Đến nội dung

Hình ảnh

Tiếp sức bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 223 trả lời

#121
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

Bài 64: $x,y,z\geq 0;x+y+z=1$

 

CM:  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{4}$

Bài này trước anh Minhnguyenthe333 làm rồi! :)

Giả sử $x\geq y\geq z$ thì $2x\geq y+z$. Do đó:

$x^3+y^3+z^3+6xyz\geq x^3+y^3+z^3+ 3yz(y+z)=x^3+(y+z)^3\geq \frac{(x+y+z)^3}{4}=\frac{1}{4}$

 

Bài 65: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\leq 27$. Tìm $GTNN$ của :

$$P=x+y+z+xy+yz+zx$$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 10-02-2016 - 21:11

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#122
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Bài 66:

Cho $ a, b, c $ các số thực không âm thỏa $ a+b+c=1 $.

Chứng minh rằng: $ \sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1} \ge \sqrt{5}+2 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 11-02-2016 - 16:17


#123
binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết

Chú ý rằng $\frac{ab+bc+ca}{(a+b)^2} = \frac{c}{a+b}+\frac{ab}{(a+b)^2},$ nên bất đẳng thức trên tương đương với

\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{ab}{(a+b)^2}+\frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{(c+a)^2} \leqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{5}{4}.\]

Mặt khác ta lại có

\[\frac{ab}{(a+b)^2}+\frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{(c+a)^2} \leqslant \frac{1}{4}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)},\]

nên ta chỉ cần chứng minh

\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+1,\]

Đặt $p=a+b+c,\,q=ab+bc+ca$ và $r=abc$ thì bất đẳng thức trên trở thành

\[pq^2 \geqslant (p^2+6q)r.\]

Bất đẳng thức này đúng vì $r \leqslant \frac{q^2}{3p}$ và

\[pq^2 - (p^2+6q) \cdot \frac{q^2}{3p} = \frac{2q^2(p^2-3q)}{3p} \geqslant 0.\]

Bài toán được chứng minh.

Có lẽ chưa cần dùng đến $p,q,r$ đâu anh :)

 

$$4\left(c+\frac{ab}{a+b}\right)^2 \leq 4c^2+2c(a+b)+ab$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 10-02-2016 - 21:17

Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#124
tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Bài này trước anh Minhnguyenthe333 làm rồi! :)

Giả sử $x\geq y\geq z$ thì $2x\geq y+z$. Do đó:

$x^3+y^3+z^3+6xyz\geq x^3+y^3+z^3+ 3yz(y+z)=x^3+(y+z)^3\geq \frac{(x+y+z)^3}{4}=\frac{1}{4}$

 

Bài 65: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2\leq 27$. Tìm $GTNN$ của :

$$P=x+y+z+xy+yz+zx$$.

đặt $t=x+y+z$ ta có $x^2+y^2+z^2 \leq 27$ =>$t^2-27\leq 2(xy+yz+xz)$ =>$t^2*\frac{1}{2}-\frac{27}{2} \leq xy+yz+xz$ 
=> $P \geq t+\frac{t^2-27}{2} \geq -14$ 
 


Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  


#125
tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

bài bất mới nè 
Bài 67 : cho $a_1;a_2;..;a_n$ là các số thực thuộc đoạn  $[-2;2]$ tìm min của 
$P=a_1*a_2+a_2*a_3+...+a_n*a_1$


Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  


#126
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

 

:)

dạ em có files rồi em xem trên juliel TV ấy blog hay quá trời lun à :v @@ :v

một bài khác cũng khá hay 

Bài 60:cho a,b,c là các số thực dương thỏa x2+y2+z2=1 chứng minh 

 

bài này làm thế này 

VT) $x+yz\leq x+\frac{x(y^{2}+z^{2})}{2}=x+\frac{x(1-x^{2})}{2}=-(x+2)(x-1)^{2}+1\leq 1$ta sẽ cm bổ đề sau 

$1\leq \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}\leq \sqrt{2}$

=>x+xyz<=1 tương tự y+xyz<=1,z+xyz<=1 
do đó $\sum \frac{x^{2}}{x+xyz}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
VP) ta có 1 bổ đề tiếp ta chứng minh 
$1+yz\geq \frac{x+y+z}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 2(1+yz)^{2}\geq (x+y+z)^{2}\Leftrightarrow (x-y-z)^{2}+2y^{2}z^{2}\geq 0$
tương tự cho xy+1,xz+1 rồi ta có cộng các bđt trên lại thì có dpcm :v


#127
ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết

Đóng góp một bài nhẹ nhàng luôn:

 

Bài 68:Với a,b,c là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=abc$

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} + \frac{1}{\sqrt{y^{2}+1}} + \frac{1}{\sqrt{z^{2}+1}} \leq  \frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 11-02-2016 - 21:55

"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#128
Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Bài 66:

Cho $ a, b, c $ các số thực không âm thỏa $ a+b+c=1 $.

Chứng minh rằng: $ \sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1} \ge \sqrt{5}+2 $

Ta có BĐT quen thuộc sau $\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}\geq \sqrt{4a+4b+1}+1$. Điều này $\Leftrightarrow 16ab\geq 0$ ( đúng)

Giờ ta đi CM $\sqrt{4a+4b+1}+\sqrt{4c+1}=\sqrt{5-4c}+\sqrt{4c+1}\geq \sqrt{5}+1\Leftrightarrow (5-4c)(4c+1)\geq 5\Leftrightarrow c(1-c)\geq 0$ ( luôn đúng do $c\leq 1$)

Ta có đpcm

Dấu $=$ xảy ra khi $(a,b,c)=(1,0,0)$ và hoán vị tương ứng

 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 69: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR $2(a+b+c)\geq \sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 11-02-2016 - 21:55


#129
luukhaiuy

luukhaiuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết

Đóng góp một bài nhẹ nhàng luôn:

 

Bài 68:Với a,b,c là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=abc$

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} + \frac{1}{\sqrt{y^{2}+1}} + \frac{1}{\sqrt{z^{2}+1}} \leq  \frac{3}{2}$

dat $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c$ thi ab+bc+ca=1

BDT cần cm trở thành$\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\leq \frac{3}{2}$

thay 1=ab+bc+ca vao thi ta se CM

$\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{3}{2}$

ÁP dụng BDT AM-GM ta có $\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})$

chung minh tuong tu roi cong ve voi ve ta duoc VT$\leq \frac{1}{2}.(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a})=\frac{3}{2}$

suy ra DPCM



#130
luukhaiuy

luukhaiuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết

Bài 69: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR $2(a+b+c)\geq \sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}$

giải

ta có BDT can CM tuơng đương với $(2a-\sqrt{a^2+3})+(2b-\sqrt{b^2+3})+(2c-\sqrt{c^2+3})\geq$0

hay $\frac{a^2-1}{2a+\sqrt{a^2+3}}+\frac{b^2-1}{2b+\sqrt{b^2+3}}+\frac{c^2-1}{2c+\sqrt{c^2+3}}\geq 0$

hay $\frac{a-\frac{1}{a}}{2a+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}+\frac{b-\frac{1}{b}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}+\frac{c-\frac{1}{c}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}}\geq 0$(1)

gia su $a\geq b\geq c$ thi $a-\frac{1}{a}\geq b-\frac{1}{b}\geq c-\frac{1}{c}$

 va $\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}}$

AP dung BDT chebyshev ta co

VT(1)$\geq \frac{1}{3}.(a+b+c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}).(\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}+\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}+\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}})=0$

vì theo đề bài $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

suy ra DPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luukhaiuy: 11-02-2016 - 16:11


#131
ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết

Bài 69: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR $2(a+b+c)\geq \sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}$

giải

ta có BDT can CM tuơng đương với $(2a-\sqrt{a^2+3})+(2b-\sqrt{b^2+3})+(2c-\sqrt{c^2+3})\geq$

hay $\frac{a^2-1}{2a+\sqrt{a^2+3}}+\frac{b^2-1}{2b+\sqrt{b^2+3}}+\frac{c^2-1}{2c+\sqrt{c^2+3}}\geq 0$

hay $\frac{a-\frac{1}{a}}{2a+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}+\frac{b-\frac{1}{b}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}+\frac{c-\frac{1}{c}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}}\geq 0$(1)

gia su $a\geq b\geq c$ thi $a-\frac{1}{a}\geq b-\frac{1}{b}\geq c-\frac{1}{c}$

 va $\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}}$

AP dung BDT chebyshev ta co

VT(1)$\geq \frac{1}{3}.(a+b+c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}).(\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}+\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}+\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}})=0$

vì theo đề bài $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

suy ra DPCM

bày giải hay :) nhưng thiếu số 0 ở đoạn kia


"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#132
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Đây là những bài chưa có lời giải trong topic: 

 

Bài 67 : cho $a_1;a_2;..;a_n$ là các số thực thuộc đoạn  $[-2;2]$ tìm min của 

 

$P=a_1*a_2+a_2*a_3+...+a_n*a_1$

 

Bài 59: Cho $a,b,c >0 $ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}3a+b\leq 33 & \\ a+b+2c\leq 25 & \end{matrix}\right.$.Tìm Max của  $2(6\sqrt[3]{a}+\sqrt{b})+3\sqrt{c}+2016$      (Bài đặc biệt)

 

Bài  63: $x,y,z>0 ; x+y+z=1$

 

CM:  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{3}$

 

Bài 44:cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$

 

Bài 18: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a\leq b\leq c$ và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.Tìm Min của $P=ab^2c^3$

 

Bài 22: Cho $a,b,c>0$ và $n$ nguyên dương.Chứng minh $\frac{1}{1+a^{n}+b^n}+\frac{1}{1+a^{n}+c^n}+\frac{1}{1+c^{n}+b^n}\leq 1$

 

Bài 11: Cho $x,y,z >0 $ và  $\sum x=\sum \frac{1}{x}$. Chứng minh: $x^2+y^2+z^2+3 \geq 2(xy+yz+xz)$

 

Bài 32:Cho   $a\geq b\geq c> 0$.  Chứng minh

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{2a+2b}+\frac{1}{2b+2c}+\frac{1}{2c+2a}$

 

Bài 40: Cho $x,y>0$ thỏa mãn $\sqrt{\frac{2x}{y}}(2xy-1)=2xy+1$.Tìm Min:$2x+\frac{1}{y}$

 

Bài 41: Cho $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $(a+b)(c+d)\geq 4abcd$.Chứng minh $\frac{1}{ab(c+1)}+\frac{1}{bc(d+1)}+\frac{1}{cd(a+1)}+\frac{1}{ad(b+1)}\geq \frac{32}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}$

 

 

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 12-02-2016 - 09:50

:huh:


#133
tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết

 

Đây là những bài chưa có lời giải trong topic: 

Bài  63: $x,y,z>0 ; x+y+z=1$

 

CM:  $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz\geq \frac{1}{3}$

Em tưởng bài 63 đề sai mà! 


$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#134
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Bài 69: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR $2(a+b+c)\geq \sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

\[\begin{aligned}\left ( \sum \sqrt{a^2+3} \right )^2 & \leqslant (a+b+c)\left ( \frac{a^2+3}{a}+\frac{b^2+3}{b}+\frac{c^2+3}{c} \right ) \\& = (a+b+c)\left [ a+b+c+3\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \right ] \\& = 4(a+b+c)^2.\end{aligned}\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

 

 

Bài 22: Cho $a,b,c>0$ và $n$ nguyên dương.Chứng minh $\frac{1}{1+a^{n}+b^n}+\frac{1}{1+a^{n}+c^n}+\frac{1}{1+c^{n}+b^n}\leq 1$

 

Bất đẳng thức sai với $n=2$ và $a=\frac{1}{2},\,b=c=1.$ Chắc điều kiện là $abc=1$ hoặc $abc \leqslant 1.$

 

 

Bài 11: Cho $x,y,z >0 $ và  $\sum x=\sum \frac{1}{x}$. Chứng minh: $x^2+y^2+z^2+3 \geq 2(xy+yz+xz)$

 

Ta viết bất đẳng thức lại dưới dạng thuần nhất như sau

\[x^2+y^2+z^2+\frac{3xyz(x+y+z)}{xy+yz+zx} \geqslant  2(xy+yz+xz).\]

Dễ thấy

\[\frac{3xyz(x+y+z)}{xy+yz+zx} \geqslant \frac{9xyz}{x+y+z},\]

nên ta chỉ cần chứng minh

\[x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z} \geqslant 2(xy+yz+xz).\]

Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Schur bậc $3.$

 

P/s. Bài viết 333. :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 11-02-2016 - 19:36

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#135
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

 

Đây là những bài chưa có lời giải trong topic: 

 

 

Bài 11: Cho $x,y,z >0 $ và  $\sum x=\sum \frac{1}{x}$. Chứng minh: $x^2+y^2+z^2+3 \geq 2(xy+yz+xz)$

 

 

 

 

 

 

 

 

Bài 11: Đặt $ x+y+z=p, xy+yz+xz=q, xyz=r $

Ta $ x+y+z=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} $ Suy ra $ r=\dfrac{q}{p} $

BĐT cần chứng minh tương đương với $ p^{2}-2q +3 \ge 2q $ hay $ p^{2}-4q+3\ge 0 $

Theo bđt $ Schur $ ta $ r\ge \dfrac{p(4q-p^{2})}{9} $ suy ra $ \dfrac{q}{p} \ge \dfrac{p(4q-p^{2})}{9} $ suy ra $ p^{4}-4p^{2}q+9q \ge 0 $

Ta $ p^{4}-4p^{2}q +3p^{2}\ge p^{4}-4p^{2}q+9q $ ( $ p^{2}\ge 3q) $

Suy ra $ p^{4}-4p^{2}q +3p^{2}\ge 0 $ suy ra $ p^{2}-4q+3\ge 0 $ suy ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 11-02-2016 - 19:43


#136
luukhaiuy

luukhaiuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 176 Bài viết

70,cho a,b>0 CMR$\frac{a}{\sqrt{4a^2+5b^2}}+\frac{2b}{\sqrt{4b^2+5ab}}\geq 1$



#137
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

70,cho a,b>0 CMR$\frac{a}{\sqrt{4a^2+5b^2}}+\frac{2b}{\sqrt{4b^2+5ab}}\geq 1$

 

Bất đẳng thức này sai với $a=\frac{1}{2},\,b=1.$


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#138
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Vừa thấy cái này khá hay,mở rộng bài 66: Cho $a,b,c $ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$ và số thực dương $k$ tùy ý,ta luôn có bất đẳng thức:

Bài 71:$2+\sqrt{k+1}\leq \sqrt{ka+1}+\sqrt{kb+1}+\sqrt{kc+1}\leq \sqrt{3k+9}$

P/s:Những bài được tô màu xanh là những bài mở rộng hay tổng quát :)



#139
binhnhaukhong

binhnhaukhong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết

 

Bài 44:cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{2c(a-b)}{b(a+c)}$

 

 

Đề này mới chuẩn chứ!


Quy Ẩn Giang Hồ. 

So goodbye!

 

:off:  :off:  :off:  :off:  :off:  :off: 


#140
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Bài 72:

Cho $ x, y, z $ các số thực dương sao cho $ x \le 4, y\le 9 $ $ x+y+z=49 $

Chứng minh rằng: $ \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}} \ge 1 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 12-02-2016 - 21:54





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh