Chủ đề này có 1255 trả lời

[NTA1907]

Có vẻ 2 bài tập trên khá khó "ăn". Ta sẽ tiếp tục với một bài dễ hơn.

Bài 488: $\left\{\begin{matrix} &x^{4}-2x^{3}-11y^{2}+12y+41=0 \\ &y^{4}-2y^{3}-11x^{2}+12x+31=0 \end{matrix}\right.$

[An Infinitesimal]

Có vẻ 2 bài tập trên khá khó "ăn". Ta sẽ tiếp tục với một bài dễ hơn.

Bài 488: $\left\{\begin{matrix} &x^{4}-2x^{3}-11y^{2}+12y+41=0 \\ &y^{4}-2y^{3}-11x^{2}+12x+31=0 \end{matrix}\right.$

 

Dấu hiệu "nhận dạng": Hệ có nghiệm $(x,y)=(3;-2).$

Chuyển đổi với hi vọng mọi thứ trở nên đơn giản nhưng đơn giản thiệt:

Đặt $u=x-3, v=y+2$, ta có hệ

$$\begin{cases} & u^4 + 10u^3 + 36u^2 + 54u + 56v - 11v^2=0,\\ & v^4 - 10v^3 + 36v^2 - 56v - 11u^2 - 54u =0\end{cases}$$

 

Dễ thấy sự "tương đồng" của hệ số ở 2 phương trình nên ta cộng vế theo về 2 phương trình và thu được

\[ (u^2+5u)^2+(v^2-5v)^2=0.\]

Từ đó tính toán vài trường hợp, ta thấy $(0,5) (-5,0), (-5,5)$ không là nghiệm của hệ "mới", ta dẫn đến hệ chỉ có nghiệm $(u,v)=0.$

Vậy hệ ban đầu chỉ có nghiệm $(x,y)=(3;-2).$

 

------------------------------------------

Cách đơn giản hơn: tại sao làm thao tác cộng hai phương trình có hệ số tương đồng của hệ "mới"? Hệ ban đầu cũng có sự tương đồng đó!

 

Cộng vế theo vế hai phương trình, ta có

\[(x + 2)^2(x - 3)^2+(y + 2)^2(y - 3)^2 =0.\]

Suy ra $(x+2)(x-2)=0=(y+2)(y-3).$

(Hạ đao ở đây!)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 25-08-2016 - 13:48

[Zz Isaac Newton Zz]

Bài 335: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{y}+1)^{2}+y^{2}x=y^{2}+2\sqrt{x-2} \\ &x+\frac{x-1}{y}+\frac{y}{x}=y^{2}+y \end{matrix}\right.$

 

Em nghĩ Bài 335 bị sai, bài làm của em như sau:

$ĐKXĐ:$ $y> 0; x\geq 2.$

Nhân hai vế của $PT(2)$ với $xy$ ta được:

$x^{2}y+x(x-1)+y^{2}=xy(y^{2}+y) \Leftrightarrow x^{2}y+x^{2}-x+y^{2}=xy^{2}(y+1) \Leftrightarrow x^{2}(y+1)-x+y^{2}=xy^{2}(y+1) \Rightarrow$ $x^{2}(y+1)-x-xy^{2}(y+1)+y^{2}=0 \Leftrightarrow$ $x\left [ x(y+1)-1 \right ]-y^{2}\left [ x(y+1)-1 \right ]=0$ $\Leftrightarrow (x-y^{2})\left [ x(y+1)-1 \right ]=0 \Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x=y^{2} & & \\ x(y+1)=1 & & \end{matrix}\right.$

Với $x=y^{2}$ thế vào $PT(1)$ ta được $(\sqrt{y}+1)^{2}+y^{4}=y^{2}+2\sqrt{y^{2}-2}$ đến đây thì em chịu 

Với $x(y+1)=1$ thì phương trình vô nghiệm vì $ĐKXĐ$ của bài toán.

Nhưng nếu sửa đề của bài toán thành: $\left\{\begin{matrix} (\sqrt{y}+1)^{2}+\frac{y^{2}}{x}=y^{2}+2\sqrt{x-2} & & \\ x+\frac{x-1}{y}+\frac{y}{x}=y^{2}+y & & \end{matrix}\right.$

Ta làm tương tự như trên thì được:

Với $x=y^{2}$ thế vào $PT(1)$ ta được $(\sqrt{y}+1)^{2}+1=y^{2}+2\sqrt{y^{2}-2} \Leftrightarrow (\sqrt{y}+1)^{2}=y^{2}-2+2\sqrt{y^{2}-2}+1 \Leftrightarrow (\sqrt{y}+1)^{2}=(\sqrt{y^{2}-2}+1)^{2} \Leftrightarrow$ $\sqrt{y}=\sqrt{y^{2}-2} \Leftrightarrow$ $y=y^{2}-2 \Rightarrow y^{2}-y-2=0 \Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} y=2 & & \\ y=-1(loại) & & \end{matrix}\right.$

Thế $y=2$ ta được $x=4.$

Với $x(y+1)=1$ thì phương trình vô nghiệm vì $ĐKXĐ$ của bài toán.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $(x, y)=(4, 2).$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 25-08-2016 - 17:16

[NTA1907]

Bài 489: $\left\{\begin{matrix} &4x^{2}y^{2}+8xy-3y^{2}=-1 \\ &6xy+4x+y=-3 \end{matrix}\right.$

[An Infinitesimal]

Em nghĩ Bài 335 bị sai, bài làm của em như sau:

$ĐKXĐ:$ $y> 0; x\geq 2.$

Nhân hai vế của $PT(2)$ với $xy$ ta được:

$x^{2}y+x(x-1)+y^{2}=xy(y^{2}+y) \Leftrightarrow x^{2}y+x^{2}-x+y^{2}=xy^{2}(y+1) \Leftrightarrow x^{2}(y+1)-x+y^{2}=xy^{2}(y+1) \Rightarrow$ $x^{2}(y+1)-x-xy^{2}(y+1)+y^{2}=0 \Leftrightarrow$ $x\left [ x(y+1)-1 \right ]-y^{2}\left [ x(y+1)-1 \right ]=0$ $\Leftrightarrow (x-y^{2})\left [ x(y+1)-1 \right ]=0 \Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x=y^{2} & & \\ x(y+1)=1 & & \end{matrix}\right.$

Với $x=y^{2}$ thế vào $PT(1)$ ta được $(\sqrt{y}+1)^{2}+y^{4}=y^{2}+2\sqrt{y^{2}-2}$ đến đây thì em chịu 

...

Ta có

\[VT \ge 1+y^4\ge 2y^2, \]

\[VP \le y^2+(y^2-1)<2y^2.\]

nên PT vô nghiệm trong trường hợp này (?!)

[An Infinitesimal]

Bài 489: $\left\{\begin{matrix} &4x^{2}y^{2}+8xy-3y^{2}=-1 \\ &6xy+4x+y=-3 \end{matrix}\right.$

Cách thô thiển:$y= \frac{-4x-3}{6x+1}.$ Thay vào phương trình thứ nhất, ta có phân tích sau

\[\left(4 x^{2} + 2 x + 1\right) \left(8 x^{2} - 16 x - 13\right)=0.\]

Do đó 

\[x= \frac{4\pm \sqrt{42}}{4}, y= \frac{-4x-3}{6x+1}.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 26-08-2016 - 15:42

[Baoriven]

Bài 490: Giải phương trình:

$\left(x-\dfrac{1}{3} \right)\sqrt{x^2+3x+\dfrac{1}{9}} =\dfrac{2\sqrt 3}{3}x$

[An Infinitesimal]

Bài 490: Giải phương trình:

$\left(x-\dfrac{1}{3} \right)\sqrt{x^2+3x+\dfrac{1}{9}} =\dfrac{2\sqrt 3}{3}x$

Bộ dạng tương tự $(x-1/3)$ và $x^2+1/9$ dẫn đến việc chia "$x$". Bảo toàn "mối quan hệ" và khử 2 con $x$ không có quan hệ.

 

Trường hợp $x=0$: Nó không là nghiệm của PT.

Trường hợp $x<0$:

$$PT\iff  \left(\sqrt{-x}+\dfrac{1}{3\sqrt{-x}} \right)\sqrt{-x-3+\dfrac{1}{9(-x)}} =\dfrac{2\sqrt 3}{3}.$$

Đặt $t=\sqrt{-x}+\dfrac{1}{3\sqrt{-x}} , (t\ge \frac{2}{\sqrt{3}}).$

Ta có PT: \[t\sqrt{t^2-\frac{11}{3}}= \dfrac{2\sqrt 3}{3}.\]

Dễ dạng tìm được nghiệm duy nhất là $t=2.$

Dẫn đến $x_{1,2}= -\left(1\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2.$

 

Trường hợp $x>0$: Suy ra $x>\frac{1}{3}.$

 

$$PT\iff  \left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{3\sqrt{x}} \right)\sqrt{x+3+\dfrac{1}{9x}} =\dfrac{2\sqrt 3}{3}.$$

Đặt $t=\sqrt{x}-\dfrac{1}{3\sqrt{x}}>0 .$

Ta có PT: \[t\sqrt{t^2+\frac{11}{3}}= \dfrac{2\sqrt 3}{3}.\]

Dễ dạng tìm được nghiệm duy nhất là $t=\frac{1}{\sqrt{3}}.$

Dẫn đến $x_{3}= \left(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2}\right)^2.$

 

Phương trình có ba nghiệm như trên!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 26-08-2016 - 22:13

[dat9adst20152016]

Bài 490: Giải phương trình:

$\left(x-\dfrac{1}{3} \right)\sqrt{x^2+3x+\dfrac{1}{9}} =\dfrac{2\sqrt 3}{3}x$

$\Leftrightarrow (x-\frac{1}{3})\sqrt{(x-\frac{1}{3})^{2}+\frac{11}{3}x}= \frac{2\sqrt{3}}{3}x$

 Đặt $x-\frac{1}{3}=a;\frac{x}{3}=b$ thì pt trở thành:$a\sqrt{a^{2}+11b}=2\sqrt{3}b$

 Bình phương 2 vế ta được:(a²-b)(a²+12b)=0

[Baoriven]

Lời giải khác cho bài 490:

Điều kiện: $x^2+3x+\dfrac{1}{9}\geq 0$.

Bình phương 2 vế ta được:

$ (9x^2-6x+1)\dfrac{9x^2+27x+1}{9}=12x^2$

$\Leftrightarrow (9x^2-6x+1)^2+33x(9x^2-6x+1)-108x^2=0$.

$\Leftrightarrow (9x^2-6x+1-3x)(9x^2-6x+1+36x)=0\Leftrightarrow (9x^2-9x+1)(9x^2+30x+1)=0$.

[Baoriven]

Bài 491: Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} 9xy^3-24y^2+\left(27x^2+40 \right)y+3x-16=0 \\ y^2 +\left(9x-10 \right)y+3\left(x+3 \right)=0 \end{cases}.$

 

P/S: Đây là một bài không quá khó nhưng cách giải khá đa dạng. Mong mọi người đóng góp nhiều hướng đi khác nhau. 

[L Lawliet]

Bài 491: Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} 9xy^3-24y^2+\left(27x^2+40 \right)y+3x-16=0 \\ y^2 +\left(9x-10 \right)y+3\left(x+3 \right)=0 \end{cases}.$

 

P/S: Đây là một bài không quá khó nhưng cách giải khá đa dạng. Mong mọi người đóng góp nhiều hướng đi khác nhau. 

Lời giải.

$$\begin{cases} 9xy^{3}-24y^{2}+\left( 27x^{2}+40 \right)y+3x-16=0 \\ y^{2}+\left( 9x-10 \right)y+3\left( x+3 \right)=0 \end{cases}.$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} \left ( 3x+y^{2} \right )\left ( 9xy+1 \right )=\left ( 5xy-4 \right )^{2} \\ \left ( 3x+y^{2} \right )+\left ( 9xy+1 \right )=2\left ( 5y-4 \right ) \end{cases}.$$

Nhận xét rằng $y=\dfrac{4}{5}$ không phải nghiệm của hệ do đó hệ tương đương:

$$\begin{cases} \dfrac{9xy+1}{5y-4}.\dfrac{3x+y^{2}}{5y-4}=1 \\ \dfrac{9xy+1}{5y-4}+\dfrac{3x+y^{2}}{5y-4}=2 \end{cases}.$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{9xy+1}{5y-4}=1 \\ \dfrac{3x+y^{2}}{5y-4}=1 \end{cases}.$$

Đến đây hi vọng rằng hệ đã dễ dàng giải hơn

 

Lời giải.

$$\begin{cases} 9xy^{3}-24y^{2}+\left( 27x^{2}+40 \right)y+3x-16=0 \\ y^{2}+\left( 9x-10 \right)y+3\left( x+3 \right)=0 \end{cases}.$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} \left ( 9xy+9 \right )+\left ( 3x+y^{2} \right )=10y \\ 9xy\left ( 3x+y^{2} \right )+\left ( 3x+y^{2} \right )=25y^{2}-40y+16 \end{cases}.$$

Đặt $a=9xy+9$, $b=3x+y^{2}$. Khi đó hệ trở thành:

$$\begin{cases} a+b=10y \\ \left ( a-9 \right )b+b=25y^{2}-40y+16 \end{cases}.$$

Thay $a=10y-b$ vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình:

$$\left ( 10y-b-9 \right )b+b-25y^{2}+40y-16=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( b-5y+4 \right )^{2}=0$$

$$\Leftrightarrow b=5y-4$$

Khi đó ta có:

$$y^{2}+\left ( 9x-10 \right )y+3\left ( x+3 \right )=0$$

$$\Leftrightarrow y^{2}-10y+9+3x\left ( 3y+1 \right )=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( y-1 \right )\left ( y-9 \right )-\left ( y^{2}-5y+4 \right )\left ( 3y+1 \right )=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( y-1 \right )\left [ y-9-\left ( y-4 \right )\left ( 3y+1 \right ) \right ]=0$$

 

Cách cổ điển: Từ phương trình thứ hai của hệ rút được $x$ theo $y$ rồi thay vào phương trình thứ nhất giải. Thu được phương trình bậc $6$ nhưng hi vọng nhẩm được nghiệm để đưa về bậc thấp hơn (chưa thử).

Ngủ trưa dậy suy nghĩ tiếp

[NTA1907]

Bài 489: $\left\{\begin{matrix} &4x^{2}y^{2}+8xy-3y^{2}=-1 \\ &6xy+4x+y=-3 \end{matrix}\right.$

Các cách giải khác cho bài toán thú vị này...

 

Cách 1: Ta thấy $y=0$ không là một nghiệm của hệ.

Với $y\neq 0$, chia phương trình 1 cho $y^{2}$ và phương trình 2 cho $y$ rồi trừ vế với vế ta được:

$\left ( 2x+\frac{1}{y}-\frac{3}{2} \right )^{2}=\frac{25}{4}$

 

Đây là một cách làm khá "ảo diệu". Sau đây sẽ là cách làm của mình cho bài toán này.

 

Cách 2: Viết lại hệ như sau: $\left\{\begin{matrix} &4x^{2}y^{2}+1=3y^{2}-8xy \\ &3(2xy+1)=-y-4x \end{matrix}\right.$

Bình phương phương trình 2 ta được:

$9(4x^{2}y^{2}+1)+36xy=y^{2}+8xy+16x^{2}$(*)

Thế phương trình 1 vào phương trình (*) ta được:

$9(3y^{2}-8xy)+36xy=y^{2}+8xy+16y^{2}$

Đây là phương trình đẳng cấp bậc 2. Việc giải nó xin nhường cho các bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 27-08-2016 - 12:56

[NTA1907]

Bài 492: $20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{x^{2}-1}\leq 0$

[L Lawliet]

Bài 491: Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} 9xy^3-24y^2+\left(27x^2+40 \right)y+3x-16=0 \\ y^2 +\left(9x-10 \right)y+3\left(x+3 \right)=0 \end{cases}.$

 

P/S: Đây là một bài không quá khó nhưng cách giải khá đa dạng. Mong mọi người đóng góp nhiều hướng đi khác nhau. 

Cách khác tương tự với cách thứ hai một chút:

Lời giải.

Trừ vế theo vế phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai ta được:

$$9xy\left ( y^{2}+3x-1 \right )=25\left ( y-1 \right )^{2}$$

Do đó ta có hệ tương đương sau:

$$\begin{cases} 9xy\left ( y^{2}+3x-1 \right )=25\left ( y-1 \right )^{2} \\ 9xy+\left ( y^{2}+3x-1 \right )=10\left ( y-1 \right ) \end{cases}.$$

Đặt $9xy=a$, $y^{2}+3x-1=b$ thì hệ trở thành:

$$\begin{cases} ab=25\left ( y-1 \right )^{2} \\ a+b=10\left ( y-1 \right ) \end{cases}.$$

Do đó $a$ và $b$ là nghiệm của phương trình ẩn $t$:

$$t^{2}-10\left ( y-1 \right )t+25\left ( y-1 \right )^{2}=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( t-5y+5 \right )^{2}=0

$$\Leftrightarrow t=5y-5$$

$$\Leftrightarrow 9xy=y^{2}+3x-1=5y-5$$

Xét $y=0$ không phải nghiệm của hệ do đó với $y\neq 0$ ta được:

$$x=\dfrac{5y-5}{9y}$$

Thay vào phương trình $y^{2}+3x-1=5y-5$ ta được:

$$y^{2}+\dfrac{5y-5}{3y}-1=5y-5$$

$$\Leftrightarrow \left ( y-1 \right )\left ( 3y^{2}-12y+5 \right )=0$$

Đến đây là xem như giải quyết xong bài toán.

 

Sau khi thử phương pháp "trâu bò" rút thế thu được phương trình bậc $6$ như sau:

$$\left ( y-1 \right )\left ( 9y^{5}-78y^{4}+333y^{3}+147y^{2}+y-52 \right )=0$$

Dễ thấy là đến đây không phân tích nổi nữa nếu không biết trước nghiệm hoặc nhân tử nhưng ở đây nghiệm khá xấu nên xem như cách này thất bại (không biết nhầm ở đâu không mà phương trình trên bị thiếu nghiệm...).

[An Infinitesimal]

 

 

 

 

 

 

Sau khi thử phương pháp "trâu bò" rút thế thu được phương trình bậc $6$ như sau:

$$\left ( y-1 \right )\left ( 9y^{5}-78y^{4}+333y^{3}+147y^{2}+y-52 \right )=0$$

Dễ thấy là đến đây không phân tích nổi nữa nếu không biết trước nghiệm hoặc nhân tử nhưng ở đây nghiệm khá xấu nên xem như cách này thất bại (không biết nhầm ở đâu không mà phương trình trên bị thiếu nghiệm...).

 

Nghi ngờ cái "đúng", bỏ sót cái sai!

Rút thế thu được PT sau

\[(y - 1)^2(3y^2 - 12y + 5)^2=0.\]

[leminhnghiatt]

Bài 492: $20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{x^{2}-1}\leq 0$

ĐK: $x \geq 1$

 

Đặt $\sqrt{x+1}=a;\sqrt{x-1}=b$, thay vào ta có:

 

$20x-16+(14x+5)\sqrt{x-1}-3(6x-5)\sqrt{x+1}-12\sqrt{(x-1)(x+1)} \leq 0$

 

$\iff 2a^2+18b^2+(\dfrac{19}{2}a^2+\dfrac{9}{2}b^2)b-3(\dfrac{1}{2}a^2+\dfrac{11}{2}b^2)a-12ab \leq 0$

 

$\iff 2(a-3b)^2+\dfrac{1}{2}(a-3b)^2(b-3a) \leq 0$

 

$\iff (a-3b)^2[2+\dfrac{1}{2}(b-3a)] \leq 0$

 

$\iff a-3b=0$  v   $2+\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}-\dfrac{3}{2}\sqrt{x+1} \leq 0 (*)$

 

$(*) \iff 2+\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1} \leq \dfrac{3}{2}\sqrt{x+1} \iff (4x-5)^2 \geq 0$ (luôn đúng)

 

Vậy nghiệm của bpt: $x \geq 1$

 

p/s: e quên mất đk, lm đến đấy thấy luôn đúng lại tự ngộ nhận kết quả luôn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 28-08-2016 - 11:57

[leminhnghiatt]

Bài 493: Giải hệ pt:

 

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x^6}-y^3+\dfrac{1}{x^2}-3y^2+\dfrac{3}{x}-y=0 \\ x^2+x\sqrt{y}-\dfrac{1}{y}+y^2=2 \end{matrix}\right.$$

 

Đáp số: $\left\{\begin{matrix} x=1 \\ y=1 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 28-08-2016 - 01:50

[An Infinitesimal]

ĐK: $x \geq 1$

 

...

Vậy bpt có vô số nghiệm 

Sao em luận kỳ lạ thế?

[Baoriven]

Bài 494: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}(x+2)^2-13=4[xy-(y-1)^2] \\\sqrt{\frac{x^2-xy-2y^2}{x-y}}+\sqrt{x+y}=\frac{2}{\sqrt{x^2-y^2}} \end{matrix}\right.$