Bài 71: Giải các phương trình:
a, $\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt[3]{1+x^{3}}+\sqrt[3]{1-x^{3}}+\sqrt[4]{1+x^{4}}+\sqrt[4]{1-x^{4}}=6$
$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2} \leq \sqrt{(1+1)(1+x^2+1-x^2)}=2 \ (1)$
Dễ dàng cm ddc bđt: $4(a^3+b^3) \geq (a+b)^3$ (có thể dùng biến đổi tương đương)
Áp dụng ta có: $\sqrt[3]{1-x^3}+\sqrt[3]{1+x^3} \leq \sqrt[3]{4.(1-x^3+1+x^3)}=2 \ (2)$
Ta lại có bđt: $8(a^4+b^4) \geq (a+b)^4$
CM: $VT \iff a^4+b^4+3(a^4+b^4)+4(a^4+b^4) \geq a^4+b^4+6a^2b^2+4ab(a^2+b^2)=(a+b)^4$
Áp dụng: $\sqrt[4]{1-x^4}+\sqrt[4]{1+x^4} \leq \sqrt[4]{8(1-x^4+1+x^4)}=2 \ (3)$
Lấy $(1)+(2)+(3)$ $\iff \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}+\sqrt[3]{1-x^3}+\sqrt[3]{1+x^3}+\sqrt[4]{1-x^4}+\sqrt[4]{1+x^4} \leq 6$
Dấu $'='$ xảy ra khi: $x=0$
Edited by leminhnghiatt, 19-01-2016 - 15:18.