Chủ đề này có 1255 trả lời

[tritanngo99]

Bài 539: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{y^2+1}+x^2-2xy^2=\frac{1}{2}\\x^2+5y^2-\sqrt[3]{10y^4-\frac{61}{8}}=x+\frac{25}{4}  \end{matrix}\right.$

[Baoriven]

Bài 540: Giải phương trình: 

$3^x(4^x+6^x+9^x)=25^x+2.16^x$

[NTA1907]

Bài 541: $\left\{\begin{matrix} &xy+\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}=1 \\ &x^{2009}y^{2013}+x^{2013}y^{2009}=\dfrac{2}{3^{2011}} \end{matrix}\right.$

[Zz Isaac Newton Zz]

Bài 542: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \frac{1+4(x-y+1)^{2}}{\sqrt{2(x-y+2)}}=1+\frac{3}{2(x-y+1)} & & \\ (x+2)(\sqrt{x+y+3}-2\sqrt{y+1})=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}+5x+3} & & \end{matrix}\right.$

[Baoriven]

Bài 541: $\left\{\begin{matrix} &xy+\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}=1 \\ &x^{2009}y^{2013}+x^{2013}y^{2009}=\dfrac{2}{3^{2011}} \end{matrix}\right.$

Lời giải bài 541:

Từ phương trình hai ta có: $(xy)^{2009}(x^4+y^4)=\frac{2}{3^{2011}}\Rightarrow xy> 0$.

Áp dụng $AM-GM$, ta có: $1=xy+\sqrt{2(x^4+y^4)}\geq 3xy\Rightarrow xy\leq \frac{1}{3}$.

Đặt: $xy=P;x^4+y^4=S,S> 0,0< P\leq \frac{1}{3}$.

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}P+\sqrt{2S}=1(1) \\ P^{2009}.S=\frac{2}{3^{2011}}(2) \end{matrix}\right.$.

Từ phương trình $(1)$ suy ra: $S=\frac{(1-P)^2}{2}$.

Ta giải phương trình: $P^{2009}.(1-P)^2=\frac{4}{3^{2011}}$. $(*)$

Xét hàm: $f(t)=t^{2009}.(1-t)^2,0< t\leq \frac{1}{3}$.

Ta có: $f'(t)=2009t^{2008}(t-1)^2+(2t-2)t^{2009}=(t-1)t^{2008}[2009(t-1)+2t]> 0$.

Do đó: $f(t)$ đồng biến/

Ta thấy $P=\frac{1}{3}$ là nghiệm nên $P=\frac{1}{3}$ là nghiệm duy nhất của $(*)$.

Suy ra: $S=\frac{2}{9}$.

Từ đó ta giải được 2 nghiệm: $(x;y)=(\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}});(-\frac{1}{\sqrt{3}};-\frac{1}{\sqrt{3}})$.

 

[An Infinitesimal]

Bài 540: Giải phương trình: 

$3^x(4^x+6^x+9^x)=25^x+2.16^x$

 

Trong quá trình xử lý trường hợp $x<0$, mình nghĩ có thể tìm ra lời giải gọn hơn (chưa trình bày lại).

 

Trước tiên ta sẽ chứng minh nghiệm của phương trình là một số không âm. Hướng tiếp cận hiện tại khá phiền phức.

 

Gọi $x$ là một nghiệm của phương trình.

Đặt $g(u)=u^x$ với $u>0.$

 

Khi đó phương trình được viết lại

$$g(12)-g(16)=  [g(16)-g(18)]+[g(25)-g(27)].$$

Áp dụng định lý Lagrange, ta có các số $a,\, b,\, c$ thỏa $12<a<16<b<25<c<27$ sao cho

 

\[-4x a^{x-1}=-2x b^{x-1}-2xc^{x-1}.\]

\[\iff x=0 \vee 2a^{x-1}=b^{x-1}+c^{x-1}.\]

 

Nhận xét: 

 

Nếu $0\neq x<1$ thì $2a^{x-1}> b^{x-1}+c^{x-1}$ (vì $a<b, c$).

 

Nếu $x>2$ thì $b^{x-1}+c^{x-1}>2 \left(\frac{b+c}{2} \right)^{x-1} >2a^x.$

 

 

Suy nghĩ ban đầu và phần xử lý $x\in [0,2]$!

 

(Vẫn còn khó khăn khi chứng minh $x\ge 0$. Đã giải quyết như bên trên!)

 

Đặt $p(x)=3^x(4^x+6^x+9^x)-25^x-2.16^x$ với $x\in \mathbb{R}.$

 

 

Đặt $g(x)= \frac{p(x)}{16^x}$, ta có

$g'(x)= \frac{1}{16^x} \left(27^x \ln\frac{27}{16}+18^x \ln \frac{18}{16}+12^x\ln\frac{12}{16}-25^x \ln\frac{25}{16}\right).$

 

Đặt $h(x)= g'(x) \frac{16^x}{25^x},$ ta có

 

$h'(x)= \frac{1}{25^x} \left(27^x \ln\frac{27}{16}\ln\frac{27}{25}+18^x \ln \frac{18}{16}\ln\frac{18}{25}+12^x\ln\frac{12}{16}\ln\frac{12}{25}\right).$

Vì $\ln\!\left(\frac{9}{8}\right)\, \ln\!\left(\frac{18}{25}\right) + \ln\!\left(\frac{27}{16}\right)\, \ln\!\left(\frac{27}{25}\right) \ge 0$ nên $h'(x)\ge 0 \, \forall x\ge 0.$

 

Suy ra $p(x)=0$ không quá hai nghiệm trên $[0,\infty).$

Dễ thấy $p(0)=p(1)=0.$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 27-09-2016 - 13:36

[gianglqd]

Bài 543: $3^x(\sqrt{x^2+1}-x)=1$

[Baoriven]

Bài 543: $3^x(\sqrt{x^2+1}-x)=1$

Lời giải bài 543:
Từ pt ban đầu ta có pt:
$3^x-3^{-x}-2x=0$
Xét hàm $f(x)=3^x-3^{-x}-2x$
Ta có: $f'(x)=(3^{x}+3^{-x})ln3-2> 0$
Ta có $x=0$ là nghiệm duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 27-09-2016 - 20:43

[basketball123]

Bài 542: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \frac{1+4(x-y+1)^{2}}{\sqrt{2(x-y+2)}}=1+\frac{3}{2(x-y+1)} & & \\ (x+2)(\sqrt{x+y+3}-2\sqrt{y+1})=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}+5x+3} & & \end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{2(x-y+2)}=t(t\geq 0)\Rightarrow (1)\Leftrightarrow \frac{1+(t^{2}-2)^{2}}{t}=1+\frac{3}{t^{2}-2}\Leftrightarrow \frac{1+(t^{2}-2)^{2}}{t}=\frac{t^{2}+1}{t^{2}-2}\Leftrightarrow t^{3}+t=(t^{2}-2)^{3}+(t^{2}-2)\Rightarrow t=t^{2}-2\Leftrightarrow t=2\Rightarrow x=y\Rightarrow (2)\Leftrightarrow (x+2)(\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1})=1-\sqrt{2x^{2}+5x+3}$

Đặt $\sqrt{x+1}=a(a\geq 0);\sqrt{2x+3}=b(b\geq 0)\Rightarrow (2)\Leftrightarrow (a^{2}+1)(b-2a)=1-ab\Leftrightarrow a^{2}b-2a^{3}+b-2a-1+ab=0$ (3)

Lại có $b^{2}-2a^{2}=2x+3-2(x+1)=1$ thay vào (3) ta được $(3)\Leftrightarrow a^{2}b-2a^{3}+b-2a+2a^{2}-b^{2}+ab=0\Leftrightarrow (2a-b)(2a+b-(a^{2}+a+1))=0\Rightarrow 2a=b$ hoặc $2a+b=a^{2}+a+1$

Với $2a=b\Leftrightarrow 2\sqrt{x+1}=\sqrt{2x+3}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}(t/m)\Rightarrow y=-\frac{1}{2}$

Với $2a+b=a^{2}+a+1\Leftrightarrow 2a+b=a^{2}+a+b^{2}-2a^{2}\Leftrightarrow a^{2}-b^{2}+a+b=0\Leftrightarrow (a+b)(a-b+1)=0\Leftrightarrow a+1=b\Leftrightarrow \sqrt{x+1}+1=\sqrt{2x+3}\Leftrightarrow x+1+2\sqrt{x+1}+1=2x+3\Leftrightarrow x+1-2\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow x=-1;x=3(t/m)\Rightarrow y=-1;y=3$

Vậy hpt có 3 nghiệm $(x;y)$ thoả mãn $(-1;-1);(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2});(3;3)$

[NTA1907]

Bài 544: $\left\{\begin{matrix} &2(\sqrt{x+1}+1)^{2}=\sqrt[3]{x^{2}+4y+16} \\ &x^{2}+\dfrac{4y}{x}=2(9x-1)\sqrt{2x^{3}-y} \end{matrix}\right.$

[Baoriven]

Bài 545: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &2z(x+y)+1=x^2-y^2 \\ &y^2+z^2=1+2(xy+xz-yz) \\ & y(3x^2-1)=-2x(x^2+1) \end{matrix}\right.$

[tritanngo99]

Bài 546: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3+x(y+2x)-4y^2=x-4\\y^2x+y(x+2y)-\sqrt{x^2+4}=0  \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 02-10-2016 - 19:00

[NTA1907]

Bài 547: $\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}\leq 0$

Bài 548: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^{2}+\sqrt{3(x+y)} \\ &12x(2x^{2}+3y+7xy)=-1-12y^{2}(3+5x) \end{matrix}\right.$

[basketball123]

Bài 547: $\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}\leq 0$

Bài 548: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^{2}+\sqrt{3(x+y)} \\ &12x(2x^{2}+3y+7xy)=-1-12y^{2}(3+5x) \end{matrix}\right.$

Bài 547: $\Leftrightarrow 6(x^{2}-3x+1)+\sqrt{6(x^{4}+x^{2}+1)}\leq 0\Leftrightarrow 12(x^{2}+1-x)-6(x^{2}+1+x)+\sqrt{6(x^{2}+1-x)(x^{2}+1+x)}\leq 0$

Đặt $\sqrt{x^{2}+1-x}=a(a\geq 0);\sqrt{x^{2}+1+x}=b(b\geq 0)\Rightarrow 12a^{2}-6b^{2}+ab\sqrt{6}\leq 0\Leftrightarrow (4a-b\sqrt{6})(3a+b\sqrt{6})\leq 0\Rightarrow 4a\leq b\sqrt{6}\Leftrightarrow 4\sqrt{x^{2}-x+1}\leq \sqrt{6(x^{2}+x+1)}\Leftrightarrow 10x^{2}-22x+10\leq 0\Leftrightarrow \frac{11-\sqrt{21}}{10}\leq x\leq \frac{11+\sqrt{21}}{10}$

[basketball123]

Bài 547: $\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}\leq 0$

Bài 548: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^{2}+\sqrt{3(x+y)} \\ &12x(2x^{2}+3y+7xy)=-1-12y^{2}(3+5x) \end{matrix}\right.$

Bài 548: Đặt $x+y=t$ $(t\geq 0)$ ta có $(1)\Leftrightarrow \sqrt{t+1}+1=4t^{2}+\sqrt{3t}\Leftrightarrow (2t+1)(2t-1)+\frac{2t-1}{\sqrt{3t}+\sqrt{t+1}}=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{2}-x$

Thay vào pt (2) ta được $(2)\Leftrightarrow 18x^{2}+3x-10=0\Leftrightarrow x=\frac{2}{3};x=-\frac{5}{6}\Rightarrow y=-\frac{1}{6};y=\frac{4}{3}$

Vậy hpt có 2 nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $(\frac{2}{3};-\frac{1}{6});(-\frac{5}{6};\frac{4}{3})$

[Baoriven]

Bài 549: Giải phương trình: 

$log_x(2-2x)+log_{1-x}(2x)=0$

[ledacthuong2210]

Chào các bạn!

Trong không khí nô nức chuẩn bị cho các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, ở lớp 10 nói riêng, bài tập chủ yếu ở các dạng bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, phương trình đường tròn,v..v.. Về phần bất đẳng thức đã có nhiều topic đề cập đến, riêng phần phương trình và hệ thì số lượng bài tập khá đa dạng và nắm vai trò không nhỏ (thường gặp ở những câu đầu tiên và chiếm nhiều điểm). Vì thế hôm nay, mình xin phép mở một topic để mọi người bàn về dạng bài tập này để củng cố kiến thức cho bản thân được tốt hơn nói riêng cũng như các bạn nói chung. Trong quá trình làm việc và viết bài thì không khỏi tránh sai sót cũng như bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm, rất mong bạn bè gần xa thông cảm và ủng hộ để topic thật phát triển. Mình xin gửi đến lời cảm ơn chân thành nhất.

Nội quy:

- Mỗi người chỉ đưa lên 1 -> 2 bài (tránh làm nhão topic).

- Sau 3 ngày mà chưa có ai giải thì mới post lời giải và post bài mới lên tránh trường hợp quá nhiều bài mà không có ai giải.
- Đánh số thứ tự bài để tránh sự lộn xộn, tăng tính thẩm mĩ cho topic.
- Không spam, lạc đề.

Một số phương pháp giải (tài liệu do mình và bạn NTA1907 sưu tầm):

*  Phương pháp đổi biến:

I) Phương trình đẳng cấp: $aP(x) + bQ(x) = c\sqrt{P(x).Q(x)}$    (1)

Phương pháp: Đặt $u = \sqrt{P(x)}$, $v = \sqrt{Q(x)}$       (u, v >= 0)

                  $(1) \Leftrightarrow  au^{2} + bv^{2} = c.u.v$    (2)

                  Nhận xét: v = 0 là nghiệm của (2) ?

                  $(2) \Leftrightarrow  a(\dfrac{u}{v})^{2} +  b - c.\dfrac{u}{v} = 0$

* Phương pháp nhân liên hợp:

II) Nghiệm vô tỉ

Sử dụng: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b$

            $(\sqrt[3]{a} \underline{+} \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}} \overline{+} \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}) = a \underline{+} b$

*  Dạng phương trình: $\sqrt[3]{A(x)} \pm  \sqrt[3]{B(x)} = \sqrt[3]{C(x)}$

Phương pháp: Lập phương hai vế.

* Dạng phương trình: $a^{2} + bx + c = \sqrt{px^{2} + qx + r} (a.p \neq  0)$

Phương pháp:

         TH1: $\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q}$. Đặt $t = \sqrt{px^{2} + qx + r}$.

                Đưa về dạng phương trình bậc 2.

         TH2: $\left\{\begin{matrix} p = -b & & & \\ q = \dfrac{1 - b^{2}}{a} & & & \\ r = \dfrac{-c(1 + b)}{a} & & &\end{matrix}\right.$

                Đặt $t = ax^{2} + bx + c$ rồi đưa về hệ đối xứng loại 2

Phương pháp nâng lên luỹ thừa 2 vế:

Dạng 1: $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&f(x)=g(x) \\&f(x)\geq 0(hoặc g(x)\geq 0)\end{matrix}\right.$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+2x+4}=\sqrt{2-x}$(1)

(1)$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x^{2}+2x+4=2-x \\&x\leq 2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x^{2}+3x+2=0 \\&x\leq 2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=-1$(thoả mãn) hoặc $x=-2$(thoả mãn)

Dạng 2: $\sqrt{f(x)}=g(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&g(x)\geq 0 \\&f(x)=g(x)^{2}\end{matrix}\right.$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2$(2)

(2)$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq 2 \\&4+2x-x^{2}=x-2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq 2 \\&x^{2}-x-6=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=-2$(không thoả mãn) hoặc $x=3$(thoả mãn)

Dạng 3: $\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}=\sqrt{h(x)}\Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}+\sqrt{h(x)}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&g(x)\geq 0  & \\&h(x)\geq 0  & \\&f(x)=g(x)+h(x)+2\sqrt{g(x).h(x)}  &\end{matrix}\right.$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+4}=1$(3)

(3)$\Leftrightarrow \sqrt{3x+1}=1+\sqrt{x+4}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq -4 \\&3x+1=1+2\sqrt{x+4}+x+4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq -4 \\&x-2=\sqrt{x+4}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}&x\geq 2 \\&x^{2}-5x=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=0$(không thoả mãn) hoặc $x=5$(thoả mãn)

Chú ý: Các dạng nâng lên luỹ thừa bậc chẵn và lẻ thì làm tương tự như trên, riêng bậc lẻ thì không cần điều kiện.

*Phương pháp đặt ẩn phụ:

Dạng 1: $(ax+b)^{n}=p.\sqrt[n]{a^{'}x+b^{'}}+qx+r$

+)$p.a^{'}> 0$

Đặt $\sqrt[n]{a^{'}x+b^{'}}=at+b$, sau đó đưa về hệ đối xứng loại 2

+)$p.a^{'}< 0$

Đặt $\sqrt[n]{a^{'}x+b^{'}}=-(at+b)$, sau đó đưa về hệ đối xứng loại 2

VD:$4x^{2}+\sqrt{3x+1}+5=13x$(1)

Đk: $x\geq \dfrac{-1}{3}$

(1)$\Leftrightarrow (2x-3)^{2}=-\sqrt{3x+1}+x+4$

Đặt $\sqrt{3x+1}=-(2y-3)(y\leq \dfrac{3}{2})$

Ta được hệ:$\left\{\begin{matrix}&(2x-3)^{2}=2y+x+1 \\&(2y-3)^{2}=3x+1\end{matrix}\right.$

Trừ 2 phương trình trên vế theo vế ta có:

$4(x^{2}-y^{2})-12(x-y)=2(y-x)$

$\Leftrightarrow (x-y)(2x+2y-5)=0$

+) $x=y\Rightarrow (2x-3)^{2}=3x+1$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{15+\sqrt{97}}{8}$(không thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{15-\sqrt{97}}{8}$(thoả mãn)

+) $2y=5-2x\Rightarrow (2x-3)^{2}=5-2x+x+1$

$\Leftrightarrow 4x^{2}-11x+3=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{11-\sqrt{73}}{8}$(không thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{11+\sqrt{73}}{8}$(thoả mãn)

Dạng 2: $\alpha .P(x)+\beta .Q(x)=\gamma .\sqrt{P(x).Q(x)}$

+)$P(x)=0\Rightarrow$ Thay vào phương trình

+)$P(x)\neq 0$, ta được: $\alpha +\beta .\dfrac{Q(x)}{P(x)}=\gamma .\sqrt{\dfrac{P(x)}{Q(x)}}$

VD: Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}(2)$

Đk: $x\geq 1$

(2)$\Leftrightarrow 3(x-1)+2(x^{2}+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

$\Leftrightarrow 3.\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1}+2=7\sqrt{\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1}}$

Đặt $\sqrt{\dfrac{x-1}{x^{2}+x+1}}=t\geq 0$

Khi đó ta có: $3t^{2}-7t+2=0$

$\Leftrightarrow t=2$ hoặc $t=\dfrac{1}{3}$

+)$t=2\Rightarrow \sqrt{x-1}=2\sqrt{x^{2}+x+1}$

$\Rightarrow 4x^{2}+3x+5=0$(vô nghiệm)

+)$t=\frac{1}{3}\Rightarrow 3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^{2}+x+1}$

$\Rightarrow x^{2}-8x+10=0$

$\Leftrightarrow x=4+\sqrt{6}$(thoả mãn) hoặc $x=4-\sqrt{6}$(thoả mãn)

Dạng 3: $\alpha (P(x)+Q(x))+\beta (\sqrt{P(x)}+\sqrt{Q(x)})\pm 2\alpha \sqrt{P(x)+Q(x)}+\gamma =0$

(trong đó $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}$ và $\alpha ^{2}+\beta ^{2}\neq 0$)

Đặt $t=\sqrt{P(x)}\pm \sqrt{Q(x)}$, ta được phương trình: $At^{2}+Bt+C=0$

VD: Giải phương trình: $\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^{2}-4}-2x+2$(2)

Đk: $x\geq 2$

(2)$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}=2x-2-2\sqrt{x^{2}-4}$

Đặt $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}=t\geq 0$

$\Rightarrow t^{2}=2x-2\sqrt{x^{2}-4}$

$\Rightarrow t=t^{2}-2$

$\Leftrightarrow t=-1$(không thoả mãn) hoặc $t=2$(thoả mãn)

$t=2\Rightarrow \sqrt{x+2}=2+\sqrt{x-2}

\Rightarrow x+2=x+2+4\sqrt{x-2}$

$\Leftrightarrow x=2$(thoả mãn)

Dạng 4: $ax^{2}+bx+c=\sqrt{px^{2}+qx+r}$

+)$\dfrac{a}{p}=\dfrac{b}{q}$, đặt $t=\sqrt{px^{2}+qx+r}$, đưa về phương trình bậc 2: $At^{2}+Bt+C=0$

+)$\left\{\begin{matrix}&p=-b  & \\&q=\dfrac{1-b^{2}}{a}  & \\&r=\dfrac{-c(1+b)}{a}  &\end{matrix}\right.$

Đặt $t=ax^{2}+bx+c$, ta được hệ phương trình đối xứng loại 2

VD: Giải phương trình: $x^{2}+6x-14=\sqrt{98-35x-6x^{2}}$

Đk: $98-35x-6x^{2}\geq 0$

Đặt $x^{2}+6x-14=t\geq 0$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}&x^{2}+6x-14=t \\&t^{2}+6t-14=x\end{matrix}\right.$

Trừ 2 phương trình trên vế theo vế ta có:

$t-x=x^{2}-t^{2}+6(x-t)$

$\Leftrightarrow (x-t)(x+t+7)=0$

+)$x=t\Rightarrow x^{2}+6x-14=x$

$\Leftrightarrow x=-7$(không thoả mãn) hoặc $x=2$(thoả mãn)

+)$x+t=-7\Rightarrow x^{2}+7x-7=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-7+\sqrt{77}}{2}$(không thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{-7-\sqrt{77}}{2}$(không thoả mãn)

*Phương pháp liên hợp:

Sử dụng: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$

             $(\sqrt[3]{a}\mp \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})=a\mp b$

*  Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:

Một số bất đẳng thức căn bản:

   - $|A|=|-A| \geq 0$. Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow A=0$

   - $|A| \geq A$. Dấu bằng xảy ra khi $\Leftrightarrow A \geq 0$

   - $a^{2}\geq 0\forall a$. Dấu "=" có khi: $a=0$

   - $|a|\geq a\forall a$. Dấu "=" có khi: $a\geq 0$

   - $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" có khi: $ab\geq 0$

   - $|a|-|b|\leq |a-b|$. Dấu "=" có khi: $\left\{\begin{matrix}ab\geq 0 & & \\ |a|\geq |b| & & \end{matrix}\right.$

   - $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$. Dấu "=" có khi: $a=b$

   - $(a+b)^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow ab\leq (\dfrac{(a+b)}{2})^{2}$. Dấu "=" có khi: $a=-b$

   - $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a;b> 0)$. Dấu "=" có khi: $a=b$

   - $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq 2(ab> 0)$. Dấu "=" có khi: $a=b$

Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM):

   Với $n$ số thực dương: $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ ta luôn có $\dfrac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$.

   Dấu "=" khi và chỉ khi: $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

Bất đẳng thức BCS (Bunhiakovsky):

   Với 2 bộ số thực bất kì: ($a_{1};a_{2};...;a_{n}$);($b_{1};b_{2};...;b_{n}$) ta luôn có:

          $(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})$

   Dấu "=" có khi: $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...=\dfrac{a_{n}}{b_{n}}$

Bất đẳng thức Svac-xo

   Với $\forall x_{i}>0;i=\overline{1,n}$ ta có: $\dfrac{a_{1}^{2}}{x_{1}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{x_{2}}+...+\dfrac{a_{n}^{2}}{x_{n}}\geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}$

Bất đẳng thức Minkopsky:

   Cho 2 dãy số thực dương: $(a_{1};a_{2};...;a_{n});(b_{1};b_{2};...;b_{n})$ ta có:

   $\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})^{2}}$

   Dấu "=" xảy ra khi: $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...=\dfrac{a_{n}}{b_{n}}$.

...

Trên đây là một số phương pháp mình nêu ra để mọi người cùng tham khảo.

 

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x+1}(3x^{2}+x+1)=x^{3}+3x^{2}+3x$

b) $3 - x =\dfrac{2x^{2} - 9x + 17}{\sqrt{2x^{2} - 6x + 16} + \sqrt{3x - 1}}$

Bài 2: Giải phương trình sau:

$\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}} = 4 - (x + \dfrac{1}{x})$

 

Lưu ý: Trong quá trình làm việc, có một số thành viên đã đóng góp cho topic những tài liệu quan trọng và rất bổ ích, lý thú, thay mặt các mem trong topic, mình xin chân thành cảm ơn các bạn rất nhiều. Sau đây là một số tài liệu về phương trình mà các bạn đã đóng góp nói trên cũng như mình đã sưu tầm được trong thời gian qua!

*Phương pháp đặt ẩn phụ:

Dạng 1: (ax+b)n=p.n√a′x+b′+qx+r(ax+b)n=p.a′x+b′n+qx+r

+)p.a′>0p.a′>0

Đặt n√a′x+b′=at+ba′x+b′n=at+b, sau đó đưa về hệ đối xứng loại 2

+)p.a′<0p.a′<0

Đặt n√a′x+b′=−(at+b)a′x+b′n=−(at+b), sau đó đưa về hệ đối xứng loại 2

VD:4x2+√3x+1+5=13x4x2+3x+1+5=13x(1)

nếu mình phân tích thành:

$(2x-1)^{2}=-\sqrt{3x+1}+9x-4$

đặt $\sqrt{3x+1}=-(2y-1)$

ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} (2x-1)^{2}=-2y+9x-3\\ (2y-1)^{2}=3x+1 \end{matrix}\right.$

phương trình này không giải được.Mình thấy cách của bạn đưa ra hơi sao sao dù rất hay

[NTA1907]

Bài 550: $\sqrt[3]{2x^3+6}=x+\sqrt{x^2-3x+3}$

 

P/s: Triệu tập các thánh pt...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 24-12-2016 - 13:54

[thang1308]

Bài 550: $\sqrt[3]{2x^3+6}=x+\sqrt{x^2-3x+3}$

 

P/s: Triệu tập các thánh pt...

Bài này ở trong báo THTT, đã hết hạn chưa vậy

[NTA1907]

Bài này ở trong báo THTT, đã hết hạn chưa vậy

Nếu có đáp án thì bạn đăng lên để mn cùng thảo luận