Chủ đề này có 223 trả lời

[PlanBbyFESN]

Bài 72:

Cho $ x, y, z $ là các số thực dương sao cho $ x \le 4, y\le 9 $ và $ x+y+z=49 $

Chứng minh rằng: $ \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}} \ge 1 $

 

Bài 72: 

 

Áp dụng BĐT Honder: 

 

$(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}})(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}})(\frac{x}{2^{3}}+\frac{y}{3^{3}}+\frac{z}{6^{3}})\geq (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})^{3}=1$

 

Cho nên đưa bài toán về chứng minh:

 

$\frac{x}{8}+\frac{y}{27}+\frac{z}{216}\leq 1$

 

Thật vậy:

 

$\frac{x}{8}+\frac{y}{27}+\frac{z}{216}=\frac{1}{216}(x+y+z)+\frac{7y}{216}+\frac{13x}{108}\leq \frac{49}{216}+\frac{7.9}{216}+\frac{13.4}{216}=1$

 

$\Rightarrow $ ĐPCM!    

 

---------------------------------------------------

 

Em tưởng bài 63 đề sai mà! 

 

Anh làm ra rồi mà, nhưng cách xấu nên muôn tham khảo mọi người, không có ai mới đăng!

[luukhaiuy]

Đề này mới chuẩn chứ!

uk thế bạn giải hộ mình vs mình nghĩ mãi mà không ra

[tpdtthltvp]

 

Bài 72:

Cho $ x, y, z $ là các số thực dương sao cho $ x \le 4, y\le 9 $ và $ x+y+z=49 $

Chứng minh rằng: $ \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}} \ge 1 $

 

Cách không dùng Honder bài 72:

Ta có:

$\bullet \frac{8}{3}\sqrt{x}+\frac{3}{2}\sqrt{y}\leq \frac{8}{3}.2+\frac{3}{2}.3=\frac{59}{6}(1)$

$\bullet \frac{\sqrt{x}}{3}+\frac{\sqrt{y}}{2}+\sqrt{z}\leq \sqrt{(\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+1)(x+y+z)}=\frac{49}{6}(2)$

Cộng vế với vế của $(1),(2)\Rightarrow 3\sqrt{x}+2\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq 18$

Do đó:

$\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}=(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}+\frac{1}{3\sqrt{x}})+\frac{2}{3\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\geq \frac{9}{3\sqrt{x}+2\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{2}{3.2}+\frac{1}{2.3}\geq \frac{9}{18}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1(dpcm)$

 

Bài 73: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm $GTNN$ của:

$$P=\sum \frac{a^2}{b+2c}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 12-02-2016 - 14:05

[quan1234]

 

 

 

Cách không dùng Honder bài 72:

Ta có:

$\bullet \frac{8}{3}\sqrt{x}+\frac{3}{2}\sqrt{y}\leq \frac{8}{3}.2+\frac{3}{2}.3=\frac{59}{6}(1)$

$\bullet \frac{\sqrt{x}}{3}+\frac{\sqrt{y}}{2}+\sqrt{z}\leq \sqrt{(\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+1)(x+y+z)}=\frac{49}{6}(2)$

Cộng vế với vế của $(1),(2)\Rightarrow 3\sqrt{x}+2\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq 18$

Do đó:

$\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}=(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}+\frac{1}{3\sqrt{x}})+\frac{2}{3\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\geq \frac{9}{3\sqrt{x}+2\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{2}{3.2}+\frac{1}{2.3}\geq \frac{9}{18}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1(dpcm)$

 

Bài 73: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm $GTNN$ của:

$$P=\sum \frac{a^2}{b+2c}$$

 

$\sum \frac{a^2}{b+2c}= \sum \frac{a^4}{a^2b+2ca^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+ac^2+2(a^2c+ab^2+bc^2)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3\sqrt{(a^2+b^2+c^2)((a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)}}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)^3}}=1$

[ineX]

$\sum \frac{a^2}{b+2c}= \sum \frac{a^4}{a^2b+2ca^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+ac^2+2(a^2c+ab^2+bc^2)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3\sqrt{(a^2+b^2+c^2)((a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)}}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)^3}}=1$

giải thích giúp dùng bất đẳng thức gì để có dấu suy ra thứ hai ạ?

[quan1234]

giải thích giúp dùng bất đẳng thức gì để có dấu suy ra thứ hai ạ?

Ý bạn là cái này hả $(a^2b+b^2c+ac^2)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)$ áp dụng cauchy schwarz

[cyndaquil]

Cho $a,b,c>0$, C/m

Bài 74:$6\sum \frac{1}{a+5b} \le \sum \frac{1}{\sqrt{bc}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 13-02-2016 - 18:20

[ineX]

Một bất đẳng thức khá cồng kềnh

Chứng minh rằng:

 

Bài 75:$\sum \frac{1}{a} + 16\sum \frac{1}{3a+c} \geq 11\sum\frac{1}{3a+b} + \frac{3}{2} \sum \frac{1}{a+b} + 6\sum \frac{1}{2a+b+c}$

với a,b,c là các số dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 13-02-2016 - 22:42

[ineX]

Cho $a,b,c>0$, C/m

Bài 74:$6\sum \frac{1}{a+5b} \le \sum \frac{1}{\sqrt{bc}}$

 

cho hỏi bất đẳng thức này có thể chuẩn hóa được không ạ

[Gachdptrai12]

cho hỏi bất đẳng thức này có thể chuẩn hóa được không ạ

được bạn vì nó thuần nhất bậc 1 :v @@

[hoilamchi]

Một bất đẳng thức khá cồng kềnh

Chứng minh rằng:

 

Bài 75:$\sum \frac{1}{a} + 16\sum \frac{1}{3a+c} \geq 11\sum\frac{1}{3a+b} + \frac{3}{2} \sum \frac{1}{a+b} + 6\sum \frac{1}{2a+b+c}$

với a,b,c là các số dương

Bạn ghi rõ giúp mình các giá trị ở đoạn tô đỏ được không 

[ineX]

Bạn ghi rõ giúp mình các giá trị ở đoạn tô đỏ được không 

 

$\frac{16}{3a+c}+\frac{16}{3b+a}+\frac{16}{3c+b}$

 

tương tự như vậy, bài này là sigma cyc.

MÌnh chưa có lời giải nhưng nghe nói là phải dùng đến tích phân

[Minhnguyenthe333]

Bài 76: Cho $m,n,u,v\in \mathbb{Z^+}$ thoả mãn $m+n=10$ và $u+v=20$.Tìm $GTLN,GTNN$ của biểu thức $f=\frac{mn}{mu^2+nv^2}$

[Gachdptrai12]

Bài 77: cho a,b,c dương cm$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\frac{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 14-02-2016 - 21:53

[hoilamchi]

Bài 77: cho a,b,c dương cm$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\frac{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Đề này có phần màu đỏ không bạn ?Nếu không có là Schur bậc 3 rồi

Còn nếu có thì chỉ cần giả sử $c\geq a\geq b$ thì $VT\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ cũng là Schur bậc 3

[CandyPanda]

Bài 32:Cho   $a\geq b\geq c> 0$.  Chứng minh

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{2a+2b}+\frac{1}{2b+2c}+\frac{1}{2c+2a}$

 

Ta có: $(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a})+(\frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3b+c}+\frac{1}{3c+a})\geq 2(\frac{1}{2a+2b}+\frac{1}{2a+2b}+\frac{1}{2a+2b})$

Ta cần chứng minh $\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq\frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3b+c}+\frac{1}{3c+a}$

Xét $f(a)=\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}-\frac{1}{3a+b}-\frac{1}{3b+c}-\frac{1}{3c+a}$

Ta có: $f'(a)=\frac{-1}{(a+3b)^{2}}+\frac{-1}{(c+3a)^{2}}+\frac{1}{(3a+b)^{2}}+\frac{1}{(3c+a)^{2}}=\frac{(b-c)(6a+9b+9c)}{(a+3b)^{2}(a+3c)^{2}}-\frac{(b-c)(6a+b+c)}{(3a+b)^{2}(3a+c)^{2}} \geq 0$

Suy ra $f(a)\geq f(b)=0$

Vậy ta có đpcm

[hoilamchi]

Cho $a,b,c>0$, C/m

Bài 74:$6\sum \frac{1}{a+5b} \le \sum \frac{1}{\sqrt{bc}}$

Thử với $a=14\frac{2}{3}$, $b=3\frac{1}{3}$  và $c=1$  thì bất đẳng thức này sai 

[Gachdptrai12]

Đề này có phần màu đỏ không bạn ?Nếu không có là Schur bậc 3 rồi
Còn nếu có thì chỉ cần giả sử $c\geq a\geq b$ thì $VT\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ cũng là Schur bậc 3

bạn làm rứa thiếu TH a>=b>=c đó bđt này nói ra cũng thú vị dùng S.O.C hoặc cách khác nhưng S.O.C là Hay nhất

[PlanBbyFESN]

Bài 77: cho a,b,c dương cm$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\frac{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

 

Bài 77:

 

Áp dụng thẳng BĐT Schur bậc 3 :

 

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

 

Chỉ cần chứng minh được $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$ là bài toán hoàn tất!

 

Thật vậy, thực ra BĐT trên là khai triển khá quen thuộc: 

 

Không mất tính tổng quát: giả sử $a\geq b\geq c$ ta có:

 

$(a-b)(b-c)(a-c)\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$

 

.............................................

[Gachdptrai12]

Đề này có phần màu đỏ không bạn ?Nếu không có là Schur bậc 3 rồi
Còn nếu có thì chỉ cần giả sử $c\geq a\geq b$ thì $VT\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ cũng là Schur bậc 3

Bài 77: Áp dụng thẳng BĐT Schur bậc 3 : $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ Chỉ cần chứng minh được $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$ là bài toán hoàn tất! Thật vậy, thực ra BĐT trên là khai triển khá quen thuộc:  Không mất tính tổng quát: giả sử $a\geq b\geq c$ ta có: $(a-b)(b-c)(a-c)\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$ .............................................

file đây và PP S.O.C nếu các bạn giả sử thế thì phải làm 2TH luôn bđt này ko đối xứng nên bạn chỉ được g/s 2 TH

File gửi kèm

•  VNMATH.COM-KyThuatPhanTichBinhPhuongHoanVi.pdf   313.08K   104 Số lần tải