Chủ đề này có 1255 trả lời

[An Infinitesimal]

Bài 494: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}(x+2)^2-13=4[xy-(y-1)^2] \\\sqrt{\frac{x^2-xy-2y^2}{x-y}}+\sqrt{x+y}=\frac{2}{\sqrt{x^2-y^2}} \end{matrix}\right.$

ĐK: $x-2y\ge 0, x+y>0,x-y>0.$ 

 

PT1 $\iff (x - 2y - 1)(x - 2y + 5)=0.$

Do đó $x=2y+1$ ($y> -\frac{1}{3}$).

PT2 $ \iff \sqrt{x-2y}+\sqrt{x-y}= \frac{2}{x+y}.$

 

Sử dụng ràng buộc trên, ta có  

$ 1+\sqrt{y+1}= \frac{2}{3y+1}.$

Đặt $t= \sqrt{y+1}, t>0$, ta thu được PT

\[(t - 1)(3t^2 + 6t + 4)=0.\]

Do đó $t=1$ hay $y=0, x=1.$

Ta kiểm tra lại $(x,y)=(1;0)$ là nghiệm của hệ.

[NTA1907]

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

 

 

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$

Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$ 

c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$ 

Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$

Bài 183: $4^{x+1}+5^{\left | x \right |}=3^{\sqrt{x^{2}+1}}$

Bài 184: $x^{\sqrt{x^{2}+2}}+\sqrt[3]{x^{2}+7}=3x$

Bài 186: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 187: $\left\{\begin{matrix} &8x^{3}-12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$

Bài 188: $\sqrt{x^{3}+5}+2\sqrt[3]{2x+1}+x=0$

Bài 199: $4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

Bài 202: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+2 \\ &x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^{2}+4y-4}{2} \end{matrix}\right.$

Bài 225: $\left\{\begin{matrix} &y^{3}+2x^{3}+3y^{2}+4y+3xy(x+y+2)=2(3x^{2}-16x+14) \\ &5x^{2}+3x+y+3=\sqrt{y^{2}+4x+8}+3x\sqrt{2x^{2}-y+4} \end{matrix}\right.$

Bài 288: $2x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2}+x-2=0$

Bài 290: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}.(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 307: $\left\{\begin{matrix} (9x^{2}+2)x+(y-2)\sqrt{4-3y}=0 & & \\9x^{2}+y^{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2-3x}=\frac{10}{3} & & \end{matrix}\right.$

Bài 314: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy=3y^2-y\sqrt{xy} & \\ & \frac{y^2}{1+\sqrt{2-x}}+\frac{(2-x)^2}{1+y}=1 \end{matrix}\right.$

Bài 321: $\begin{cases} & y^{3}+\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2=y(\sqrt{x-1}-\sqrt{2-x}-1) \\ & 3xy^{2}-2y^{2}-2x+1=0 \end{cases}$

Bài 324: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 336: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 339: $(\sqrt{x-4}+1)^3= \sqrt{x^3+2}$

Bài 349: $(x-2)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+(x-2)(x+1)=6$

Bài 351: $\begin{cases} & x\sqrt{x-2y-1}+y\sqrt{x+2y-1}=2 \\ & x(x-y-2)+1=\sqrt[3]{y^{3}+3xy-3y+1} \end{cases}$

Bài 356: $(2x+4)\sqrt{5-x^{2}}+(x-1)\sqrt{5+x^{2}}\leq 7x+5$

Bài 360: $\begin{cases} & (x-2015)(2015+2016\sqrt[3]{y-2017})=1 \\ & \sqrt[3]{x-2014}(y-4032)=2016 \end{cases}$

Bài 380: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x+y-4}+1)^{2}=2y-7+2\sqrt{4x-xy} \\ &\dfrac{x+1}{y+2}+\dfrac{y+1}{x+2}=1+\dfrac{\sqrt{xy}}{4} \end{matrix}\right.$

Bài 388: $\frac{(x^{3}+3x^{2}\sqrt{x+1})(3-x)}{2+\sqrt{x+1}}=4(x+1)(2\sqrt{x+1}-x-1)$

Bài 395: $\begin{cases} & (x+y)^{2}+12\sqrt{x+y-6}=4x+3y+37 \\ & \sqrt{y^{2}-12}+10\sqrt{y}= x\sqrt{x^{2}y-5y}+10 \end{cases}$

Bài 398: $(2-5x)\sqrt{2x+1}+(5x+1)\sqrt{x+4}-\sqrt{(x+4)(2x+1)}-9x=0$

Bài 402: $\left\{\begin{matrix} x^3-xy^2+3x^2-2y^2-6y=4 & \\ x^2-y-3+\sqrt{2x+2y+3}=\sqrt{x^2+4x-3} \end{matrix}\right.$

Bài 413: $\left\{\begin{matrix} &y^{2}-x^{3}=\sqrt{x-1}-8 \\ &2\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}+12x-5y=20 \end{matrix}\right.$

Bài 418: $x^3+\sqrt{(x+1)^3} + 1 = 2x^2 + 2x + 2x\sqrt{2x+1}$

Bài 428: $\begin{cases} & y-6=\sqrt{y-4}+\sqrt{3-x}+\sqrt{x} \\ & \sqrt{4x+y}+\sqrt{3x^{2}+y-4}=x^{3}+7x-xy+2 \end{cases}$

Bài 439: $3x+2+2\sqrt{2x^2+6x+21-(x+6)\sqrt{2-x}}=2\sqrt{2x+5}$

Bài 440: $\frac{x^2-2+\sqrt{x}(2x-\sqrt{x}-4)}{\sqrt{2x-4\sqrt{x-1}}-1}=\sqrt{4-x^2}$

Bài 462**: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

Bài 485: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}-y}=\dfrac{2y}{x(4x-1)} \\ &\sqrt[3]{2x^{2}+8y}=\dfrac{7-4y}{x(x+1)} \end{matrix}\right.$

Bài 486**: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}+y^{6}}\left ( 2+\dfrac{x^{4}}{x^{3}+5y^{6}} \right )=\dfrac{22x^{2}}{5} \\ &\dfrac{2y^{3}}{x^{4}}-\dfrac{y^{3}}{x^{3}+5y^{6}}=\dfrac{9}{10x^{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 493: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x^6}-y^3+\dfrac{1}{x^2}-3y^2+\dfrac{3}{x}-y=0 \\ x^2+x\sqrt{y}-\dfrac{1}{y}+y^2=2 \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ. Mọi người đừng quên các bài ** nhé...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 28-08-2016 - 12:18

[An Infinitesimal]

Bài 183: $4^{x+1}+5^{\left | x \right |}=3^{\sqrt{x^{2}+1}}$

 

Nhân bài toán dị hợm này, không thể dự đoán hết các nghiệm nên khó giải quyết (vì ta "không thể" dùng các biến đổi đại số để tìm ra nghiệm!), mình gửi một bài gần tương tự (nhưng đơn giản hơn):

Bài 495:

Giải PT $\large 2^{\sqrt{x^2+1}}=3^{\sqrt{x}+1}.$

[conanthamtulungdanhkudo]

Nhờ mọi người giúp em bài này ạ:

Bài 496

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conanthamtulungdanhkudo: 29-08-2016 - 22:22

[L Lawliet]

Nhờ mọi người giúp em bài này ạ:

Bạn đánh số thứ tự bài theo quy định của topic và

đăng chủ đề mới nếu đó là bài tập về nhà thay vì post vào topic nhé.

[leminhnghiatt]

Nhờ mọi người giúp em bài này ạ:

ĐK: $x \geq 0$

 

Dễ thấy $x=0$ không là nghiệm pt, chia cả 2 vế pt (2) cho $x^2$ ta được:

 

$2y+2y\sqrt{4y^2+1}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}$

 

Xét hàm $f(t)=t+t\sqrt{t^2+1}$ dễ thấy hàm đồng biến

 

$\rightarrow 2y=\dfrac{1}{x}$

 

Thế vào pt (1) ta có:

 

$x^2+2\sqrt{x}(x^2+1)=0$

 

$\iff \sqrt{x}(x\sqrt{x}+2x^2+2)=0$

 

Vô nghiệm vì với mọi $x>0$ thì $VT>0$

 

Vậy hệ pt vô nghiệm

[conanthamtulungdanhkudo]

Bạn đánh số thứ tự bài theo quy định của topic và

đăng chủ đề mới nếu đó là bài tập về nhà thay vì post vào topic nhé.

Vâng em sẽ rút kinh nghiệm ạ

[An Infinitesimal]

Vâng em sẽ rút kinh nghiệm ạ

Viết điều tiếp theo y như spam nhưng cũng phải viết!

A: Vâng em sẽ rút kinh nghiệm ạ "lần sau".

B: Tại sao không sửa chữa ngay từ lần này?

 

P.S: Bạn ghi số vô cho bài trên nhen!

[CaptainCuong]

Lời giải.

 

 

Lời giải.

Các cách thực sự rất hay. Chị có thể cho em ý tưởng cách đặt ẩn và biến đổi "ảo diệu" hoặc tài liệu về PP trên dc ko ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 29-08-2016 - 22:44

[L Lawliet]

Các cách thực sự rất hay. Chị có thể cho em ý tưởng cách đặt ẩn và biến đổi "ảo diệu" hoặc tài liệu về PP trên dc ko ạ?

Tài liệu thì tham khảo ở chuyên đề phương trình - hệ phương trình của diễn đàn mathscope (bạn down ở mathscope mình không trích dẫn link lại) còn đây là tài liệu mấy bài toán mình còn trong máy (hồi thi xong xóa hết tài liệu luôn giờ lại tiếc :|).

 K2pi.Net.Vn---Casio Vũ Hồng Phong bản chính thức.pdf   938.39K   108 Số lần tải

 K2pi.Net.Vn---hgtpboxmath.pdf   1.47MB   117 Số lần tải

 K2pi.Net.Vn---Phương trình vô tỷ- K2pi.pdf   1020.02K   110 Số lần tải

 K2pi.Net.Vn---PT Voty.pdf   208.65K   224 Số lần tải

 K2pi.Net.Vn---Tong Hop PTVT On Thi DH 2014.pdf   831.84K   127 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 04-09-2016 - 22:54

[Baoriven]

Bài 497: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}\frac{x^3+x+1}{y^2}+(2x+1)(1-\frac{1}{y})=\frac{x^2}{y^2}(3y-1)-x+y \\ \frac{x^3-x^2-1}{y^2}+\frac{4}{y}-1=0 \end{matrix}\right.$

[bolobala123456]

Bài 497: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}\frac{x^3+x+1}{y^2}+(2x+1)(1-\frac{1}{y})=\frac{x^2}{y^2}(3y-1)-x+y \\ \frac{x^3-x^2-1}{y^2}+\frac{4}{y}-1=0 \end{matrix}\right.$

$$Pt(1)\Leftrightarrow x^{3}+x+1+(2x+1)(y^{2}-y)-x^{2}(3y-1)+xy^{2}-y^{3}=0 \Leftrightarrow (x-y+1)(x^{2}-2xy+1+y^{2})=0\Leftrightarrow (x-y+1)((x-y)^{2}+1)=0\Leftrightarrow y=x+1$$
Thế vào 2, quy đồng, rút gọn ta có ngay:
$x^{3}-2x^{2}+2x+2=0$
Đến đây ta bấm máy sẽ thấy pt này có nghiệm cực lẻ, ta phải sd đến công thức Carnado hay các loại công thức tổng quát cho pt bậc 3 khác
$\Delta =b^{2}-3ac=-2,k=\frac{9abc-2b^{3}-27a^{2}d}{2\sqrt{\left | \Delta ^{3} \right |}}=\frac{-37\sqrt{2}}{4}$
Ta có:

$x=\frac{\sqrt{\left | \Delta \right |}}{3a}\left ( \sqrt[3]{k+\sqrt{k^{2}+1}}+\sqrt[3]{k-\sqrt{k^{2}+1}} \right )-\frac{b}{3a}=\frac{\sqrt{2}}{3}\left (\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1369}{8}+1}-\frac{37\sqrt{2}}{4}}- \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1369}{8}+1}+\frac{37\sqrt{2}}{4}} \right )+\frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{2}}{3}\left (\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1369}{8}+1}-\frac{37\sqrt{2}}{4}}- \sqrt[3]{\sqrt{\frac{1369}{8}+1}+\frac{37\sqrt{2}}{4}} \right )+\frac{5}{3}$

Bài này nếu ai có thắc mắc về phần mk ép đc tích như thế kia thì mk chia sẻ luôn là ko cần sd đến casio hay các mẹo mực để có thể ép đc ntn, chỉ cần tư duy ẩn phụ, một chút may mắn nữa là sẽ ra thôi, chúc bạn học tốt
p/s: Mk chả có đề xuất j nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bolobala123456: 01-09-2016 - 17:56

[Baoriven]

Bài 498: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2+3xy+3y=3x \\ x^4+9y(x^2+y)=5x^2 \end{matrix}\right.$

[Namvip]

Ta thấy 

Với x = y = 0  (thỏa mãn hệ đã cho)

Với x # 0 ta có 

$\left\{\begin{matrix} x+3y+3\frac{y}{x}=3(1') \\ x^{2}+9y+9(\frac{y}{x})^{2}=5(2') \end{matrix}\right.$

Lấy (2') - 3(1') ta có 

$x^{2}-3x+9(\frac{y}{x})^{2}+9\frac{y}{x}+4=0$

<=>$x^{2}-3x=(1-\frac{3y}{x})^{2}-3(1-\frac{3y}{x})$

<=>$\left\{\begin{matrix} x=1-\frac{3y}{x}\\ x=2+\frac{3y}{x} \end{matrix}\right.$

TH1 $x=1-\frac{3y}{x}$

=>$x^{2}=x-3y$

Thay vào PT(1) ta có 

$3xy=2x$

$y=\frac{2}{3}$

=>$x^{2}-x+2=0$(Vô nghiệm )

TH2 $x=2+\frac{3y}{x}$ ta có 

$x^{2}=2x+3y$

=>$x^{2}+x(x^{2}-2x)+x^{2}-2x=3x$

<=>$x^{3}-5x=0$

[NTA1907]

Bài 498: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2+3xy+3y=3x \\ x^4+9y(x^2+y)=5x^2 \end{matrix}\right.$

Pt(1)$\Leftrightarrow x^{2}+3y=3x-3xy$

$\Rightarrow x^{4}+9y^{2}+6x^{2}y=(3x-3xy)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{4}+9y^{2}=9x^{2}-24x^{2}y+9x^{2}y^{2}(*)$

Pt(2)$\Leftrightarrow x^{4}+9y^{2}=5x^{2}-9x^{2}y(**)$

Từ $(*)$ và $(**)\Rightarrow 4x^{2}-15x^{2}y+9x^{2}y^{2}=0$

$\Leftrightarrow x^{2}(3y-4)(3y-1)=0$

Đến đây xin nhường cho các bạn...

[NTA1907]

Bài 499: $\left\{\begin{matrix} &x(y-9)+\sqrt{y-1}+1=0 \\ &y(18x^{2}+1)=3x+22+(x+1)^{2} \end{matrix}\right.$

Bài 500: $\left\{\begin{matrix} &(x-2y)\left ( 3x+8y+4\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-6 \\ &(y-4x)\left ( 3y+2x+2\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-10 \end{matrix}\right.$

[royal1534]

 

Bài 500: $\left\{\begin{matrix} &(x-2y)\left ( 3x+8y+4\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-6 \\ &(y-4x)\left ( 3y+2x+2\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-10 \end{matrix}\right.$

Bài đã có lời giải ở đây. Nhìn lời giải khủng thật ~.~

[An Infinitesimal]

Bài 499: $\left\{\begin{matrix} &x(y-9)+\sqrt{y-1}+1=0 \\ &y(18x^{2}+1)=3x+22+(x+1)^{2} \end{matrix}\right.$

Bài 500: $\left\{\begin{matrix} &(x-2y)\left ( 3x+8y+4\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-6 \\ &(y-4x)\left ( 3y+2x+2\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-10 \end{matrix}\right.$

Bài 500:

(Cách rất thô thiển!)

Đặt $a=x-2y, b=y-4x,$ ta có hệ

$$\begin{cases} &a(- 5a - 2b+4\sqrt{a^2-16})=-6,\\& b(-2a-b+2\sqrt{a^2-16})=-10.\end{cases}$$

 

Rút $-b+2\sqrt{a^2-16}$ từ PT thứ nhất và thay vào PT2, ta có

\[(a^2 - 6)b + 20a=0.\]

Rút $b=-\frac{20a}{a^2 - 6}$ thay vào PT1, ta có

\[ - 5a^2 +\frac{40a^2}{a^2 - 6}+4a\sqrt{a^2-16})=-6.\]

\[\iff \frac{- 5a^4 +70a^2}{a^2 - 6}+4a\sqrt{a^2-16})=-6.\]

(Chưa chọn được cách xử lý PT này sao cho gọn)

\[\iff a=3\sqrt{2}, b=-5\sqrt{2}.\]

Do đó $x=\sqrt{2}, y=-\sqrt{2}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 02-09-2016 - 10:16

[An Infinitesimal]

Bài đã có lời giải ở đây. Nhìn lời giải khủng thật ~.~

 

 Lời giải đó bị lỗi! (Hệ có nghiệm!)

[Baoriven]

Bài 501: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}(x-y)^2+x+y=y^2 \\ x^4+y^2+3x^2=4x^2y \end{matrix}\right.$