Bài 24: Cho $x,y,z>0$
CM: $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xyz+8\geq 5(a+b+c)$
Bất đẳng thức - Cực trị
#41
Posted 22-01-2016 - 12:14
- tpdtthltvp, PlanBbyFESN and phamhuy1801 like this
#42
Posted 22-01-2016 - 12:38
Bai 26: Cho a,b,c > 0
CMR : $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$
Bai 27: Cho x,y,z >0 t/m $x^2+y^2+z^2=1$
Tim min : $\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+ \frac{z}{x^2+y^2}$
- PlanBbyFESN likes this
#43
Posted 22-01-2016 - 12:44
Bai 26: Cho a,b,c > 0
CMR : $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$
Bđt sai khi $a=3, b=4, c=5$. Mình nghĩ bài này cần 1 đk về tổng hoặc tích của $a,b,c$ nữa
- Trung Kenneth likes this
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#44
Posted 22-01-2016 - 12:50
Bài 19: Cho $a^2+b^2+c^2=3$ a,b,c>0
CMR: $\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}+\frac{ca}{3+b^2}\leq \frac{3}{4}$
Cách 3 cho bài trên:
Ta sẽ có đpcm nếu có $\frac{bc}{3+a^{2}}\leq \frac{3}{4}(\frac{bc(b+c)}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)})$ (*)
Thật vậy:
$(*)\Leftrightarrow 3(3+a^{2})(b+c)\geq 4\sum ab(a+b)$
Thay 3=a2+b2+c2 vào : $\Leftrightarrow 3(2a^{2}+b^{2}+c^{2})(b+c)\geq 4\sum ab(a+b)$
Bằng phân tích ghép bình phương:
$\Leftrightarrow 2c(a-c)^{2}+2b(a-b)^{2}+(b+c)(b-c)^{2}\geq 0$
Luôn đúng $\Rightarrow$ ĐPCM
Dấu "=" là a=b=c=1
Bđt sai khi $a=3, b=4, c=5$. Mình nghĩ bài này cần 1 đk về tổng hoặc tích của $a,b,c$ nữa
Cứ làm đi, đề đúng đấy . Gợi ý: Giả sử: $a\geq b\geq c$
P/S: 1h đi học rồi, tối sẽ làm tiếp topic và 1 số bài tập dạng dễ hơn và một số bài dạng... bó tay hơn mà thú vị hơn
Edited by PlanBbyFESN, 22-01-2016 - 12:51.
- tpdtthltvp, phamhuy1801 and Trung Kenneth like this
#45
Posted 22-01-2016 - 13:35
Bai 26: Cho a,b,c > 0
CMR : $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$
Bđt sai khi $a=3, b=4, c=5$. Mình nghĩ bài này cần 1 đk về tổng hoặc tích của $a,b,c$ nữa
Điều kiện bài này là: $a\geq b\geq c$
Ta có:
$\Leftrightarrow (\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2})+(\frac{b}{b+c}-\frac{1}{2})+(\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2})\geq 0\Leftrightarrow \frac{a-b}{2(a+b)}+\frac{b-c}{2(b+c)}+\frac{c-a}{2(c+a)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{a-b}{2}(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c})+\frac{c-a}{2}(\frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c})\geq 0\Leftrightarrow \frac{(a-b)(c-a)}{2(a+b)(b+c)}+\frac{(c-a)(b-a)}{2(c+a)(b+c)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$ , đúng.
- PlanBbyFESN and Trung Kenneth like this
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#46
Posted 22-01-2016 - 17:40
Bài 24: Cho $x,y,z>0$
CM: $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xyz+8\geq 5(a+b+c)$
Bài 25: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác :
CM: $\sum \frac{a}{b+c}<2$
Bài 24:
Xét $x-1;y-1;z-1$ luôn tồn tại hai bé cùng dấu nên theo nguyên tắc đi dép lê luôn tồn tại hai số có tích lớn hơn hoặc bằng 0.
Giả sử $z(x-1)(y-1)\geq 0\Rightarrow xyz\geq xz+yz-z$
Đưa bài toán về chứng minh:
$xz+yz-z+2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+8\geq 5(x+y+z)$
Thực ra là: $\Leftrightarrow (y+z-2)^{2}+(x+z-2)^{2}+3(x-1)^{2}+3(y-1)^{2}+2(z-1)^{2}\geq 0$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$
Bài 25: Một bài cơ bản
- tpdtthltvp, CaptainCuong and Trung Kenneth like this
#47
Posted 22-01-2016 - 19:36
Bài 24: Cho $x,y,z>0$
CM: $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xyz+8\geq 5(a+b+c)$
Bài 24: Cách giải thứ 3 cho bài 24 (tình cờ gặp ở pqr) dành cho những ai "ham" Schur
Lời giải: (T. Trần Nam Dũng)
AM-GM:
$abc+\frac{1}{2}=\frac{abc+abc+1}{2}\geq \frac{3abc}{2\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{9abc}{2(a+b+c)}$
và:
$5(a+b+c)=\frac{5}{6}.2.3(a+b+c)\leq \frac{5}{6}\left [ 3^{2}+(a+b+c)^{2} \right ]$
Vậy nên chỉ cần CM:
$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{9abc}{2(a+b+c)}+\frac{15}{2}\geq \frac{5}{6}(9+(a+b+c)^{2})$
hay $7(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{27abc}{a+b+c}\geq 10(ab+bc+ca)$
Mà $4(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 4(ab+bc+ca)$
nên BĐT đúng $\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$
Schur bậc 3 phân thức (ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
- tpdtthltvp, phamhuy1801 and Trung Kenneth like this
#48
Posted 22-01-2016 - 20:53
Tiếp theo phần vận dụng nguyên tắc Đirichlê ta sẽ tiếp tục tập trung vào đậm chất THCS: AM-GM, Cô si ngược, Cauchy-Schwarz, bđt phụ....
Bài 28(*): Cho $a,b,c>0; a+b+c=3$
CM: $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$
Bài 29: $x,y,z>0; xyz=1$
CM: $\frac{1}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{y^{2}+y+1}+\frac{1}{z^{2}+z+1}\geq 1$
Bài 30: $a,b,c>0; abc=1$
CM: $\frac{a}{2a^{3}+1}+\frac{b}{2c^{3}+1}+\frac{c}{2a^{3}+1}\leq 1$
Bài 31: $a,b,c>0$
CM: $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3abc}+(\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})^{2}\geq 2$
P/S: lưu ý bài 27 chưa giải
À mà các bài đã giải mà ai có lời giải có ý tưởng mới mẻ thú vị thì cứ đăng, đừng ngại! Toán đẹp phải mò được nhiều cách )
Edited by PlanBbyFESN, 22-01-2016 - 21:23.
- tpdtthltvp, haichau0401, NTA1907 and 1 other like this
#49
Posted 22-01-2016 - 21:27
bài 28
bđt tương dương
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow$
mà $a^{2}+b^{2}=\frac{(a+b)^{2}+(a-b)^{2}}{2}$
bđt tương đương$\sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}+\sum \frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq 3$
áp dụng bđt C-S$\sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{((a+b)+(b+c)+(c+a))^{2}}{\sum (a^{2}+b^{2}+2)}$ và
$\sum \frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{((a-b)+(b-c)+(a-c))^{2}}{\sum (a^{2}+b^{2}+2)}$
đên đây chỉ cần tương đường thì ra (a-b)(b-c) >=0 tương tự thì ra (a-c)(b-c)>=0 và (a-B(b-c)>=0 và tích của 3 đại ượng lớn hơn 0 nên tồn tại một đại lượng lớn hơn 0 =>dpcm đây là bài iran 2009 và cách yếu tố ít nhất của anh cẩn
p/s lần sau sẽ ko bao h` dùng sigma nữa
Edited by Gachdptrai12, 22-01-2016 - 22:45.
- PlanBbyFESN and Trung Kenneth like this
#50
Posted 22-01-2016 - 21:59
Tiếp theo phần vận dụng nguyên tắc Đirichlê ta sẽ tiếp tục tập trung vào đậm chất THCS: AM-GM, Cô si ngược, Cauchy-Schwarz, bđt phụ....
Bài 28(*): Cho $a,b,c>0; a+b+c=3$
CM: $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$
Xin trích lại 1 lời giải của anh Cẩn
- PlanBbyFESN and Trung Kenneth like this
#51
Posted 22-01-2016 - 22:07
Bài 29: $x,y,z>0; xyz=1$
CM: $\frac{1}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{y^{2}+y+1}+\frac{1}{z^{2}+z+1}\geq 1$
Bài 30: $a,b,c>0; abc=1$
CM: $\frac{a}{2a^{3}+1}+\frac{b}{2c^{3}+1}+\frac{c}{2a^{3}+1}\leq 1$
Bài 29:
Đặt $x=\frac{bc}{a^{2}};y=\frac{ca}{b^{2}};c=\frac{ab}{c^{2}}$
Ta có abc=1.
VT trở thành:
$\frac{a^{4}}{a^{4}+b^{2}c^{2}+a^{2}bc}+\frac{b^{4}}{b^{4}+c^{2}a^{2}+ab^{2}c}+\frac{c^{4}}{c^{4}+a^{2}b^{2}+abc^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+abc(a+b+c)}$
Kết hợp $abc(a+b+c)\leq (a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$ (AM-GM)
Ta sẽ có ĐPCM với điểm rơi a=b=c=1
P/s: Bài 29 nhiều ứng dụng bao gồm cả bài 30
- tpdtthltvp and Trung Kenneth like this
#52
Posted 22-01-2016 - 22:08
Bai 27: Cho x,y,z >0 t/m $x^2+y^2+z^2=1$
Tim min : $\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+ \frac{z}{x^2+y^2}$
Edited by royal1534, 22-01-2016 - 22:09.
- PlanBbyFESN, CaptainCuong, phamhuy1801 and 1 other like this
#53
Posted 22-01-2016 - 22:37
Good solution, roy!
Bài 31: $a,b,c>0$
CM: $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3abc}+(\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})^{2}\geq 2$
Bài 30 vận dụng bài 29 mời các thím.(nói là vận dụng chứ không đến nỗi dễ đâu)
----------------------------
Bài 31:
$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3abc}+(\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})^{2}\geq 2\sqrt{\frac{(ab+bc+ca)^{2}(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{3abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}$
Bất đẳng thức này được suy ra trực tiếp từ:
$(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$ (AM-GM)
và:
$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
$\Rightarrow$ ĐPCM
--------------------------------------
Bài 32: $a,b,c>0$
CM: $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}$
Bài 33: $a,b,c\in \left [ 1;2 \right ]$
CM: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 6(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$
Edited by PlanBbyFESN, 23-01-2016 - 16:48.
- tpdtthltvp and royal1534 like this
#54
Posted 22-01-2016 - 23:12
cho a,b,c là các số thực dương chứng minh $(a+b+c)^{3}\geq \frac{27}{4}(a^{^{2}}b+b^{2}c+c^{2}a+abc)$
Edited by Gachdptrai12, 22-01-2016 - 23:13.
- PlanBbyFESN and Trung Kenneth like this
#55
Posted 22-01-2016 - 23:20
bài 31 có thể dùng S.O.S và S.O.C bài này mình đăng kí nếu ko ra xóa bl của mình nhé tránh spam cho topic :v :v :v :3 :3
- Trung Kenneth likes this
#56
Posted 23-01-2016 - 00:36
Bài 32: $a,b,c>0$
CM: $2(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}$
Eđit lại cái đề bài này cái.Dấu '=' không xảy ra tại $a=b=c$ @@
- PlanBbyFESN and Trung Kenneth like this
#57
Posted 23-01-2016 - 07:28
Old and new inequality - Titu Adresscu
File đã dịch .
Attached Files
- PlanBbyFESN, haichau0401, vuliem1987 and 1 other like this
#58
Posted 23-01-2016 - 07:45
Bài 33 :
Bài toán 1490 : Tạp chí Crux {Bất đẳng thức Garfunkel}
Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho $\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}} \le k.\sqrt{a+b+c}$ biết $a,b,c>0$
- PlanBbyFESN and Trung Kenneth like this
#59
Posted 23-01-2016 - 10:57
bài 31 có thể dùng S.O.S và S.O.C bài này mình đăng kí nếu ko ra xóa bl của mình nhé tránh spam cho topic :v :v :v :3 :3
Xin lỗi,SOC là gì ạ
- PlanBbyFESN likes this
#60
Posted 23-01-2016 - 11:35
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users