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{1-x^{2}-y^{2}+x^{2}y^{2}}-xy \right )^{2}=0$$

$$\Leftrightarrow \sqrt{1-x^{2}-y^{2}+x^{2}y^{2}}=xy$$

$$\Rightarrow 1-x^{2}-y^{2}+x^{2}y^{2}=x^{2}y^{2}$$

$$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$$

$$\Rightarrow y^{2}=1-x^{2}$$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

$$3x^{2}-x\left ( 1-x^{2} \right )+4x=1$$

$$\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}+3x=1$$

$$\Leftrightarrow \left ( x+1 \right )^{3}=2$$

$$\Leftrightarrow x+1=\sqrt[3]{2}$$

$$\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2}-1$$

$$\Rightarrow y=\pm \sqrt{1-\left ( \sqrt[3]{2}-1 \right )^{2}}$$

Thử lại ta được $y=\sqrt{1-\left ( \sqrt[3]{2}-1 \right )^{2}}$. Vậy hệ có nghiệm $\left ( x;y \right )=\left ( \sqrt[3]{2}-1;\sqrt{1-\left ( \sqrt[3]{2}-1 \right )^{2}} \right )$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-09-2016 - 11:46

[thang1308]

Bài 526: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+yz+2zx=4\\y^2+zx+2xy=4\\z^2+xy+2yz=4  \end{matrix}\right.$

Lấy PT$(1)$-PT$(2)$ ta được $(x-y)(x+y-z)=2x(y-z) (3) $ 

Tương tự: 

               $(y-z)(y+z-x)=2y(z-x) (4) $

               $(z-x)(z+x-y)=2z(x-y)  (5) $

Nhân $(3),(4),(5) $ theo vế ta được $\begin{bmatrix} x-y=0\Rightarrow x=y=z & \\ y-z=0 & \\ z-x=0 & \\ (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)=8xyz & \end{bmatrix} (6)$

Còn cái pt $(6)$ có ai giải được không? (

[Baoriven]

Bài 528: Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}y^6+y^3+\frac{x^2}{2}=\sqrt{\frac{xy}{2}-\frac{x^2y^2}{4}} \\2xy^3+y^3+\frac{1}{2}=\frac{x^2}{2}+\sqrt{x^2-2xy+1+y^2} \end{matrix}\right.$

 

P/S: Sao bài 523 và bài 527 giống nhau vậy.

@Baoriven: Một bài là đề sai, một bài là đề sai sau khi sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-09-2016 - 22:41

[L Lawliet]

Bài 528: Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}y^6+y^3+\frac{x^2}{2}=\sqrt{\frac{xy}{2}-\frac{x^2y^2}{4}} \\2xy^3+y^3+\frac{1}{2}=\frac{x^2}{2}+\sqrt{x^2-2xy+1+y^2} \end{matrix}\right.$

 

P/S: Sao bài 523 và bài 527 giống nhau vậy.

@Baoriven: Một bài là đề sai, một bài là đề sai sau khi sửa

Sửa bài của Baoriven để trả lời câu hỏi chứ post trả lời thôi thì loãng topic và spam hi vọng không thấy phiền.

Xin trình bày hướng giải rồi sẽ sửa bài viết trình bày đầy đủ sau.

Lời giải.

Điều kiện xác định: $\dfrac{xy}{2}-\dfrac{x^{2}y^{2}}{4}\geq 0$.

Ta có:

$$y^{6}+y^{3}+\dfrac{x^{2}}{2}=\sqrt{\dfrac{xy}{2}\left ( 1-\dfrac{xy}{2} \right )}\leq \dfrac{\frac{xy}{2}+1-\frac{xy}{2}}{2}=\dfrac{1}{2}$$

$$2xy^{3}+y^{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{x^{2}}{2}+\sqrt{1+\left ( x-y \right )^{2}}\geq \dfrac{x^{2}}{2}+1$$

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều ta được:

$$2xy^{3}+y^{3}+1\geq y^{6}+y^{3}+x^{2}+1$$

$$\Leftrightarrow \left ( x-y^{3} \right )^{2}\leq 0$$

$$\Leftrightarrow x-y^{3}=0$$

$$\Leftrightarrow x=y^{3}$$

----

Bài toán tương tự nhưng hơi khó hơn:

Bài 529: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} \\ 8xy^{3}+2y^{3}+\dfrac{1}{2}=4x^{4}+3x^{2}+x+2\sqrt{1+\left ( 2x-y \right )^{2}} \end{matrix}\right.$$

----

Từ hai bài toán trên có thể thấy được một hướng chế đề từ các tổng bình phương khá hay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 16-09-2016 - 14:09